高考冲刺押题高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 不等式综合含解析

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1、不等式综合【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等.【基础练习】1.若函数，则与的大小关系是2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0a23.当点在直线上移动时，的最小值是74.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，则f(x)g(x)0的解集是5.对于0m4的m，不等式x2+mx4x+m3恒成立，则x的取值范围是x3或x1【范例导析】例1、已知集合，函数的定义域为Q（1）若，求实数a的取值范围。（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。分析：问题（1）可转化为在内有有

2、解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.解：（1）若，在内有有解令当时，所以a-4,所以a的取值范围是（2）方程在内有解则在内有解当时，所以时，在内有解点拨：本题用的是参数分离的思想例2.已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f (1)=1，若m、n1，1，m+n0时有（1）判断f (x)在1，1上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式:； （3）若f (x)对所有x1，1，1，1恒成立，求实数t的取值范围分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max解：(1)任取1x1x21，则f (x1)f (x2

3、)= f (x1)+f (x2)=1x1x21，x1+（x2）0， 由已知0，又x1x20，f (x1)f (x2)0，即f (x)在1，1上为增函数 （2）f (x)在1，1上为增函数，故有 （3）由(1)可知：f（x）在1，1上是增函数，且f (1)=1，故对xl，1，恒有f（x）1所以要使f（x），对所有x1，1，1，1恒成立，即要1成立，故0成立记g()=对1，1，g()0恒成立，只需g()在1，1上的最小值大于等于零故解得：t2或t=0点拨：一般地，若与若分别存在最大值和最小值，则恒成立等价于.例3.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元

4、为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元 （1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为故所求函数为，定义域为（2）由于都为正数，故有，即当且仅当，即时上式中等号成立若时，则时，全程运输成本最小；当，易证，函数单调递减，即时，综上可知，为使全程运输成本最小，在时，行驶速度应为；在时，行驶速度应为点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用也是综

5、合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题反馈练习：1.设，函数，则使的的取值范围是2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是4.如果函数的单调递增区间是(-，a，那么实数a的取值范围是_ a-1_5.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为6.设实数m,n,x,y满足的最大值7已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是2，28.对于满足0p4的所有实数p，使不等式都成立的x的取值范围9.三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解

6、题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a10 10.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（）.(1)求的值；(2) 求函数的表达式.解：（1）设， , , (2)解：, ，又， 即11.已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2 （1）如果x12x24，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x01； （2）如果x10，即 （2）由g(x)=若0x

7、12，g(2)=4a+2b10，又，代入上式得若-2x10，则x2=2+x1-2，g（-2）0，即4a2b+30，同理可求得故当0x12时，；当-2x10时，12.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则当v=12时，y1=720得k=5设全程燃料费为y，依题意有当，即v=16时取等号8v所以当时，v=16时全程燃料费最省当时，令任取则即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。另解：当时，令上为减函数以下相同点拨：注意基本不等式应用条件和分类讨论；判断函数单调性用导数是很有效的方法内容总结（1）固定部分为元 （1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域第 9 页 共 9 页