高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题讲解

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1、第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:分类解密专题突破函数与不等式模型的应用题例1某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零

2、件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的

3、x,y的值.(练习)函数与导数模型的应用题例1某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t).(1) 将OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);(2) 若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.(例1)练习在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常

4、数);在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1) 求出y关于v的函数解析式;(2) 设00)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45且不改变航线,假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?练习(2014江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O

5、和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO=.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(练习)数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还

6、清建行全部贷款?(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如,g(3)=.(1) 求g(10);(2) 求第x个月的当月利润率;(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.立体

7、几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为 m3,且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理:1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.2. 预测问题:经济计划、市场

8、预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.考点1函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5kx个A型零件.总共需要15003个A型零件,所以

9、g(x)=.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=.(1) g(x)-h(x)=-=,因为1xh(x);当138x213时,g(x)0).(2) 因为x,y0,所以2bx+2ay2,当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S4+4xy+ab,(*)令t=,则t0,上述不等式(*)可化为4t2+4t+ab-S0,解得t,因为t0,所以00)可得f(x)=-2ax,P(t,f(t).直线MN的斜率k=f(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),令y=0,可得xM=t+,可得M;令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),所以S(t)=SOMN=(

10、1+at2)=.(2) 当t=时,S(t)取得最小值,S(t)=,由题意知S=0,即12a2-4a=0,解得a=,此时S(t)的最小值为S=.【练习】【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.【解答】(1) 潜入水底用时单位时间,用氧量为cv2=30cv;水底作业时用氧量为50.4=2;返回水面用时单位时间,用氧量为0.2=.所以y=30cv+2+(v0).(2) y=30cv+2+2+2=2+12.当且仅当30cv=,即v=时取等号.当5,即c时,v=时,y的最小值为2+12.当5,即c时,y=30c-=0,因此函数y=30cv+2+在(0,5上为减函数,所以当v=5时,y的

11、最小值为150c+.综上,当c时,下潜速度为时,用氧量最小为2+12;当0c时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+.考点3三角形与三角函数模型【例1】【分析】用a,表示S1和S2,a固定时是关于的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=asinacos=a2sin2,设正方形边长为x,则BQ=,RC=xtan,所以+xtan+x=a,所以x=,所以S2=.(2) 当a固定,变化时,=,令sin2=t,则=(0t1),利用单调性求得t=1时,=.【练习】【解答】(1) 由题意可知,点M为的中点,所以OMAD.设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsin

12、,OF=Rcos.AB=OF-AD=Rcos-Rsin.所以S=ABBC=2Rsin(Rcos-Rsin)=R2(2sincos-2sin2)=R2(sin2-1+cos2)=R2sin-R2,.(2) 因为,则2+,所以当2+=,即=时,S有最大值,Smax=(-1)R2.故当=时,矩形ABCD的面积S有最大值(-1)R2.考点4解析几何模型【例1】【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距和半径作比较进行判断.【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.(1) 由图可知轮船在直线l:x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=40.(例5)所以0r40,所

13、以轮船会受到台风影响.航程为2=40km,所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航程是40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.【练习】【解答】方法一:(1) 如图(1)所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tanBCO=-.又因为ABBC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC=-,kAB=,解得a=80,b=120,所以BC=150(m).因此新桥BC的长是150m.(练习(1)(2) 设保护区的边界圆M的

14、半径为rm,OM=dm(0d60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得10d35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.方法二:(练习(2)(1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.因为tanFCO=,所以sinFCO=,cosFCO=.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtanFCO=,CF=,从而AF=OF-OA=.因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO=.又

15、因为ABBC,所以BF=AFcosAFB=,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MDBC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=dm(0d60).因为OAOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=,所以r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得10d35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.考点5数列模型【例1】【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期

16、存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为Sn=p(1+r)+p(1+2r)+p(1+nr)=p(等差数列问题).复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用.(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000800=800000=80(万元),扣除18万

17、元,可偿还贷款62万元.依题意有621+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)n-1500(1+5%)n+1,化简得62(1.05n-1)251.05n+1.所以1.05n1.7343,两边取对数整理得n=11.28,所以取n=12.所以到2024年年底可还清全部贷款.(2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8年,依题意有1+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)7500(1+5%)9,化简得(0.1x-18)5001.059,所以x10=10=10(18+81.2)=992.故每名学生每年的最低收费标准为992元.【点评】在经济活动中,如增长率、降

18、低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.【练习】【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=1,所以g(10)=.(2) 当x=1时,g(1)=.当1x20时,f(1)=f(2)=f(x-1)=f(x)=1,则g(x)=,经验证x=1也符合上式,故当1x20时,g(x)=.当21x60时,g(x)=,所以第x个月的当月利润率为g(x)=(3) 当1,所以当x=40时,g(x)有最大值

19、为,即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为.考点6立体几何体模型【例1】【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,再利用导数研究其最值.【解答】(1) 因为容器的体积为m3,所以r3+r2l=,解得l=-r=,由于l2r,所以03,所以c-20,当r3=时,即y=0,令=m,则m0,所以y=(r-m)(r2+mr+m2).当0m时,当r=m时,y=0;当r(0,m)时,y0,所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.当m2,即3c时,当r(0,2)时,y0,函数单调递减,所以r=2时函数y取得最小值点.综上,当3时,建造费用最小时r=.=(x200).要使tanBPC达到最大,只需x+-288达到最小,由均值不等式可知x+-2882-288,当且仅当x=时上式取得等号,故当x=320时,tanBPC最大,这时,点P的纵坐标为y=60.由此实际问题知,0BPC,所以tanBPC最大时,BPC最大,故当此人距水平地面60m时,观看铁塔的视角BPC最大.内容总结（1）第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型（2）在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4