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1、高考题汇编：圆锥曲线一选择题1【浙江理8】如图，分别是双曲线的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交与点若则的离心率是 ( )A BC D. 2.【新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，则的实轴长为 ( )3【新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ( )4【四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点并且经过点若点到该抛物线焦点的距离为3，则( )5【山东理10】已知椭圆的离心率为双曲线的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方
2、程为 ( )6【安徽理9】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若则的面积为 ( )7【全国卷理8】已知为双曲线的左、右焦点，P在C上，则 ( )二、填空题8【湖北理14】如图，双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为则(1)双曲线的离心率(2)菱形的面积与矩形的面积的比值9【四川理15】椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A、B，当的周长最大时，的面积是_.10【陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米11【重庆理14】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若则12【江西理13
3、】椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是若成等比数列，则此椭圆的离心率为_13【江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为则的值为_.三、解答题14【江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P(i)若求直线的斜率；(ii)求证：是定值.15【浙江理21】（15分） 椭圆的离心率为其左焦点到点的距离为不过原点的直线与C相交于两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求的面积取最大时直线l的方程16【湖北理】（13分）设
4、A是单位圆上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H是否存在m，使得对任意的k0，都有若存在，求m的值； 若不存在，请说明理由17【北京理19】（14分）已知曲线(1)若C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A、B（点位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于
5、点G，求证：A、G、N三点共线18【新标理20】 (12分)设抛物线的焦点为F，准线为l，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；(1)若的面积为求的值及圆的方程；(2)若三点共线于上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值参考答案一选择题1【答案】B【解】法由题意，直线的方程为：联立方程组得点联立方程组得点解得所以的中点坐标为所以的垂直平分线方程为：令得 所以所以即所以.法 平面几何法2.【答案】C 【解】设等轴双曲线方程为抛物线的准线为由，则，把坐标代入双曲线方程得所以双曲线方程为即所以所以实轴长3【答案】C【解】因为是底角为的等腰三角形，则有因为所以 所以即4【答
6、案】B【解】设抛物线方程为则点焦点解得所以5【答案】D【解】因为椭圆的离心率为所以所以即双曲线的渐近线为代入椭圆得即所以则第一象限的交点M坐标为所以所以椭圆方程为法 四边形面积为166【答案】C【解】设及则点A到准线的距离为3，得：的面积为7【答案】C【解】双曲线的方程为所以因为所以点P在双曲线的右支上，有，解得：所以根据余弦定理得二、填空题8【解】(1)由于以为直径的圆内切于菱形因此点到直线的距离为又由于虚轴两端点为因此的长为那么在中，由三角形的面积公式知，又联立可得解出(2)设则在中求得故再根据的值，可以求出93命题主旨：主要考查椭圆定义 几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 推理论证能力
7、基本运算能力 数形结合思想【解】当直线过右焦点时，的周长最大，将带入解得所以10【解】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系，则A的坐标为(2，2)设抛物线方程为带入点A得设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为则所以水面宽度为11【解】抛物线的焦点坐标为准线方程为设A,B的坐标分别为的则设则所以有解得或所以 12【解】椭圆的顶点焦点坐标为所以又因为成等比数列，所以有即所以离心率为13【解】由得即解得三、解答题14解：(1) 由题设知，由点在椭圆上，得由点在椭圆上，得椭圆的方程为(2) 由(1)得又设的方程分别为 同理 (i) 由得，解得注意到直线的斜率为(ii) 证明：即 由点B在椭圆上知
8、，同理：由得，是定值.15解：(1)由题： 左焦点到点的距离为：由可解得：的方程为:(2)易得直线OP的方程：设其中在椭圆上，设直线AB的方程为代入椭圆：显然且由上又有：点P(2，1)到直线l的距离表示为：当即时，此时直线l的方程为：16解：(1)如图1，设则由可得所以 因为A点在单位圆上运动,所以将式代入式即得所求曲线C的方程为因为所以当时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(2) 解法1；如图2、3，设则直线的方程为将其代入椭圆C的方程并整理可得，依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得即因为点H在直线QN上，所以于是而等价于即
9、又得故存在使得在其对应的椭圆上，对任意的都有解法2：如图2、3，则因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得 依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故于是由式可得 又三点共线，所以于是由式可得而等价于即又得故存在使得在其对应的椭圆上，对任意的都有.17解：(1)原曲线方程可化简得：由题意可得：解得：(2)由已知直线代入椭圆方程化简得： 解得：由韦达定理得： ， 设方程为：则欲证三点共线，只需证共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证18解：(1)由对称性知：是等腰直角斜边点A到准线l的距离圆(2)由对称性设则点关于点对称得：直线切点直线坐标原点到m，n距离的比值为内容总结（1）因为A点在单位圆上运动,所以
高考理数题汇编圆锥曲线
