历年高考数学立体几何汇编

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1、ABMNCl2l1H历年高考数学立体几何汇编1、（2006年高考）如图，、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在上，C在上，。 （）证明ACNB；()若，求与平面ABC所成角的余弦值。2、（2007年高考）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明：；（）求直线与平面所成角的大小 CDEAB3、（2008年高考）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小 4、（2009年高考）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，,，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。5、(2010年高考)如图，四棱锥S-ABCD中

2、，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .6、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.()求证:PO平面ABCD；()求异面直线PB与CD所成角的余弦值；()求点A到平面PCD的距离.7、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离E A B C

3、F E1 A1 B1 C1 D1 D 8、如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。9、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。10、如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求证:与AC共面，与BD共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.11、如

4、图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值12、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。13、正四棱锥的高，底边长，（1）求异面直线和之间的距离注：已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，则两条异面直线的距离 ABMNCl2l1Hxyz1、解: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴.

5、故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB.2、解：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以DBCAS又，为等腰直角三角形，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以3、（I）作AOBC，垂足为O，则AO底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE4、解:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设，则（）设,则又故即，解得，即

6、所以M为侧棱SC的中点5、解：以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)由，得，故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)。又设 ，则，设平面CDE的法向量m=(x,y,z)，由,得 ： ，故 .令，则.由平面DEC平面SBC得mn,故SE=2EB6、以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）

7、.所以（-1，1，0），（t，-1，-1），、=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（）设平面PCD的法向量为n（x0,y0,x0），由（）知=（-1，0，1），（-1，1，0），则n0，所以-x0+ x0=0,n0，-x0+ y0=0， 即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d7、证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，21世纪教育网 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面E A B C F E1

8、 A1 B1 C1 D1 D x y z M 8、解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. 9、解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与

9、所成的角为, , 与所成角的大小为10、解（向量法）： 以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面.11、证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12、解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0,0)，A(0,0,1), E(,

10、0), 异面直线AB与CD所成角的大小为1、ABMNCl2l1Hxyz06年() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH,则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),DBCAScosNBH= = = 2、07年（）取中点，连结，取

11、中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为3、08年（II）作CFAB，垂足为F，连接FE，设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B，所以CF平面ABE，CEF是CE与平面ABE所成的角，CEF=45由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60，ABC为等边三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足为G，连接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|，故G又，所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E为arccos()4、09年（II）由，得AM的中点又

12、所以，因此等于二面角的平面角所以二面角的大小为5、10年（）由（）知，取DE的中点F，则，故，由此得又，故，由此得，向量与的夹角等于二面角的平面角于是 所以，二面角的大小为6、（）证明：在PAD卡中PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中，BCAD,AD=2AB=2BC，有ODBC且ODBC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD2AB2BC2，在RtAOB中，AB1，AO1，所以OB

13、，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，PB,cosPBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.()由（）得CDOB，在RtPOC中，PC，所以PCCDDP，SPCD=2=.又S=设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得SACDOPSPCDh，即11h，解得h.7、（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为21世纪教育网8、（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所

14、以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 9、(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为10、（）证明：内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于是11、（）解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12、（）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0,0)，A(0,0,1), E(,0), 异面直线AB与CD所成角的大小为（）解法一：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.又点E到平面ACD的距离h=（）解法二：设点E到平面ACD的距离为h., SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为.13、13. 解析：建立如图4所示的直角坐标系，则， ，ABCDOS图4，令向量，且，则，异面直线和之间的距离为：8