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1、解析：（I）当0 t 10时，V(t)2t 14t 400,解得t4，或t 10,又0 t 10，故当10t12时，V(t)4(t 10)(3t解得10t41，又103t 12,故10综合得（0 t4,或10 t12;故知枯水期为1 月，2 月， 3 月，11 月,(t214t4.1X40)e450 50,化简得41) 5050,化简得(t 10)(3t41) 0,t 12.12 月共 5 个月.应用性问题的解法1内容概要：高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材 料；能够对所提
2、供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从 2000 年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但 是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解 决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解，重点在于提高整理分析实际问题中的数据，抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力2典例精析：类型一：函数应用题例 1：（ 2008
3、年湖北卷理科）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据,某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为21xV(t)( t214t 40)e450,0 t 10,4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12.(i )该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以i 1 t i表示第 1 月份（i 1,2,L ,12），同一年内哪几个月份是枯水期？全 品高考网（n）求一年内该水库的最大蓄水量（取e 2.7计算）分析：本小题主要考查函数、 导数和不等式等基本知识,知识解决实际问题能力考查用导数求最值和综合运用数学(n)(i)知：v(t)的最大值
4、只能在(4,10)内达到.t1231-t由 V (t)=c4(丄严3t4)-c4(t 2)(t 8),424令 V (t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).当 t 变化时，V(t)与 V (t)的变化情况如下表:t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在 t = 8 时取得最大值 V(8)= 8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32 亿立方米类型二：数列应用题例 2: (2007 年安徽卷理科)某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d0),因此，历年
5、所交纳的储务金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列，与此同时， 国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算 复利这就是说，如果固定年利率为 r (r0),那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就 变为 a1(1 + r)厂1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r)旷2, ,以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额.(I )写出 Tn与 Tn 1 (n疑)的递推关系式；(n )求证：Tn= An+ Bn，其中 An是一个等比数列， Bn是一个等差数列.分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力、考查
6、应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解析：(I)我们有TnTn 1(1 r) an(n2).(n )Ta1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn 1(1 r)anTn 2(1r)an 1(1 r)anL印(1 r)n1n 2a2(1 r)Lan1(1 r)an,在式两端同乘1 r，得(1r)Tn印(1 r)na2(1n 1r)Lan1(1 r)2an(1r)，得rTna r)nd(1r)n1(1r)n2L(1r)an10J5所以船的行驶速度为 冬卫2315 5（海里/小时）.（II）解法一如图所示，以 设点B、C 的坐标分别是 BC 与 x轴的交点为 D.A 为原点建立平面直角坐标系,B（x
7、1，y2）, C（x1，y2）,例 3：（2008 年湖南卷理科）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 .点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点 A 相距40违海里的位置 B 经过40分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45。+（其中sin=谱，BAC ,sin262690,所以 cos =1(26)2V 2626由余弦定理得 BC=. AB2AC22ABgACgcos 10.5.即Tn如果记则Tn其中a1r-(1呻(1 r)nrAnAn类型三r)n1rai(1nr)an-畤(1rOn,Bnd2
8、rBn.是以畤rdd为首项，一为公差的等差数列.rr（1 r）为首项，以1其他类型的应用题r（r 0）为公比的等比数列；Bn是以090o）且与点 A 相距 10.13海里的位置 C.ft（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；若该船不改变航行方向继续行驶.判断(II)解:(I)如图,AB=402，AC=10、13，由于0由题设有，Xi=yi=AB=40,2x2=ACcosCAD 10 13cos(45) 30,y2=ACSinCAD 10 . 13sin(45) 20.20所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=2,直线 I 的方程为 y=2x-40.10又点 E (0, -55)至煩线
9、 I 的距离 d=|0554013,：5 7.V1 4所以船会进入警戒水域.解法二：如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在厶 ABC 中，由余弦定理得,4022 1025 10213 3.10_ _2 40.210、510AB sinAQ=si n( 45oABCABC)cos ABCAB2BC2AC22AB BC在ABQ中，由正弦定理得,由于 AE=5540=AQ，所以点 Q位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE中，PE=QE- sinPQE QE sin AQC
10、 QE sin(45ABC)=1553,5 7.5所以船会进入警戒水域.3、知识整合1求解应用题的一般步骤是（四步法） ：（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证 . 2在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等 式模型、三角模型、排列组合模型等等 .I.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函
11、数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决 . 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型 .n.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月） 份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决. 在解应用题时， 是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关； 二是看是否符合一定的规律， 可先 从特殊的情形入手，再寻找一般的规律几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常 常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.4、跟踪
12、练习1.因液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小.为减少汽车尾气对城市空气的污染， 促进城市的健康发展， 某市决定对出租车进行使用液化 气替代汽油的工作 .请根据以下条件： 当前汽油价格为 2.8 元/升，一升汽油大约能跑 12 千米； 当前液化气价格为 3 元 / 千克，一千克液化气平均可跑1516 千米； 一辆出租车平均日行程 200 千米。40 三10一 2 2 102 1040.（ I ）说明使用液化气比使用汽油更经济（即省钱） ;（ n ）假设出租车改装液化气设备需 5000 元，请问多长时间省出的钱可以等于引进设 备的钱。2.通过研究学生的学习行
13、为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增； 中间有一段时间， 学生的兴趣保持较理想的状态， 随后学生 的注意力开始分散，设 f（t）表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中） ，经过实验分析得知：2t224t 100（0 t 10）f （t）240（10 t 20）7t 380（20 t 40）（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（ 2）讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（ 3）一道数学难题，需要讲解 24 分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，
14、那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？3.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由 1 到n排序，第一位职工得奖金-元，然后再将余额除以n,发给第二位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最n后剩余部分作为公司发展基金设ak1 k n为第k位职工所得奖金额試求 a2，a3：并用k，n 表示 ak.（不必证明）（2）证明akak ik 1,2，n 1，并解释此不等式关于分配原则的实际意义;，4.关于某港口今后 20 年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可
15、收入760 万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50 万元，以后逐年递增 20 万元。方案乙：从明年起开始投资 6000 万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐 能力。港口改造需用时 4 年，在此期间边改造边运营.据测算，开始改造后港口第一年的收入为 320 万元，在以后的 4 年中，每年收入都比上一年增长 50%，而后各年的收入都稳定在 第 5 年的水平上。（1） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（2） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？ （收益=收入一投资）5.学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电
16、了教学设备，并对其两种电子装置配一个外壳，现有 A 种电子装置 45 台，B 种电子装置 55 台，需用用到两种规格的薄金属板：甲种薄 金属板每张面积 2m2,可做 A、B 的外壳分别为 3 个和 5 个，乙种薄金属板每张面积3m2,可做 A、B 的外壳分别为 6 个，求两种薄金属板各用多少张，才能使用料总的面积最小.6.舰A在舰B正东 6 公里处，舰C在舰 B 北偏西 30。的 4 公里处某时刻某海洋动物在P处 发出信号，信号传播速度为 1 公里/秒.A舰接到信号 4 秒后，B, C舰同时接到信号 问从 A 舰观 察 P 点的方位角是多少？（方位角：从指北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角
17、）P与A舰的距离是多少？【练习题参考解答】1. (I )设出租车行驶时间为t天，所耗费的汽油费为 W 元，耗费的液化气费为 W 元, 则由题意可知2.8t140tW200123(t0,tN),2003tW2003t,即 37.5t W 40t(t0,tN),1615140t40t3即W W所以使用液化气比使用汽油省钱。(H)设375 500040?，解得t 545.5，3设40t 5000140t解得t 750.3，所以，若改装液化气，则一年半到两年左右的时间省出的钱可以等于引进设备的钱a当露c时，函数y S vv在0 v甫时是减函数，在石时是增函数，所以v、:有最小值ymin2S. ab.2
18、. 解：(1 )当0 t 10 时，f(t)t224t 100 (t 12)2244是增函数，且f(10) 240；当 20 t 40 时，f(t) 7t 380是减函数，且f (20) 240.所以，讲课开始 10 分钟，学生的注意力最集中，能持续 10 分钟.(2)f(5) 195, f (25) 205，故讲课开始 25 分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当0 t 10时，f(t) t224t 100180,则 t 4；当20 t 40,(3)令f(t) 7t23818 ,则 t 28.57，则学生注意力在180 以上所持续的时间28. 57-4=24. 57 24,所以，经
19、过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.3. (I )解法 1.ba1,na2111b,nnb 11b1b2n nn111ba31bnnnk1由此而得，ak11丄b4解：(1)设从明年开始经过第n 年，方案乙的累计总收益为正数。在方案乙中，前 4 年的总收入为320 (1-1.54)订 5=26006000,解得 n6 着,故 n 的最小值为 7，答：从明年开始至少经过7 年，方案乙能收回投资。(2)设从明年开始经过n 年方案甲与方案乙的累计总收益分别为yi,y2万元，则12yi=760n-50n+p(n-1) 20=-10 n2+720n,当 nW4 时，则 y10,y2y
20、2.当 n 5 时，2=2600+320 1.54(n-4)-6000=1620 n-9880,令 y1-10n2+720n, 即n (n+90)998,由 10(10+90)998,9(9+90) 455x + 6y 55x0, y0所有的薄金属板的总面积是z= 2x + 3y.可行性区域如图所示的阴影部分，其中11： 3x+ 6y= 45;12： 5x+ 6y= 55, 11与 12的交点为 A(5, 5)，因目标函数 z =2x+ 3y 在可行域上的最小值在区域边界的A(5, 5)处取得，此时 z 的最小值为 2 5+ 3 5= 25.即甲、乙两种板解法 2.印 -,ak-_,nn于是，
21、nakb Sk i,nak两式相减，naknak 1Sk从而akak 1nn15atakak 1La2ak 1ak 2a1k 11 1(n )akak 1-1bnn1bSk,Sk 1ak,n 1k 1n 1b1彳1 -a_1bnnnnkk 111,11 ,1b21b 0nnnn所以akak i此不等式表明工作业绩越好,分配越高，体现了按劳分配，按优分配的原各 5 张，能保证制造 A、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.6解：以A,B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系(如图).A为(3,0),B为(-3,0),C为(-5,2 J3),由题意知 |PB -1 PA|=4,且| PB=| PC,点P为以A,B为焦点,实轴长为 4 的双曲线靠近A点的一支与线段BC的垂直平分线的 交占八、2 2双曲线的a=2,c=3,. b2=5,方程为 -=1(x 2),45BC的中点D(-4 八3),斜率为k=- J3,BC的垂直平分线方程为x3y+7=0.2 2将y2= 一 (x+7)2代入=1 得34511x2 56x 256=0,由x2解得x=8,y=5、3.交点P为(8,5 価).二/ xAP=60 PA=10,从A舰观察P点的方位角是 30 ,P与A舰的距离是 10 公里.
2009年数学高考解题技巧--数学题型专题--应用性问题的解法
