高三数学算术平均数与几何平均数1

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1、算术平均数与几何平均数一、知识网络 二、高考考点1、运用重要不等式a2+b22ab（a、bR）或 （a、bR+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。1、 关于不等式的“基本性质”（1）对称性：ab bb,bc ac（3）“数加“法则：ab a+cb+c推论：a+bc ac-b（移项法则）（4）“数乘”法则：ab,c0 a

2、cbc;ab,c0 acb,cd a+cb+d;（2）同向的正数不等式两边“相乘”：ab0，cd0 acbd；（3）正数不等式两边“乘方”：ab0 anbn0(n N*);（4） 正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理1：如果a,b R，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时等号成立）推论（平方和不等式）： （当且仅当a=b时等号成立）定理2：如果a,b R+，那么 （当且仅当a=b时等号成立）推论1（

3、和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）24ab（当且仅当a=b时等号成立）推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值 （当且仅当x=y时取得）；（2）当和x+y为定值S时，积有最大值 （当且仅当x=y时取得）；四、经典例题例1（1）若x,y R+且 的最大值.（2）若x,yR且xy0，x2y2，求uxyx2的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积 的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： （2）欲求和xy+x

4、2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。解：（1）注意到这里x0，u0， = （当且仅当 ） 时等号成立）。 （2）由已知得 =3(当且仅当 时成立)umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得）点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。例2 （1）若x,y,a,b R+，ab，且 ，求ux+y的最小值；（2）若0x0，求 的最小值.分析：对于（1）如何利用 ,这一条件通常用

5、法多是作“1的替换”或作“三角替换”；对于（2），注意到这里0x1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在 (1)的基础上易于寻出解题思路。解：（1）解法一（利用“1的替换”）：x,y,a,b R+ 解法二（运用“三角替换”）：注意到 令 则有x=asec2，y=bcsc2u= asec2+bcsc2=(atan2+bcot2)+(a+b)(当且仅当atan2bcot2 时等号成立) (2)注意到这里0xc(利用三角形的普通性质) a+b+c2c又a+b+c=4c0，则由得 ；若b0， 则由得-1b0由解得-1bbc，不等式 恒成立，求k的最大值（2）已知x,y R+,且不等式 恒成立，

6、求a的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。解：（1）abc原不等式恒成立 恒成立 令 则 ku的最小值 又 (分子主动与分母沟通联系) 4（当且仅当 时等号成立）umin=4(当且仅当a+c=2b时取得) 于是由、得 k4，即k的最大值为4（2）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 恒成立(化生为熟转化成功) 令则 au的最大值x，yR+ (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时取得) 于是由、得 ，即a的最小值为 例5已知a,b R+，且a+b=1，求证：（1） （

7、2） （3）（4） （5） （6） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面（i）直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；（ii） 换元转化：令a=cos2 , （iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。联想1：由已知等式本身联想重要不等式：a,b R+，且 （1）由左边a+b联想重要不等式 （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立）（2） （当且仅当a=b时等号成立）联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式 （当且仅当a=b时等

8、号成立） （当且仅当a=b时等号成立） 这与联想1中推出的结果殊途同归.对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。证明：（1）证法一(分析转化、化生为熟)：原不等式 又 不等式（*）成立，原不等式成立。证法二：（化整为零，化隐为明）；注意到 当且仅当 时等号成立同理 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)(2)利用前面的推论，左边 (3)略(4)利用前面的结论,左边 (当且仅当 时等号成立)(5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方:左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)(6)解法一:

9、(为了构造“同向不等式”)硬性提取 后再作变形):左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)左边 (当且仅当 时等号成立)解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。例6、（1）已知x,y R+，且x+y=1，试求 (i) 的最小值；（ii） 的最小值。（2）已知a,b R+，且a3+b3=2，求证： （i）ab1; (ii)a+b2分析：对于（1）本质上是例

10、5 （5）（6）的改作题；对于（2），仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路解：（1）从略(2)证明：注意到已知条件a3+b3=2 (a+b)(a2+b2-ab)=2 (i)由式左边联想重要不等式 a2+b22ab 由得 a2+b2-abab0 由得 (当且仅当a=b=1时等号成立) 由、得 （当且仅当a=b=1时等号成立）（ii）由式左边联想重要不等式 由、得 (当且仅当a=b=1时等号成立) （a+b）38 a+b2(当且仅当a=b时等号成立)命题得证点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果

11、不一定理想，事实上，设 则 ；（i）得证；而a+b2则难以证明,同学们不妨一试.五、高考真题1、对于0a1,给出下列四个不等式： （1） （2） （3） （4） 其中成立的是（ ） A.1与（3） B.（1）与（4） C.（2）与（3） D.（2）与（4）分析：从0a1入手去比较1+a与 的大小0a1 又当0a1时，y=logax为减函数 当0a1时，y=ax为减函数， 于是由（*）、（*）知本题应选D2、已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为（ ）A. 分析：为建立“已知”与“目标”的联系，考察已知三式的和： 将与已知各式联立，解得 即 注意到欲求a

12、b+bc+ca的最小值，只需a、b同号且c与它们反号ab+bc+ac的最小值为 应选B3、集合 B=x| |x-b|a，若“a=1”是“AB ”的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）A.-2b0 B.0b2 C.-3b-1 D.-1b-1,则 （2）若正整数m和n满足mn，则 （3）设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+(b-y1)2=1时，圆01与圆O2相切。其中假命题的个数为（ ）A0 B.1 C.2 D.3分析：逐一考察每个命题：对于（1）作辅助函数 在（-1，）上为增函数.ab-1, f(a) f(b),即 ，（1）为真命题；对于（2），由已知得m0，n-m0,由平均值不等式得 （2）也是真命题；对于（3），注意到圆O2的方程为（x-a）2+(y-b)2=1，故由题设知点P亦在圆O2上，即点P为圆O1与圆O2的公共点 圆01与圆O2相切，从而（3）为假命题于是由上述分析可知，本题应为B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m