等差数列前N项和的公式

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1、等差数列前等差数列前n项和公式项和公式复习回顾复习回顾问题呈现问题呈现例题讲解例题讲解小结与作业小结与作业复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq返回返回 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰

2、罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1下一页下一页

3、探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项办法，需要把中间项1111看成首、看成首、尾两项尾两项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。 通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对” ” 的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？有无简单的方法？ 下一页下一页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一

4、共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。下一页下一页探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：获得算法：下一页下一页问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS下一页下一页设等差

5、数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导下一页下一页即前即前n项的和与首项末项及项数有项的和与首项末项及项数有关关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示Sn呢？呢？因为因为 an= a1

6、+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n (n-1)d/2下一页下一页下一页下一页由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda正所谓：知三求二下一页下一页【说明说明】推导等差

7、数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“ ” 倒序相加倒序相加法法Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还可以是还可以是 0）等差数列前等差数列前n项和公式补充知识项和公式补充知识下一页下一页例例1 某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训天里每天的训练量（单位：练量（单位：m）是：是： 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500这位运动员这位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：这位长跑运动员每天的训练量成等差

8、数列，：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列， 记为记为an, 其中其中 a1=7500, a7=10500. 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得77750010500630002()s答：这位长跑运动员答：这位长跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.下一页下一页例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一本题实质是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，的一元二次函数，注意得到的项数注意得到的项数n 必须是正必须是正整数整数.下一页下一页解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表

9、该数列代表该数列 的前的前n项和，则有项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：112()nn nsnad- -= =+ +1104542()有有成成立立n nn- - -+ + = =26270,整整理理后后 得得nn- - -= =解得解得n1=9, n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和项的和是是54.设该数列前设该数列前n 项和为项和为54下一页下一页例例3 求集合求集合M=m|m=7n, n是正整数是正整数, 且且m100的元素个数的元素个数, 并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7n10

10、0得得 n1007,.7214n 由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个, 集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个. 即即7, 14, 21, , 91, 98.这是一个等差数列这是一个等差数列, 各项的和是各项的和是2)987(1414S答答: 集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个, 它们的和为它们的和为735.=735返回返回 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二下一页下一页课本课本P118:习题习题3.3 第七题第七题第九题第九题下一页下一页返回返回