向量法在初等几何中的应用毕业论文

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1、毕业论文（设计）论文（设计）题目：向量在初等几何中的应用系 别：数学与统计学院专 业：数学与应用数学学 号： 2010104520姓 名：施清波指导教师：黄春妙时 间：河池 学院毕业论文（设计）开题报告系别：数学系专业：数学与应用数学学 号 2010104520姓 名 施清波论文（设计）题目向量法在初等几何中的运用命题来源教师命题 日学生自主命题教师课题选题意义（不少于300字）：向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙。向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质 ，是数形结合与转换的桥梁和纽带 ；而解 析几何也具有数形结合与转换的特征。向量与中学数学的

2、许多主干知识综合，形成知识的交汇点。因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力，给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题，用向量来处理就能迎刃而解。自从向量引入咼中数学后，咼考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题，并在很多解答题中都有体现。因此在平面解析几何的考查中，经常以向量为载体给出各类几何条件，在解题中，以向量的基本知识为切入点，考查解析几何的知识，体现了高考在知识的交汇点处命题的原则，成为中学数学命题的一个新的亮点。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用 进行了详细的探讨。研究综述

3、（前人的研究现状及进展情况，不少于600字）:向量概念的演变首先是物理学发展的需要，大约从17世纪开始，向量相加“平行四边形法贝就已经被用来确定两个运动“合成”运动所驱使的点的运动。17世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用与物理学等自然科学研究之中。为了复数应用的合法化，韦塞尔（C.wessel ）于1797年，阿尔岗于1806年独立的建立起复数的几何表示，而高斯的工作是这些原理变得广为 人知，并且被数学家们所接受，再熟悉了复数的几何表示后，数学家们认识到复数可用来表示和1843 年,研究平面上的向量，数学家们试图将这种思想转到三维空间去。经过长期的努力，在哈曼顿终于得到有 4个分量的四元

4、素。大约19世纪中期，格拉斯曼借助直角坐标系，引进了向量的向量积以及两个向量的向量积，并自然的引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究它们的运算性质。在微分几何的 发展中，高斯和黎曼等在 19世纪引入量的概念，随后又发展成量分析，进而建立和发展了黎曼 几何，n维空间中的标量和向量都是量的特例。希尔伯特于20世纪初，以平方和数列空间为标本,将n维欧几里得空间理论推广到无限维。在希尔伯特空间中，有积、夹角、也有正交性，这实际 是无限维的解析几何学。希尔伯特空间理论对其后的量子力学的诞生和发展起了巨大作用。向量作为一种理论工具在几何中的运用，确实1918年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的

5、“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定空间的维数。韦尔的公里体系是欧几里得空间的理论转化为线性代数 的语言。研究的目标和主要容（不少于400字）一. 研究的目标探讨向量法在初等几何中几大求解问题中的应用，在熟记基本公式、性质以及基本作图方法的基础上，分析向量法在初等几何问题上的简便应用，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和 技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握 不定积分的计算方法与技巧的目标。二. 主要容1 、在直线的共点问题中的应用2、在点共线问题中的应用3、在直线平行问题中的

6、应用4、在直线垂直问题中的应用5、在距离问题中的应用6、关于面积问题的应用7、关于两直线夹角问题的应用拟采用的研究方法文献法、网络搜索法、探究分析、归纳总结、教师指导法研究工作的进度安排2014年1月至2014年2月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目2014年3月，大量阅读与所撰写容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写 学院毕业论文（设计）开题报告，交指导教师审核批准2014年4月到5月上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展，遇到难以解 决的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅2014年5月中旬接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿2014年

7、5月下旬至6月上旬准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办公室归档参考文献目录（作者、书名或论文题目、或刊号、出版年月日或出版期号）1 华东师大学数学系数学分析（上册）M.3版北京：高等教育，2001.2 王洪英 一类不定积分的计算及应用J.师大学报（自然科学版），2001,16 （ 3）:317-318.3 萧胜中浅谈不定积分的求解方法J.民族学院学报（自然科学版），1998 （ 4） :92-95.4 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论J.西南民族大学学报自然科学版，2010,36 （ 2）:169-171 永杰，展 一类三角函数有理式积分计算的简便方

8、法及推广J学院学报，2009,24 （ 5）:68-70 庆轩介绍一类不定积分的解法J交通学院学报，1986, （ 3） :184-1947展丙军，兆兴两类不定积分的巧解J高等数学研究，2005，8（6）: 20-24指导教师意见该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法，探讨几类向量法的求解方法，归纳 总结出几种简便方法以求相应类型的几何问题，选题有意义，符合专业研究目标，有 一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能够完成既定目标，同意 开题签名:2012年 月曰教研室主任意见同意指导教师的意见，同意开题.签名：2012年 月日河池学院2014届毕业论文（设计）学生自主选题审批表系

9、别：数学系专业：数学与应用数学学号2010104520施清波论文（设计）题目向量在初等几何中的应用题目类型理论研究 団应用研究 设计开发 其他是否在实验室、工程实践和社会实践中完成是団否选题依据与容：在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修 四第一早学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的 神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示方法求变 的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减

10、轻负担。平面向量是咼中数学的新增容，也是新咼考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于 一体，能与中学数学教学容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在咼中数学体系中，空 间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形 与数的转化，则会大大简化过程。预期成果:估计能过达到灵活运用、开题.月 日探讨向量法的简易求解方法，分类归纳，找出规律性的方法和技巧.熟练掌握向量法的计算方法与技巧的目标.教研室主任审查意见：该生的选题符合专业研究目标，估计能够完成既定目标，同意签名：年系

11、（部）主管领导意见：同意开题.签名：年注：本表分选题填写，每题一页，由系（院）存档。摘 要ABSTRACT1向量方法在研究几何问题中的作用 122向量方法解决证明问题的直接应用 132.1平行问题13证明两直线平行13证明线面平行142.2垂直问题152.2.1 证明两直线垂直 15222证明线面垂直16证明面面垂直162.3处理角的问题17求异面直线所成的角.求线面角18求二面角19向量方法解决度量问题的直接应用213.1两点间的距离213.2点与直线距离213.3点到面的距离223.4求两异面直线的距离223.5求面积233.6求体积24向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用25向量在立

12、体几何中应用的教学反思错误!未定义书签。5.1对比综合法与向量法的利弊.错误!未定义书签。5.2向量法解决立体几何问题的步骤.错误！未定义书签。5.3向量法能解决所有立体几何问题吗.错误!未定义书签。参考文献.错误!未定义书签。向量法在初等几何中的运用I!专业：数学与应用数学施清波指导老师：黄春妙II|摘要向量是现代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何形式的“双重身I份”是沟通代数和几何的一种工具。纵观这几年的高考题，绝大部分都可以用几何法和向I|量法去解决。因为 对此问题向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表达的简洁性和处I理问题的一般性。通常可使问题化难为易，化繁为简，本文通过

13、举例就向量法证明几何问题!做一些探讨。II!关键词向量法，初等几何，应用装引言向量既是一种既有大小，又有方向的量它的运算具有鲜明的几何意义，作为一种用订代数方法研究几何问题的有力工具 ，它不仅在研究复杂图形方面有着重要作用，在研究初等几何方面也有着广泛的应用，尤其对于初等儿何中的平行、垂直、共点共线等问题应用效果 线尤佳，现通过几个实例对此进行探讨。向量在立体几何中的应用摘 要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化 .而在高中数学体 系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂， 运用向量

14、作行与数的转化，则使过程得到大大的简化 .向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、 程序化从而得到有效的解决，体现了数学 中数与形的完美结合立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向 量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化 了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用ABSTRACTAs one of the importa nt sig ns of moder n mathematics the vector hasentered middle school mathematics t

15、eaching,using algebraic methodresearch geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position,some geometryproblems with conventional method to solve tend to be complex, u

16、sing vector for the nu mber of rows and tran sformatio n, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry manyproblems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect comb in atio n of Numbers and

17、forms. Three-dimensional geometry often invoIved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its uniq ue, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are form to form reasoning process, causes

18、the problem-sol ving become programmed.Keywords： Vector; solid geometry; proof; calculation; use摘 要ABSTRACT1向量方法在研究几何问题中的作用 122向量方法解决证明问题的直接应用 132.1平行问题13证明两直线平行13证明线面平行142.2垂直问题152.2.1 证明两直线垂直 15证明线面垂直16证明面面垂直162.3处理角的问题17求异面直线所成的角 17求线面角18求二面角193向量方法解决度量问题的直接应用 213.1两点间的距离213.2点与直线距离213.3点到面的距离223

19、.4求两异面直线的距离 223.5求面积233.6求体积244向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 255向量在立体几何中应用的教学反思.错误!未定义书签5.1对比综合法与向量法的利弊 错误!未定义书签5.2向量法解决立体几何问题的步骤.错误！未定义书签5.3向量法能解决所有立体几何问题吗.错误!未定义书签参考文献 错误!未定义书签1向量方法在研究几何问题中的作用向量是高中数学新增加的容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何） 的联系

20、上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有 着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而 运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学 习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，

21、学习兴趣衰 退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们 的学习负担向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可 以简捷明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值 (距离、角、比值等)问题不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许 多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题立

22、体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所 成角等用空间向量解决立体几何中的这些问题， 其独到之处，在于用向量来处理空间问题， 淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，弓I入向量工 具之后，可提供一些通法2向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题2证明两直线平行A,B a;C,D b, AB CD a/b.知 AB (x1, y1),CD (x2,y2)，则有

23、 x2 x?yia/b.例1已知直线OA 平面，直线BD 平面 ，0、B为垂足，求证:OA/BD.证明：如上图，以点0为原点，以射线0A为z轴，建立空间直角坐标系0 xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设 BD (x, y, z), BD , BD i, BD j BD i (x, y, z) (1,0,0) x 0 ,BD j (x, y, z) (0,1,0) y 0, BD (0,0, z) BD zk，又知O B为两个不同的点， BD/OA.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行证明线面平行1、线a面，代B a，面的法向量为n ， AB

24、n 0 AB n AB/ .方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂 直(即证明数量积为0),则可得线面平行.12、已知面 外的直线a的方向向量为a，久佥是平面 的一组基底(不共线的向a/例2如上图，正方形ABC所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,P、Q分别是对角线AC BF上的一点，且AP = FQ,求证:PQ /平面BCE.证明：设 APAC AP = FQ, FQ FB , PQ PA AF FQ= AB BC BE BE AB=BC (1 )BE PQ 平面 BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示(即在平面存在一向量与方向相

25、 等)，则可得面一直线与面外的线平行，从而证明线面平行面面平行1、 不重合的两平面与 的法向量分别是m和n , mn / .方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行2、 不重合的两平面与，面 的法向量为m，若m/ .方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数 量积为0 (即垂直)，则可得两平面平行.2.2垂直问题3证明两直线垂直不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则有a b 0 a b.例3如图，已知四棱锥P-ABCD勺底面为等腰梯形，AB/ CD,AC BD，垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点.证明：PE BC证明：以H为原

26、点，HA,HB,HP分别为x,y,z 轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标如图， 则 A(1,0,0), B(0,1,0)设 C(m,0,0), P(0,0, n)(m 0,n0)，1 m则皿“巧亍0)，可得PE（2，m，n），BC （m，10,因为 PE BC m m 00 ,2 2所以 PE BC.证明线面垂直直线I的方向向量为a 4，平面 的方向向量为m，则有a m l .例4,如图，m, n是平面 的两条相交直线.如果1m,1 n,求证：丨 .证明：在 作任一直线g，分别在l,m,n,g上取非零向量I,m,n,g.因为m与n相交，所以向量m,n不平行由向量共面的充要条件知，存在唯

27、一的有序实数对（x,y）,使g xm ynI将上式两边与向量I作数量积，得g xim yl n，因为 I m 0,I n 0,所以I g 0 ,所以I g即I g.这就证明了直线1垂直于平面 的任意一条直线，所以I 方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只 需证明两向量平行，则可证线面垂直.证明面面垂直1、 不重合的平面与 的法向量分别为m和n，则有m n 0方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0,则可证明两平面垂直.2、 平面 的法向量为n , 0,是平面 的一组基底（不共线的向量），则有n i 2 e2例5 在正方体ABCD-AiCD中，E、F分

28、别是BB, CD的中点（1）求证：ADL DF; （2）证明平面 AEDL平面 AFD_分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题, 仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直” 的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设贝U A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D(0,2,2) , E(2,0,1), F(1,2,0)UUirUULU(1) ad (0,2,0), D1F (1,0, 2)I建立空间直角坐标系来解，不问题转化为“两向量数量积为“0”AB=2uur ujunAD D1F =0X 1+2X 1+0X( -2)=0,jjjujjj

29、(2) AE= (2, 0, 1)DiF= (1,ADI DF0,UULT UlUU -2), | ae | 75 , | D1F | V5AE D1F 2 10 0 15 5cos(2) 0设AE与DF的夹角为B,贝U|AE |D1F|所以DF丄AE由(1)知DF丄AD,又 ADA AE=A DF丄平面 AED, DF 平面 AFDM平面AEDL平面AFD方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用 另一平面的一组基底(不共线的向量)线性表示.2.3处理角的问题5求异面直线所成的角AB CD丽a,b是两异面直线，A,B a,C, D b , a , b所成的角为,

30、则有cos cos AB,CD例6如图所示，三棱锥 A-BCD,AB平面BCD,BD CD,若 AB=BC=2BD求二面角B-AC-D的大小.解：如图建立空间直角坐标系 O-xyz, AB=BC=2BDS BD=1贝U AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0)AB (0,0, 2), BC ( 1, .3,0), DC(0,、3,0), DA (1,0,2)设平面ABC的法向量为n1(x1, y1 ,z1),则 AB. n-i0z-i 0BC. n10 X1. 3y1 0取平面ABC的法向量m , 3,1,0) 设平面ACD的法向量为n2

31、(X2,y2,z2) 则 DC . n20y20DA. n20 x2 2z20取法向量n( 2,0,1)ntn2QCON rr、V3 ( 2) 1 0 0 1ion、I 7 I 12 n2n2J3 1 0 J4 0 1：15n1, n2arccos . 一 5二面角B AC D平面角与 n 1, n2 互补，yT5所求二面角B AC D的大小的arccos .5方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解 异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）求线面角设平面 的斜线I与面 所成的角为 ，若A,B l, m是面的法向量，则有例7如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中

32、，底面是等 腰直角三角形，/ ACB= 90，侧棱AA = 2, D E分 别是CC与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD重心G.求AiB与平面ABD所成角的大小（结 果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为 C,设 CA 2a，则 A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，2a 2a 1zC1A1B1DDECAxK GGE为平面ABD勺法向量，且cos A1B,GEA1B GEa1B gE3.7AB与平面ABD所成角的余弦值是 .方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）求二面角方法

33、一向量n1、n2:构造二面角I的两个半平面 、（都取向上的方向，如右图所示），贝U若二面角l是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补A(2a,0,2)，E(a,a,1)，G(亍亍3)，-uuuGEa3 a323，uuuBD0,2a,12 22GEBD -a0，33 auuir1，GE1123,3,3uuiuA1B2,2, 2角，即卩cosnr n2I ni | | n2 |若二面角I 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量“1、门2的夹角，即cos方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、B ,过A、B分ni别在平面、求出与I垂直的向量n、n2 ,则二面角大小

34、等于向量n1、n2的夹角，即cosnj n2mim例8在长方体ABCA1B1CD中, 面角A AD Q的大小.AB=2BC=4AA=2,点Q是BC的中点，求此时二解 如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，依题意：A (0，0，2)，D (0，a，0). Q(2, 2, 0)，D(0，4, 0)， AQ (2,2, 2),QD( 2,20),面AAD的法向量n?(1,0,0),设面ADQ的法向量n2(ai，a2，a3)，AQ 2a1 2a22a30,QD2a1 2a20,a2a3a1,2a1, “2(ai, ai，2ai)，令 ai=1，则 n2(1,1,2)， cos n/2厲 n2n1 g

35、面角的平面角为锐角, 二面角A AD Q的大小为arccos .6此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令6a11，则 n2( 1, 1, 2)， cos n1, n?，二面角 A AD Q 的大小是6ni,比arcco6T的补角心浮.所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”3向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离6两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点R xi,yi, z , F2 X2, y2,Z2 ，则uuuvPP22

36、2 2X2X1y2y1Z2乙在三棱锥S ABC中，面SAC 面ABC，SA6, AC ,2?,BC8，求 SB 的长.分析但需要证明若用向量法，注意到 SA AC BC 之间的关系.建立以A点为原点的空间直角坐标如图，本题可以用几何法求出 SB,则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则A 0,0,0 ,B 8,药0 ,S 0,0,6 ，-ULV所以 SB SBSA0 8 2 0 2 2 6 0 2 11.uuv本题用向量法巧妙地把与 SB有关元素的位置关系转化为相应向量是SB的数量关系,构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决3.2点与直线距离7UUV

37、uuv如图 求得向量AP在向量AB的射影长为d ,则点P到直线AB的距离等于AP2 d2UJIVBD例2设P为矩形ABCD所在平面外的一点，直线 PA垂直平面外的一点,直线PA垂直平面ABCD AB=3，BC=4，PA=1求点P到直线BP的距离.uuv uuvq所以BP在BD上的射影长为95所以点P到直线BD的距离uuv又BP10 ,d ：10 9135uuvum/uuvuuvuuu/uuv|LuM2BPBDBAAPBCBAAB 953.3点到面的距离任取一点Q得PQ,m是平面的法向量，则有：点P到平面 的距离dPQ m（向量PQ在法向量m的投影的长度）方法思路：求出平面的任一法向量m （方程

38、组可求），在平面任取一点Q与点P得一向量转化为PQ在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知a, b是两异面直线，A, B a,C, D b，找一向量与两异面直线都垂直的向量 m，则两异面直线的距离d Cj例3如图，三棱柱中，已知 A BCD是边长为1的正方形，四边形AAB B是矩形,平面AA B B 平面ABCD若AA =1，求直线AB到面DAC的距离.解：如图建立空间坐标系 A xyz ,uu；uuirDA ( 1,1,a) , DC (0,1,0)设面DAC的法向量为u(x, y,1)，则da nDC n1得u （a,0,1），直线AB到面DAC的距离d就等于点A到面 DAC

39、的距离,UULT也等于向量AD在面DAC的法向量上的投影的绝对dADn1n12别在两异面直线上任取一点代C ,则距离d就是AB在向量m上的投影长度，距离方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m，然后分uuv uuv3.5求面积由于平行四边形ABCDS积Syabcd = AB AC，所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半.1 uuv uuuvSvabc = 一 AB AC2特别地当A、B C三点均在Oxy面上，且坐标为Ax1,y,0, Bx2,y2,0, C %3,0，x1y1 1S/ABCX2y21（=1或-1，保证面积取正值）X3y31例4已知空间三点A （1, 2

40、, 3） B （2, -1，5） C （3，2，-5） 1 ）试求三角形的 面积，2）求三角形的AB边上的高.解：Sabc 丄 AB AC2UJVuuvAB1, 3,2 AC2,0, 8uuv uuvAB AC 13V V V24i12 j 6kuuv uuuv 22AB ACV242 122 6所以三角形的面积是3J21.因为三角形ABC的 AB边上的高I uuv uuvAB ACuuvABCH即是平行形四边形的AB边上的高,- uuv 所以CHSYABCD又因为uuvAB123 222所以CHuuv uuvAB ACuuv -AB6,2136，-uuv V例5已知AB a四边形ABCD勺面

41、积.V a中其vbV a 囲 vb2 b 1 a与b的夹角为，求平行3uuv 同理ADuuv 解：ABlbb cos3、7设uuv与uuv的夹角为cos-tuvuttv-ABADuuv uuvAB ADuuvABuuv ADtittv-ABADv2 v2 a bv2v2a士vbut3u-AB AD V21 ?所以sin-1 cos2所以Sabcduuv uuuv AB AD sin2 3.3.6求体积三个不共面向量a,v,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积，即ABCD勺体积V等于以AB, AC AD为棱的平行六面体uuv uuv uuv010|011111161J6a,b

42、, cv v v1 v v v四面体的体积等于以a,b,c为棱的平行六面体体积的六分之一，即 V4- a,b, c4 6例6已知空间四点的坐标 A (0, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 1, 1), D( 1, 1, 1)求四面体ABCD勺体积及A到BCD平面的距离.解由初等几何知识，四面体 的体积的丄,6 1V4 AB, AC, AD另外设A到BCD所确定平面的距离为d ,1 uuv uuv则 V4- BC BD d - 1 d6注：求点A到平面 的距离时，取 上三个点uuv uuv uuv求出 AB, AC, AD ;(1)(2)uuv uuv uuv求出AB,AC,

43、 AD为棱的平行六面体的体积uuv uuv uuvAB,AC,ADuuivuuvBC BDuuv uuv iuv AB, AC,AD ;uuiv uuivuuv uuu(3) 求出BC,BD为邻边的平行四边形的面积 BC BDuuv uuv uuvAB, AC, AD(4) 求出点到平面的距离 d，即d uuv luv.BC BD4向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用例1证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点等距分析 设ABC三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,图，令AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于一点G,uuv uuv接GD只要证明 GD BC,也即证GD CB 0

44、.从而GD直平分BCuuv v uuy v uuv v证明设GA a,GB b ,GC c则6uuv 1 v v uuv v v GF a b ,BA a b 2” uuv uuv 1 v2 v2v . v-ab所以a b由于GF BA,因而uuuv uuv 1 v v v v 0=GF BA a b a b2uuiv uuv v利用GE CA 0可得1 v v v v 0= a c a c1 v2 v21 a c所以；v v22n从而 GA=GB=GCuuu/ uuv 1 v 又 GD CB - b2vvv1v2v2cbc-bc，且 12v c,故uuv uuvuuuvGD CB 0 于是

45、GDCB所以GD是 BC边上的垂直平分线.于是证得了三角形三条垂直平分线交于一点G,且G到A, B, C的距离均相等例2 一个空间四边形对边平方和相等的充要条件是四边形的对角线互相垂直uuvv uuu/v uuuvv uuvv证明：如图，设 ABa,BCb,CDc, DAd，边长各为a,b,c,d对角线是AC和BDvvvivv由abcd0得v2vvv2dabcv2v2v2vvvvv vabc2bc2ca2a bv2v2v2v2vvv vvvabc2bbca baciv2v2v2v2vvvvuuvuuv于是dabc2abbc2 ACBD，故W2v2v2v2uuu/uuvdbacACBD即d2b2

46、a2c2ACBD .且三例3如果一个四面体ABCD有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直 对对棱的平方和相等,uuv v uuv证法一:设AB a, BCIv uuu/ v uuv b,CD c, DAuv uuuv v uuiv uv d, AC e,DB fM2 v2（如图），由上例知d av2bv vv2uuuv uuvc 2AC BDv uvv又由ev uv v vc fa 0，可得a ec fV2V2v2u/2v v vuvv uva ecf 2e c 2cf 2e f 故v2v2v2uv2v vv uvuuv uuiva cef 2 c ec f2 DA BC若四面体两对对棱互

47、相垂直,即uuiv uuuv uuivAC BD,DAuuv”BC 由v2v2v2v2a cbdv2v2v2uv2a cef/ 口v2uh! v2uv2(3)(4)得b def 0于是在四边形BCAD中，对边平方和相等由vuv2v2uv2uuv uuvb def 2AB CDuuv 得ABuuu/CD，于是四面体第三对对棱AB与CD也互相垂直v2 v2v2uv2v2u/2a cbdef即AB2CD2BC2 DA2AC2DB2.以上结果表明，四面体三对对棱平方和相等.(1) (2)可得(2)(1)(3)(4)(5).又由（3）, （4）可得如果没有用上例的结果，也可以用下面的方法来证 证法二：如

48、果已知四面体ABCD中两对对棱互相垂直，即uuvuuivuuivuuvABCD0, BCAD0uuivuuvuuvuuvuuvuuvBDACBCCDABBCuuiv uuv uuvuuvuuuv2uuvuuivBC ABCDABBCCDBCUUivuuvuuvuuvBCABBCBCuuvuuvuuu/uuvBCABBCBDuuv BCuuivAD =0uuiv CDuuv2 ABuuv2 CDuuv2 ABuuv uuv 2CB BDuuv2 ABuuv2 CBuuu/2 BD 2uiur uuiv!CB BD（6）uuv?uuJ/2uuv2uui2uuiv 22uuv?iuil2 uuiv2

49、uuvuuvBCADBCABBDBCABBD2ABBD（7）uuv2uuv2uuv2uuvuuv22uuv2uuv2uuv2uuvuuvACBDBDABBCBDABBC2ABBC（8）uuvuuvuuvuuv uuu/uuvuuvuuvuuu/ABCD 0, AB iCB BD0, ABBCABBD,uuvuuu/uuivuuvuuivuuvuuvuuvuuvBCAD 0, BCAB BD0, ABBCCBBDuuv2uuiv2UUU/2UUU/2UUU/2UUU/2对照（6），(7),（8）可得ABCDBCADACBD即四面体三对对棱于是第三对对棱BDAC平方和相等注由以上例题可以看出在进行

50、向量运算时，可以把所有的向量都表示成坐标向量的线性组合，然后进行运在证明两直线垂直时，可把问题转化成这两条直线的方向向量（与直线平行的非零 向量）的垂直问题进而转化为两向量数量积为零的问题.在证明有关长度的等式时，首先将数量转化成向量等式，即用向量的模表示线段的ABp，使问题化为有关向量数性积的等式证明问题.例4证明以平行四边形的两条对角线为邻边的平行四边形的面积等于原平行四边 形面积的两倍.uuv长度，其次运用公式AB设平行四边形的两邻边分别是a和b，两条对角线分别是v b和av例5已知正四棱锥 ABCD ABC , AB 1,AA, 2，点E为才CC中点，点F为BD的中点，求D到平面BDE

51、W距离.umvDG，所以- uuuv所以D1GuuuvD1G222233上面所用的向量法思路清晰，可方便简捷地求出平面外一点P到平面的解 建立如图所示直角坐标系，则D 0,0,0 , B 1,1,0 ,E 0,1,1 , Di 0,0,2UJIVuuvDE 0,1,1 ,DB 1,1,0设 Di 在平面 BDE上的射影为 G( x,y, z)，则 DG x, y, z , DG x, y,z 2iuuv uuv uuuv uuv iuuv 由于 DG DE,DG BD,DGy z 20x y 0x 故D到平面BDE的距离y2z z 20解此方程组得00 (舍去)0距离.其解题步题骤为:(1)

52、建立恰当的直角坐标系，设P点在平面的 射影为G( x,y,z)，并求出平面的三点A, B, C的坐标；uuv uuv uuuv uuv(2) 求出向量AB,AC, AG,PG的坐标；uuv uuv uuuv uuv uuv uuuv(3) 由PG AB,PG AC, PG AG，及两个互相垂直的向量的数量积为0,得到关于x,y,z的三元一次方程组；(4) 解方程组求得x,y,z便得到P点在平面 的射影G的坐标;(5) 求出PGi的模长PG，便得出点P到平面 的距离.例6在直平行六 面体AC1中，ABCD菱形，DAB 60 , ACI BD O, AB AA .(1)求证：GO/ 平面 AB1D

53、1，求证:平面AB1D1 平面ACGA，(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的大小.证明:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连结AO1在平行四边形 AAC1C 中,C1O1 / AO , C1O1 AO ,四边形AOC1O1为平行四边形GO/AO1Q C1O 平面 AB1D1, AO1 平面 AB1D1C1O/ 平面 AB1D1(2) 在直平行六面体 AC1中，AA 平面A1B1C1D1A| ABDQ四边形A1B1C1D1为菱形B1D1A C1Q A1C1 I AA A , AG 平面 ACC1A1, AA1 平面 ACC1A1B1D1 平面 ACC1A1Q B1D1 平面 AB1D1平面

54、 AB1D1平面 ACGA过C作CHAO1 交 AO1 于 HQ 平面 AB1D1平面 ACGA ,平面 AB1D1 I 平面 ACC1A1 AO1CH 平面 AB1D1AH为AC在平面AB1D1上的射影CAH是AC与平面ABQi所成的角设AB 2,在菱形ABCD中,DAB 60AC 2 3在 Rt AA1O1 中，AO1.7Q AO1 CHCHsin CAHCAHDOBB1DDOBB1C1C 1XAC OO14 217CH 2 =AC 7.2/7 arcs in7(3) 解法二：连AG交BDi于Oi ,分别以OB, OC, OO1所在直线为X轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设AB 2,在菱形ABCD中，DAB 60AC 2 3, BD 2则 A(0,3,0), C(0, 、3,0) , Bi(1,0,2), Oi (0,0,2)uurujirAO1(0, .3,2), AR (1, . 3,2)设平面ABD的法向量n （ x , y , z）0,0.uuurn AO1 uuur n AB13y 2z 0,x