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1、第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.典题妙解例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最大值和最小值.解：（1）设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点 .焦点在y上， 假设直线的斜率存在.由得：整理，得：当直线的斜率不存在时，弦
2、AB的中点P为坐标原点，也满足方程。所求的轨迹方程为（2）配方，得：当时，；当时，例2 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，0.解之得：或.的取值范围是.（2）在椭圆中，焦点在轴上，设弦PQ的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线.，从而由得：，由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.例3已知椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率
3、，右准线方程为.() 求椭圆的标准方程；() 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.解：（）根据题意，得.所求的椭圆方程为.（）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.由平行四边形法则知：.由得：.若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得： 代入，得整理，得：.解之得：，或.由可知，不合题意.，从而.所求的直线方程为，或.例4 已知椭圆（0）的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.（1）求的值；（2）C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与
4、的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，则其方程为，即. 原点O到的距离：，.又，. 从而.， .（2）椭圆的方程为. 设弦AB的中点为. 由可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为.若直线的斜率不存在，则轴，这时点Q与重合，点P不在椭圆上，故直线的斜率存在.由得：.由和解得：.当时，点P的坐标为，直线的方程为；当时，点P的坐标为，直线的方程为.金指点睛1. 已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 2.（06江西）椭圆（0）的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.（1）求点P的轨迹H的方程；（
5、2）略.3（05上海）（1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C的方程为（0）.设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M. 证明：当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）略.5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值.参考答案1. 解：由得，.弦MN的中点，由得，直线
6、MN的方程为.即. 由得：.设，则.故答案选C.2. 解：（1）设点P的坐标为，由得：，整理，得：.点P的轨迹H的方程为.3解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是. .由椭圆的第一定义知，. . 所求椭圆的标准方程为. （2）设点M的坐标为，由得：，整理得：.a、b、k为定值，当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.4. 解：（1）点在椭圆内，即12.的取值范围是.由得，焦点在y轴上.若直线AB的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.由得：，.所求直线AB的方程为，即.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为，即.5. 解：（1）在双曲线中，焦点为.在抛物线中，准线为.在椭圆中，. 从而所求椭圆C的方程为.（2）设弦AB的中点为，则点P是直线与直线的交点，且直线. .由得：，.由得：.由、得：.又，即.在中，当时，即直线经过定点.而定点在椭圆的内部，故直线与椭圆一定相交于两个不同的交点.的值为.
第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
