第7讲命题及充分与必要条件

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1、第一章 常用逻辑用语知识点网络 第第 1 1 讲讲 命题、充分条件与必要条件命题、充分条件与必要条件 考点考点 1 1：命题：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子语言、符号或式子表达的，可以判断真假真假的语句叫做命题.（1）命题由题 设和结 论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如 p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题正确的命题叫做真命题，错误的命题错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式： 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. 若要判断命

2、题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可找到一个反例即可. .注意：“不一定等于 3”不能判定真假，它不是命题.例例 1 1 已知命题:pxR ,23xx;命题:qxR ,321xx ,则下列命题中为真命题的是:（）ApqBpq CpqDpq 例例 2 2.下列命题中的假命题是A. ,lg0 xRx B. ,tan1xRx C. 3,0 xR x D. ,20 xxR 【解析】对于 C 选项 x1 时，10 x2=，故选 C变式变式 1 1.下列命题是真命题的为 A若11xy,则xy B若21x ,则1x C若xy,则xy D若xy,则 22xy解析 由11xy得xy,而由21x 得1x ,

3、由xy, xy不一定有意义,而xy得不到22xy 故选 A.例例 3 3.下列 4 个命题111:(0,),( )( )23xxpx 2:(0,1),px 1/2x1/3x 31p :(0,),( )2xx 1/2x 411:(0, ),( )32xpx 1/3x 其中的真命题是 （ ）A. 13,p p B .14,p p C. 23,pp D. 24,pp解析 取 x12,则1/2x1,1/3xlog321,p2正确 当 x(0,31)时,(12)x1,而1/3x1.p4正确答案 D考点考点 2 2：四种命题：四种命题1. 四种命题的形式：用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p

4、和q 分别表示 p 和 q 的否定，则四种命题的形式为：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若p 则q； 逆否命题：若q 则p.2. 四种命题的关系原命题原命题逆否命题逆否命题. .它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. .逆命题逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. .除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.例例 4 4. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

5、 (1) 若q0 B. 存在0 x R, 02x0 C. 对任意的xR, 2x0 D. 对任意的x R, 2x0解析：由题否定即“不存在Rx 0，使020 x” ，故选择 D。变式变式 4 4 .命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B “若一个数的平方是正数，则它是负数” C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” 。考点考点 3 3：充分条件与必要条件：充分条件与必要条

6、件1. 定义：对于“若 p 则 q”形式的命题：若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 pq，但 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若既有 pq，又有 qp，记作 pq，则 p 是 q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法

7、：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如 AB 可判断为 AB；A=B 可判断为 AB，且BA，即 AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 例例 8 8在下列各题中，判断 A 是 B 的什么条件，并说明理由(1) A：Rpp , 2，B：方程ppxx203 有实根；(2)A：132x；B：0612 xx；解：(1) 当2p，取4p，则方程0

8、742 xx无实根；若方程2x03 ppx有实根，则由0推出20)3(42ppp或p6，由此可推出2p所以 A 是 B 的必要非充分条件(2) 由21132xxx且，由0612 xx解得23xx且，所以 A 推不出 B，但 B 可以推出 A，故 A是 B 的必要非充分条件变式变式 5 5：指出下列命题中，p 是 q 的什么条件（在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）对于实数 x、y，p：x+y8,q:x2 或 y6;（2）非空集合 A、B 中，p：xAB，q：xB；解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2 且

9、 y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.(2)显然 xAB 不一定有 xB,但 xB 一定有 xAB,所以 p 是 q 的必要不充分条件.例例 9 9. 已知p：2m0，0n1；q：关于x的方程x2mxn0 有两个小于 1 的正根，试分析p是q的什么条件.解：若方程x2mxn0 有两个小于 1 的正根，设为x1、x2则 0 x11、0 x21，x1x2m，x1x2n0m2，0n1 2m0，0n1p是q的必要条件又若2m0，0n1，不妨设m1，n21则方程为x2x210，(1)242110 方程无实根 p是q的非充分

10、条件综上所述，p是q的必要非充分条件例例 1010.“24xkkZ”是“tan1x ”成立的 （ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.解析：14tan)42tan(k，所以充分；但反之不成立，如145tan例 11. “a0”是“a0”的A(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断00, 00aaaa， a0”是“a0”的充分不必要条件变式变式 6 6.已知 a0，则 x0满足关于 x 的方程 ax=6 的充要条件是(A)220011,22xRaxbxaxbx (B) 2

11、20011,22xRaxbxaxbx (C) 220011,22xRaxbxaxbx (D) 220011,22xRaxbxaxbx 【解析】由于a0,令函数22211()222bbyaxbxa xaa，此时函数对应的开口向上，当 x=ba时，取得最小值22ba，而 x0满足关于 x 的方程 ax=b,那么x0=ba,ymin=2200122baxbxa ，那么对于任意的 xR,都有212yaxbx22ba=20012axbx变式变式 7 7 设 0 x2，则“x sin2x1”是“x sinx1”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解

12、析：因为 0 x2，所以 sinx1，故 xsin2xxsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题例例 1111. “14m ”是“一元二次方程20 xxm”有实数解的A充分非必要条件 B.充分必要条件C必要非充分条件 D.非充分必要条件【解析】由20 xxm知，211 4()024mx14m 例例 1212. .已知, a b是实数，则“0a 且0b ”是“0ab且0ab ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解

13、析 对于“0a 且0b ”可以推出“0ab且0ab ” ，反之也是成立的变式变式 8.8. “”是“且”的 A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 易得abcd 且 且时必有acbd .若acbd 时，则可能有adcb 且 且，选 A。变式变式 9 9 .设”是“则“xxxRx31,的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件解析 因为1, 1 , 0,3xxx解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。例例 1313.已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是“a

14、cbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 显然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，则同向不等式相加得ab,即由“acbd”“ab” 例例 1414.已知p：1123x， q：222(1)0 xxm若“p”是“q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 【解法一】由p：1123x，解得210 x ，“p”： (, 2)(10,)A 3 分由q：22210 xxm 解得：11 mxm “q”： (,1)(1,)Bmm 6 分由“p”是“q”的必要而不充分条件可知：BA 8 分12110mm 解得9m 满足条件的 m 的取值范

15、围为 , 99, 12 分【解法二】由p：1123x， 解得210Pxx 由q：22210 xxm , 解得：11 Qxmxm 由“p”是“q”的必要而不充分条件可知： qp pq ， 即：QP 12101mm （等号不同时成立） ， 解得：9m满足条件的 m 的取值范围为 , 99, 课堂过关检测课堂过关检测一、选择题1对命题p：A，命题q：AA，下列说法正确的是（ ）Ap且q为假 Bp或q为假 C非p为真 D非p为假2已知下列三个命题方程 x2-x+2=0 的判别式小于或等于零；矩形的对角线互相垂直且平分；2 是质数，其中真命题是（ ）（A）和 （B）和 （C）和 （D）只有3下列结论中正

16、确的是（ ）（A）命题 p 是真命题时，命题“P 且 q”一定是真命题。（B）命题“P 且 q”是真命题时，命题 P 一定是真命题（C）命题“P 且 q”是假命题时，命题 P 一定是假命题（D）命题 P 是假命题时，命题“P 且 q”不一定是假命题4使四边形为菱形的充分条件是（ ）（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直 （C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分5如果命题“非 P 为真” ，命题“P 且 q”为假，那么则有（ ）（A）q 为真 （B）q 为假 （C）p 或 q 为真 （D）p 或 q 不一定为真6如果命题“p 或 q”和命题“p 且 q”都为真，那么则有（ ）（A）p 真 q

17、假 （B）p 假 q 真 （C）p 真 q 真 （D）p 假 q 假7给出 4 个命题：若0232 xx，则x=1 或x=2；若32x，则0)3)(2(xx；若x=y=0，则022 yx；若Nyx,，xy是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数那么： （ ）A的逆命题为真 B的否命题为真C的逆否命题为假 D的逆命题为假8一个整数的末位数字是 2，是这个数能被 2 整除的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9 “ABC 中，若C=90，则A、B 都是锐角”的否命题为（ ） AABC 中，若C90，则A、B 都不是锐角 BABC 中，若C90，则

18、A、B 不都是锐角 CABC 中，若C90，则A、B 都不一定是锐角 D以上都不对10 “220ab”的含义是 （ ）A, a b不全为 0 B , a b全不为 0 C, a b至少有一个为 0 Da不为 0 且b为 0，或b不为 0 且a为 011下列说法正确的是（ ）（A）x3 是 x5 的充分不必要条件 （B）x1 是x1 的充要条件（C）若pq，则 p 是 q 的充分条件（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形12如果命题“P 或 Q”是真命题，命题“P 且 Q”是假命题，那么（ ） (A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题（C）命题

19、 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相同13.下列有关命题的说法正确的是 ( )A命题“若21x ，则1 x”的否命题为：“若21x ，则1x ” B “1x ”是“2560 xx”的必要不充分条件C命题“xR ，使得210 xx ”的否定是：“xR ， 均有210 xx ” D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题14头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头 若qp,是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（ ）Ap真q真Bp假q假Cp真q假 Dp假q真15头 头头 头头 头

20、头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头 已知 A 与 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分不必要条件，那么A是B的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16 已知全集 U2 , 1 , 0且2ACU，则集合 A 的真子集共有（ ）A3 个B4 个C5 个D6 个17 二次函数cbxaxy2中，若0ac，则其图象与x轴交点个数是（ ）A1 个B2 个C没有交点D无法确定18 设集合 A13xx，32a，那么下列关系正确的是（ ）AAa BAaCAaDAa 19.如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题，那么（ ）

21、（A）命题 p 不一定是假命题 （B）不一定是真命题（C）命题 q 一定是真命题 （D）命题 p 与命题 q 真值相同20.x2+2x-8=0”是“x-2=x2”的 （）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件21.命题“P 或 Q”是真命题，命题“P 且 Q”是假命题，那么（ ） (A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题（C）命题 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相同22 设 na是首项大于零的等比数列，则“12aa”是“数列 na是递增数列”的（A）充分而不必要条件 (

22、B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件23.在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根，则“非 p”形式的命题是A.存在实数 m，使得方程 x2mx10 无实根 B.不存在实数 m，使得方程 x2mx10 有实根C.对任意的实数 m，使得方程 x2mx10 有实根D.至多有一个实数 m，使得方程 x2mx10 有实根24.若函数( )log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数，则log 20a”的逆否命题是A.若log 20a，则函数( )log(0,1)af xx aa在其定义域内不是减函数B.若log 20a，则函数( )log(0,1)af xx a

23、a在其定义域内不是减函数C.若log 20a，则函数( )log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数D.若log 20a，则函数( )log(0,1)af xx aa在其定义域内是减函数25.如果命题“)(qp或”为假命题，则A.p，q 均为真命题 B.p，q 均为假命题 C.p，q 中至少有一个为真命题 D.p，q 中至多有一个为真命题26.已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A.()pqB.pqC.()()pq D.()()pq 27. “0 x ”是“0 x ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既

24、不充分也不必要条件 28. “12x成立”是“(3)0 x x成立”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件29 “x1”是“xx 2”成立的（ ）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分又不必要条件30.命题：“若12x，则11x”的逆否命题是（ ）A.若12x，则11xx，或 B.若11x，则12xC.若11xx，或，则12x D.若11xx，或，则12x 31.若集合2, 1mA ，4, 2B，则“2m”是“ 4BA”的 （ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件32.集合21|xxM， |

25、 (3)0Nx x x，那么“Ma”是“Na”的( )A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 33. “2|x”是“062 xx”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件34.已知23:, 522:qp,则下列判断中，错误的是（ ） (A)p 或 q 为真，非 q 为假 (B) p 或 q 为真，非 p 为假(C)p 且 q 为假，非 p 为真 (D) p 且 q 为假，p 或 q 为真二、填空题1命题“若ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 2命题“不等式 x2+x-60 的解 x2”的逆否命题是 3写出命题“个位数是 5 的自然

26、数能被 5 整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。 逆命题是_ 否命题是_ 逆否命题是_4 “ABC 中，若C90，则A、B 都是锐角”的否命题是 5已知函数lg(4)yx的定义域为A，集合 |Bx xa，若 P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 6设集合 Ax|11xx0，Bx | x 1|a，若“a1”是“AB ”的 条件7 “21m”是“直线03)2()2(013)2(ymxmmyxm与直线相互垂直”的 条件8对任意实数a，b，c，给出下列命题：“ba ”是“bcac ”充要条件；“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件； “a5”是“a0 对任何实数x都成立，求实数 k 的取值范围。