第三章导数与微分

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1、第三章 导数与微分 第二节第二节 求导法则求导法则 第三节第三节 微分及其在近似计算中的应用微分及其在近似计算中的应用 第一节第一节 导数的概念导数的概念本章学习要求本章学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的

2、导数的方法. 一、一、两个实例两个实例 二、二、导数的概念导数的概念 三、三、可导与连续可导与连续 第一节第一节 导数的概念导数的概念四、四、求导举例求导举例第一节第一节 导数的概念导数的概念 1 .1 .变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 于是比值于是比值 ,00ttsttsts O)(0ts)(0ttss一、两个实例 .00ttsttstsv即 .limlimlim)(000000ttsttstsvtvttt 就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限. .

3、2 .2 .平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 设函数设函数)(xfy 的图像为曲线的图像为曲线 L（如上图） ，（如上图） ， 000(,()Mxf x和和 ( ,( )M x f x为曲线为曲线 L 上的两点，它们到上的两点，它们到 x轴的垂足分别为轴的垂足分别为 A 和和 B, ,作作0M N垂直垂直BM并交并交 BM于于 N，则则 A B T N L M o y x ) ( x f y 0 M 在在曲曲线线 L 上上点点0M附附近近， 再再取取一一点点M , ,作作割割线线0M M，当当点点 M沿沿曲曲线线 L 移移动动而而趋趋向向于于0M时时，割割线线 0M M的的极极限限位位置置

4、0M T就就定定义义为为曲曲线线 L 在在点点 0M处处的的切切线线. . 平面曲线的切线几何演示平面曲线的切线几何演示 0000,fxfxfxxfxyxxxx 而比值而比值1.1.导数的定义导数的定义 二、导数的概念定理定理 函数函数)(xfy 在点在点0 x的左、右导数存的左、右导数存 在且相等是在且相等是)(xf在点在点0 x处可导的充分必要条件处可导的充分必要条件. . 2左、右导数左、右导数 如如果果函函数数)(xfy 在在区区间间)b,(a内内每每一一点点都都可可导导， 称称)(xfy 在在区区间间)b,(a内内可可导导. . 如如果果)(xf在在)b,(a内内可可导导，那那么么对

5、对应应于于)b,(a中中的的 每每一一个个确确定定的的x值值，对对应应着着一一个个确确定定的的导导数数值值)(xf ， 这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数)(xfy 的导函数的导函数. . 记作记作)(xf ，y,xydd,xxfd)(d ， 在不致发生混淆的情在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数况下，导函数也简称为导数. . 显然，函数显然，函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数)(0 xf ，就，就 是导函数是导函数)(xf 在点在点0 xx 处的函数值，即处的函数值，即 0)()(0 xxxfxf. . 例例 1 1 求求函函数

6、数2xy 在在任任意意点点 x 处处的的导导数数. . 曲线切线方程：曲线曲线切线方程：曲线 L 上点上点),(00yxM处的切线方程就是处的切线方程就是 )(000 xxxfyy. .特别地，若特别地，若)(0 xf，则切线垂直于，则切线垂直于 x 轴，切线方程就是轴，切线方程就是 x 轴的垂线轴的垂线0 xx . . 解解 因为因为xxy2)(2，由导数的几何意义又知，由导数的几何意义又知， 曲线曲线2xy , ,在点在点(1,1)(1,1)处的切线斜率为处的切线斜率为2211xxxy. . 所以，所求的切线方程为所以，所求的切线方程为) 1(21xy , , 即即 12 xy. . 法线

7、方程为法线方程为 ) 1(211xy 即即 2321xy . . 导数的几何意义：函数导数的几何意义：函数)(xfy 在点在点0 x处的导数等于函处的导数等于函 数所表示的曲线数所表示的曲线 L 在相应点在相应点),(00yx处的切线斜率处的切线斜率. . 例例 2 2 求求抛抛物物线线2xy 在在点点( (1 1, ,1 1) )处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方程程. . 3.导数的几何意义导数的几何意义 4.变化率模型变化率模型 关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等等，在这里就不再一一列举了繁殖率等等，在这里就不再

8、一一列举了. . 设函数设函数)(xfy 在点在点 x 处可导处可导, ,有有)(lim0 xfxyx根根 据函数的极限与无穷小的关系据函数的极限与无穷小的关系, ,可得可得)()(xxfxy. . 其中其中 )( x是是0 x的无穷小，两端各乘以的无穷小，两端各乘以 x, ,即得即得 xxxxfy)()(, ,由此可见由此可见 0lim0yx. . 这就是说这就是说)(xfy 在点在点 x 处连续处连续. .也即，如果函数也即，如果函数)(xfy 在在 x 处可导，那么在处可导，那么在 x 处必连续处必连续. .但反过来不一定成立，但反过来不一定成立， 即在即在 x 处连续的函数未必在处连续

9、的函数未必在 x 处可导处可导. . 例如，函数例如，函数0,0,xxxxxy显然在显然在 x0 0 处连续，处连续， 但是在该点不可导但是在该点不可导. . 三、可导与连续 因为因为xxfxfy)()0(, , 所以在所以在0 x点的点的右导数右导数: : 1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx. . 而左导数是而左导数是: :1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx. . 左右导数不相等，故函数在该点不可导左右导数不相等，故函数在该点不可导. .所以，函数连续所以，函数连续 是可导的必要条件而不是充分条件是可导的必要条件而不是充分条件. . 求函数求函数)(x

10、fy 的导数的导数 y的步骤：的步骤： （1 1）求增）求增)()(xfxxfy , , （2 2）算比值：）算比值：xxfxxfxy)()( , , （3 3）取极限：）取极限：xyyx0lim . . 四、求导举例 解解 (1) (1)求增量：因为求增量：因为Cy ，即不论，即不论 x取什么值，取什么值，y的值总等于的值总等于 C，所以，所以0y ； (2)(2)算比值：算比值：xy0； (3)(3)取极限：取极限：00limlim00 xxxyy. . 即常数函数的导数等于零即常数函数的导数等于零. . 解解 （1 1）求增量：）求增量： xxxxfxxfysin)sin()()(， 由

11、和差化积公式有：由和差化积公式有： 2)(sin2)(cos2xxxxxxy .2sin)2cos(2xxx例例 7 7 求函数求函数Cy （C是常数）的导数是常数）的导数. . 例例 8 8 求函数求函数xysin的导数的导数. . 解解（1 1）求增量：）求增量： xxxxxxyaaaloglog)(log xxa1log, , （2 2）算比值算比值：xxaaxxxxxxxy1log11log, , （3 3）取极限取极限：xxaxxxxxxyxy1log1limlimdd00 axxaln1elog1 , , 即即 axxaln1)(log. .特别地，当特别地，当ea时，得自然对数时

12、，得自然对数 的导数的导数 xx1)(ln. . 例例 9 9 求求对对数数函函数数)0, 0, 0(logxaaxya的的导导数数. . 解解 ( (1 1) )求求增增量量：由由二二项项式式定定理理有有 nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(! 2) 1(221, , ( (2 2) )算算比比值值：121)(! 2) 1(nnnxxxnnnxxy, , ( (3 3) )取取极极限限： 12100d(1)limlim()d2!nnnxxyyn nnxxxxxx 1nnx, , 即即 1nnnxx. .（n 为为正正整整数数） 一一般般地地，对对 xy（是是实实数数） ，也也有有

13、1xx. .这这个个公公式式 在在后后面面将将给给出出证证明明. .例例如如： xxx2121 ，2111xxx. . 例例 1010 求函数求函数nxy （n 为正整数）的导数为正整数）的导数. . 1.1.思考下列命题是否正确？如不正确举出反例思考下列命题是否正确？如不正确举出反例. . (1)(1) 若函数若函数)(xfy 在点在点0 x处不可导，则处不可导，则)(xf在点在点0 x 一定不连续；一定不连续； (2)(2) 若曲线若曲线)(xfy 处处有切线，则处处有切线，则)(xfy 必处处必处处 可导可导. . 2.2.若若Aaxafxfax)()(lim（A 为常数） ，试判断下列

14、命为常数） ，试判断下列命 题是否正确题是否正确. . （1 1）)(xf在点在点 x=a 处可导；处可导； （2 2）)(xf在点在点 x=a 处连续；处连续； （3 3）)()()()(axoaxAafxf. . 思考题思考题： 第二节 求导法则 一、一、函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 二、二、复合函数的求导法则复合函数的求导法则 四、四、初等函数的求导公式初等函数的求导公式 三、三、反函数的求导法则反函数的求导法则 五、五、三个求导方法三个求导方法六、六、高阶导数高阶导数定理定理 1 1 设函数设函数 ）（xuu 与与 ）（xvv 在点在点 x处处可导可导,

15、 , 则函数则函数）（）（xvxu, , ）（）（xvxu, ,）（）（）（0 xvxvxu也也 在点在点 x处可导处可导, ,且有以下法则且有以下法则: : (1) (1) ）（）（）（）（xvxuxvxu; ; (2) (2) )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu, , 特别地特别地）（）（xuCxCu ( (C为常数为常数);); (3(3) )）（）（）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2 )0)(xv, , 特别地特别地, ,当当Cxu）（( (C为常数为常数) )时时, ,有有 ）（）（）（xvxvCxvC2 第二节第二节 求导法则求导法则一、函数的和、差、积、商

16、的求导法则 下面我们给出法则（下面我们给出法则（2 2）的证明，法则（）的证明，法则（1 1） ， （） ， （3 3）的证略）的证略 证证 令令 ）（）（xvxuy , , (1)(1)求函数求函数y的增量的增量: :给给 x以增量以增量 x, ,相应地函数相应地函数 ）（xu, , ）（xv各有增量各有增量u与与v, ,从而从而y有增量有增量 ,vxuxxuvxvxxvxuxxvxuxxuxvxuxxvxxuy）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（ (2)(2)算比值算比值: : xuxuxxvxuxy）（）（ , , (3)(3)取极限取极限: :由于由于）（xu与与）（xv均

17、在均在 x 处可导处可导, ,所以所以 ）（），（xvxvxuxuxx00limlim . . 又又, ,函数函数）（xv在在x处可导处可导, ,就必在就必在 x处连续处连续, ,因此因此 )()(lim0 xvxxvx, , 从而根据和与乘积的极限运算法则有从而根据和与乘积的极限运算法则有 .limlimlimlim0000）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxuxxvxuxyxxxx 这就是说这就是说, , ）（）（xvxuy 也在也在 x 处可导且有处可导且有 ）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu . . 例例 1 1 设设7sinln4cosxxxy, ,求求y 解

18、解 .4sin2cosln4coscos7sinln4cosxxxxxxxxxxxxxy）（）（）（）（）（）（ 解解 ,seccos1cossincoscoscossincossincossintan222222xxxxxxxxxxxxxy）（）（）（）（ 即即 xx2sectan ）（ . . 用类似的方法可得用类似的方法可得 xx2csccot ）（ . . 例例 2 2 求求xytan的导数的导数 例例 3 3 设设 xysec, ,求求y 解解 221cosseccoscossinsec tancosxyxxxxxxx （）（） 用类似的方法可求得用类似的方法可求得 xxxcotcs

19、ccsc ）（ . . 二、复合函数的求导法则 于是于是 d()dyyuuuxuxx . . 因为因为( )ux在点在点x处可导处可导, ,又根据函数在某点可导必又根据函数在某点可导必 在该点连续在该点连续, ,可知可知( )ux在点在点 x 处也是连续的处也是连续的, ,故有故有 0dlimdxuuxx . . 且当且当0 x时时0u, ,从而从而00lim()lim()0 xuu 所以所以 00000dlimlim()ddd dlimlim()lim,dddxxxxxyyuuuxuxxyuuyuuuxxux 解解 函数函数xysin可以看作由函数可以看作由函数uysin与与xu 复复 合而

20、成合而成因此因此xxxuxuy2cos21cos)()(sin . . 例例 5 5 求求xysin的导数的导数 解解 .cscsin121.2cos1.2sin2cos)2(sec2tan12tan2tan1)2tan(ln22xxxxxxxxxxy 例例 7 7 求函数求函数2tanlnxy 的导数的导数 对于复合函数的分解比较熟悉后对于复合函数的分解比较熟悉后, ,就不必再写出中就不必再写出中间间变量变量,而可以采用下列例题的方式来计算而可以采用下列例题的方式来计算 解解 因为因为xxysine可以看作由指数函数可以看作由指数函数ue与对数与对数 函数函数xuln复合而成复合而成由复合函

21、数求导法则由复合函数求导法则 有有 1ln11eln)e (xxxxxyxu , , 即即 1)(xx . . 解解 分两种情况来考虑分两种情况来考虑: : 当当0)(xf时时, , )()()()(1 )(ln),(lnxfxfxfxfxfyxfy 当当0)(xf时时, , )()( )()(1),(ln(xfxfxfxfyxfy 例例9 9 设设)(xf 存在存在, ,求求| )(|lnxfy 的导数的导数( (0)(xf) ) 例例 8 8 设设 xy( (为实数为实数),),求求y 解解 设在时刻设在时刻 t 时时, ,气球的体积与半径分别为气球的体积与半径分别为 v 和和 r 显然显

22、然 )(,343trrrV . . 所以所以V通过中间变量通过中间变量 r 与时间与时间 t 发生联系发生联系, ,是一个复合函数是一个复合函数 3)(34trV . . 所以所以 )()( | )(|lnxfxfxf . . 复合函数求导法则熟练后复合函数求导法则熟练后, ,可以按照复合的前后次序可以按照复合的前后次序, ,层层 层求导直接得出最后结果层求导直接得出最后结果 解解 1212lncos2122112112lncosxxxxxy 例例 1 10 0 求求函函数数12lnsinxy的的导导数数 例例 1111 设气体以设气体以3100cm /s的常速注入球状的气球的常速注入球状的气

23、球, ,假定气假定气 体的压力不变体的压力不变, ,那么当半径为那么当半径为 1010cm时时, ,气球半径增加的速率是气球半径增加的速率是 多少多少? ? 按题意按题意, ,已知已知3d100cm /sdVt, ,要求当要求当10cmr 时时trdd的值的值. .根据复合函数求导法则根据复合函数求导法则, ,得得trtrtVdd)( 334dd2 , ,将已知数将已知数据代入上式据代入上式, ,得得trdd1041002 . .所以所以d1cm/sd4rt, ,即在即在10cmr 瞬间瞬间, ,半径以半径以1cm/s4的速率增加的速率增加 定理定理 3 3 如果单调连续函数如果单调连续函数(

24、 )xy在点在点 y处可导处可导, ,而且而且 ( )0y那么它的反函数那么它的反函数)(xfy 在对应的点在对应的点 x 处可导处可导, , 且有且有 1d1( )d( )ddyfxxyxy或 . . 三、反函数的求导法则证证 由于由于( )xy单调连续单调连续, ,所以它的反函数所以它的反函数 )(xfy 也单调连续也单调连续, ,给给 x以增量以增量0 x, ,从从)(xfy 的的单调性可知单调性可知 0)()(xfxxfy, , 因而有因而有 yxxy1 , , 根据根据)(xfy 的连续性，当的连续性，当0 x时，必有时，必有0y， 而而( )xy可导，于是可导，于是 0lim( )

25、0yyyx , , 所以所以 000111limlim( )limyyyyxxxyyy , , 这就是说，这就是说，)(xfy 在点在点 x 处可导，处可导， 且有且有 1( )( )fxy . . 解解 xay 是是yxalog的反函数， 且的反函数， 且yxalog在在 ), 0( 内单调、可导，又内单调、可导，又 0ln1ddayyx , , 所以所以 aaayyxyxlnlndd1 , , 即即 aaaxxln)( . . 特别地，特别地， 有有xxe)e ( 解解 xyarcsin是是yxsin的反函数，的反函数，yxsin在在区间区间2,2内单调、可导，且内单调、可导，且 0cos

26、ddyyx 例例 1 13 3 求求xyarcsin的导数的导数 例例 1 12 2 求求) 1, 0(aaayx的导数的导数 所所以以 2211sin11cos1dd1xyyyxy , , 即即 211)(arcsinxx , , 类类似似地地，有有 211)(arccosxx . . 解解 xyarctan是是yxtan的反函数，的反函数，yxtan在区间在区间 2,2内单调、可导，且内单调、可导，且0secdd2yyx, , 所以所以 22211tan11sec1dd1xyyyxy , , 例例 1 14 4 求求xyarctan的导数的导数 即即 211)(arctanxx . . 类

27、似地，有类似地，有 211)cotarc(xx . . 解解 )1 (2e21)(11earctan2arctanxxxxyxx . . 解解 22111arcsin221 ()yxxxxx . . 例例 1 15 5 xyarcsin求求 y 例例 1 16 6 设设xyarctane求求 y 22220(1log);ln()ln ;(sin )cos ;1(tan )sec;cos(sec )sectan ;1(arcsin );11(arctan );1axxCCxxaaaaxxxxxxxxxxxx 为常数）；为常数）；（ 12222()(1ln|);(e )e ;(cos )sin ;

28、1(cot )csc;sin(csc )csccot ;1(arccos );11(arccot );1xxxxxxxxxxxxxxxxxx 为实数）；为实数）；（ 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 四、初等函数的求导公式 ）（）（）（）（xvxuxvxu, , ）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu , , ）（）（xuCxCu ( (C是常数是常数) ), , ）（）（）（）（）（）（）（）（02xvxvxvxuxvxuxvxu, , ）（）（）（xvxvCxvC2（0)(xv，C是常数）是常数） 设设)(ufy ，( )ux, ,则则复复合合函函数数 ( )yf

29、x的的导导数数为为 dd ddddyyuxux或或 ( )( )( )fxf ux . . 3复合函数的求导法则复合函数的求导法则 2函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 设方程设方程0),(yxF所确定的隐函数为所确定的隐函数为)(xfy ， 求导数， 求导数 xydd 解法：把方程解法：把方程0),(yxF所确定的隐函数所确定的隐函数)(xfy 代入原方代入原方 程得恒等式程得恒等式0)(,xfxF, ,把这个恒等式的两端对把这个恒等式的两端对 x 求导求导, ,所得所得的结果也必然相等的结果也必然相等, ,但应注意但应注意, ,左端左端)(,xfxF是将是将)(x

30、fy 代入代入),(yxF后所得的结果后所得的结果, ,所以所以, ,当方程当方程0),(yxF的两端对的两端对 x 求导求导时时, ,要记住要记住y是是x的函数的函数, ,然后用复合函数求导法则去求导然后用复合函数求导法则去求导, ,这样这样, ,便可得到欲求的导数便可得到欲求的导数下面举例说明这种方法下面举例说明这种方法 4 4反函数的求导法则反函数的求导法则 设设)(xfy 是是( )xy的反函数，则的反函数，则 1( )( )fxy( ( )0y) ). . 1 1隐函数求导法隐函数求导法 五、三个求导方法 解解 方程两边对方程两边对 x 求导求导, ,可得可得 xxyy2362 ,

31、, 于是得于是得 )0(6232yyxxy , ,所以所以 34|)2, 2( y , , 因而所求切线方程为因而所求切线方程为 )2(342xy , , 即即 0234 yx . . 解解 把方程把方程0eeyxxy的两端对的两端对 x 求导求导, ,记住记住 y 是是 x 的的 函数函数, ,得得 0eeyyxyxx , , 由上式解出由上式解出y, ,便得隐函数的导数为便得隐函数的导数为)0e(eeyyxxxyy. . 例例 1 17 7 求求由由方方程程 0eeyxxy所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数 xydd 例例 1 18 8 求曲线求曲线) 1(322xxy在点在点(2,

32、2)(2,2)处的切线方程处的切线方程 解解 先在等式两边取绝对值先在等式两边取绝对值, ,再取对数再取对数, ,得得 |2|ln31| 13|ln32| 1|ln|lnxxxy, , 两边对两边对 x 求导求导, ,得得 213113332111xxxyy, , 所以所以 y= =32)2() 13() 1(xxx 21311333211xxx. . 以后解题时以后解题时, ,为了方便起见为了方便起见, ,取绝对值可以略去取绝对值可以略去 例例 1919 设设32)2() 13() 1(xxxy, ,求求 y 对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开对数求导法：适合于由几个因子通过乘

33、、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法过程是先取对数过程是先取对数, ,化乘、除、乘方、开方为乘积化乘、除、乘方、开方为乘积, ,然后利用隐然后利用隐函函数求导法求导数求导法求导 2对数求导法对数求导法 解解 对于对于) 0(sinxxyx两边取对数两边取对数, , 得得 xxylnsinln, , 两边求导两边求导, ,得得 xxxxyylncossin1 , , 所以所以 yy)lncossin(xxxx= =xxsin)lncossin(xxxx. . 设参数方程设参数方程( )( )xtyt确定确定 y 与

34、与 x 之间的函数关系之间的函数关系, , 则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定 的函数的函数 3由参数方程所确定的函数求导法由参数方程所确定的函数求导法 例例 2 20 0 求求) 0(sinxxyx的导数的导数 对于参数方程所确定的函数的求导对于参数方程所确定的函数的求导, ,通常也并不通常也并不需要首先由参数方程消去参数需要首先由参数方程消去参数 t 化为化为 y 与与 x 之间的直之间的直接函数关系后再求导接函数关系后再求导 如果函数如果函数 x= =( ) t, ,( )yt都可导都可导, ,且且( )0t, ,又又x= =( )

35、t具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数1( )tx , ,则参数方程则参数方程确定的函数可以看成确定的函数可以看成( )yt与与1( )tx复合而成的复合而成的函数函数. . 根据复合函数与反函数的求导法则根据复合函数与反函数的求导法则, ,有有 dd dd11( )( ).ddd dd( )( )dyytyttxxtxtttt解解 (1) (1) 摆线在任意点的切线斜率为摆线在任意点的切线斜率为 dsincotd(cos )12yattxat , , (2) (2) 当当2t时时, ,摆线上对应点为摆线上对应点为aa,12, ,在此点在此点的切线斜率为的切线斜率为 12cotdd22tt

36、txy , , 例例 2 21 1 求摆线求摆线 (sin ),(1 cos )xa ttyat ( (0 0t t2 2 ) ) (1) (1) 在任何点的切线斜率在任何点的切线斜率;(2) ;(2) 在在 2t处的切线方程处的切线方程 如果函数如果函数)(xfy 的导数的导数)(xfy仍是仍是 x 的可导函的可导函数数, ,就称就称)(xfy的导数为函数的导数为函数)(xfy 的二阶导数的二阶导数, ,记记作作 y , ,f 或或 22ddxy, , 即即 )()(xfyy 或或xyxxydddddd22. . 类似地类似地, ,二二阶导数的导数叫做三阶导数阶导数的导数叫做三阶导数, ,三

37、阶导数的三阶导数的导数叫做四阶导数导数叫做四阶导数,一般地一般地, ,函数函数)(xf的的1n阶导阶导数的导数叫做数的导数叫做 n 阶导数阶导数. . 于是于是, ,切线方程为切线方程为 12axay , , 即即 22axy . . 六、高阶导数分别记作分别记作)(),.,(),.,(;,.,)()4()()4(xfxfxfyyynn , , 或或 nnxyxyxydd,.,dd,dd4433. . 且有且有)1()(nnyy, ,或或()dddddd11nnnnyyxxx, , 解解 e(cos )e( sin )e(cossin ),xxxyxxxx e(cossin )e( sinco

38、s )esin ,esinecose(cossin ).2222xxxxxxyxxxxxyxxxx 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数虽然二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数虽然,求高阶求高阶导数并不需要更新的方法导数并不需要更新的方法,只要逐阶求导只要逐阶求导,直到所要求的阶数直到所要求的阶数即可即可,所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数 例例 2 22 2 求求函函数数xyxcose的的二二阶阶及及三三阶阶导导数数 解解 12110) 1(nnnaxanxnay , , 231202)2)(1() 1( nnnaxannxanny, , 可见每

39、经过一次求导运算可见每经过一次求导运算, ,多项式的次数就降低一次多项式的次数就降低一次, ,继续继续求导得求导得 0)(!anyn, ,这是一个常数这是一个常数, , 因而因而 0)2()1(nnyy 这就是说这就是说, ,n 次多项式的一切高于次多项式的一切高于 n 阶的导数都是零阶的导数都是零 解解 axye ，axaye，axaye2 ，axaye3 ， 依此类推依此类推, ,可得可得 axnnaye)(，即，即 axnnaxa e)e ()(. . 特别地特别地xnxe)e ()(, , 对对xay ，lnxyaa ，ln2xyaa , ,aayx3ln , , 依此类推依此类推,

40、, aaynxnln)(，即，即( )()lnxnxnaaa . . 例例 2 24 4 求指数函数求指数函数axye与与xay 的的 n 阶导数阶导数 例例2 23 3求求n次次多多项项式式nnnaxaxay110的的各各阶阶导导数数 解解 xysin, , ,23sin22cos,22sin22sin2cos,2sincos xxyxxxyxxy 依此类推依此类推, ,可得可得 2sin)(nxyn, , 即即 2sin)(sin)(nxxn. . 用类似的方法用类似的方法, ,可得可得 2cos)(cos)(nxxn. . 例例 2 25 5 求求xysin与与xycos的的 n 阶导数

41、阶导数 解解 ,)1 (21,)1 (1,11),1ln(32xyxyxyxy 4)4()1 (321xy, , 依此类推依此类推, ,可得可得 nnxnyn)1 ()!1() 1(1)(, , 即即 nnxnxn)1 ()!1() 1()1ln(1)(. . 通常我们规定通常我们规定1! 0 , ,所以这个公式当所以这个公式当 1n时也成立时也成立 例例 2 26 6 求对数函数求对数函数)1ln(xy的的 n 阶导数阶导数 解解 将方程两边对将方程两边对 x 求导求导, ,得得 0ddcos21dd1xyyxy , , 式两边再对式两边再对 x 求导求导, ,得得 0ddcos21ddsi

42、n21dd22222xyyxyyxy, , 于是于是 2cosddsindd222yxyyxy, , 由由式可得式可得 yxycos22dd, , 例例 2 27 7 求求由由方方程程0sin21yyx所所确确定定的的隐隐函函数数 y 的的二二阶阶导导数数22ddxy 从而从而322) 2(cossin4ddyyxy, ,此式右端分式中的此式右端分式中的 y 是由方程是由方程0sin21yyx所确定的隐函数所确定的隐函数 解解 dcoscotdsinybtbtxata , , cscdddd/ddddsinsin22223btyyxbaxtxtatat . . 例例 2 28 8 求方程求方程

43、cos ,sinxatybt（0 0t t2 2 ）所确定的函数的）所确定的函数的 一阶导数一阶导数 xydd及二阶导数及二阶导数 22ddxy 1. 1. 思考下列命题是否成立思考下列命题是否成立? ? (1)(1) 若若)(xf，)(xg在点在点 0 x处都不可导处都不可导, ,则则 )()(xgxf在点在点 0 x处也一定不可导处也一定不可导: : (2)(2) 若若)(xf在点在点 0 x处可导处可导, , )(xg在点在点 0 x 处不可导处不可导, ,则则)()(xgxf在点在点 0 x处一定不可导处一定不可导 2 2 )(0 xf 与与 )(0 xf有无区别有无区别? ?为什么为

44、什么? ? 思考题思考题 第三节 微分及其在近似计算中的应用 一、一、两个实例两个实例 二、二、微分的概念微分的概念 三、三、微分的几何意义微分的几何意义 四、四、微分的运算法则微分的运算法则 五、五、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 解解: :设此薄片的边长为设此薄片的边长为 x，面积为，面积为 A，则，则 A 是是 x 的函数：的函数： 2xA，薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当，薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当自变量自变量 x 自自 0 x取得增量取得增量 x时，函数时，函数 A 相应的增量相应的增量 A， 即即 202020)(2)(xxxxxxA

45、, , 从上式可以看出，从上式可以看出，A可分成两部分：一部分是可分成两部分：一部分是xx 02，它，它 是是x 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；另的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；另 一部分是一部分是2)( x， 在图中是带有交叉线的小正方形的面积 显然， 在图中是带有交叉线的小正方形的面积 显然，如图所示，如图所示，xx 02是面积增量是面积增量A的主要部分，而的主要部分，而2)( x是次要部是次要部 分，当分，当| x很小时很小时2)( x部分比部分比xx 02要小得多也就是说，当要小得多也就是说，当 | x很小时，面积增量很小时，面积增量A可以近似地用可以近似

46、地用xx 02表示，表示， 例例1 1、 一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由 0 x变到变到xx0（如下页图） ，问此薄片的面积改变了多少？（如下页图） ，问此薄片的面积改变了多少？ 第三节第三节 微分及其在近似计算中的应用微分及其在近似计算中的应用一、两个实例即即 xxA02. . 有此式作为有此式作为A的近似值，略去的部分的近似值，略去的部分 2)( x 是比是比x高阶的无穷小，即高阶的无穷小，即 0lim)(lim020 xxxxx, , 又因为又因为0202)()(0 xxxAxx， 所以有所以有 0()AA xx . . 解解 自

47、由落体的路程自由落体的路程 s 与时间与时间 t 的关系是的关系是221gts ，当时，当时 间从间从 t 变到变到tt时，路程时，路程 s 有相应的改变量有相应的改变量 222)(2121)(21ttgtgtttgs, , 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 例例 求自由落体由时刻求自由落体由时刻 t 到到tt所经过路程的近似值所经过路程的近似值 上式右边第一部分是上式右边第一部分是 t的线性函数，第二部分当的线性函数，第二部分当0t时是一个比时是一个比 t高阶的无穷小量，因此，当高阶的无穷小量，因此，当 |t很小时，我们很小时，我们可以把第二部分忽略，而得到路程改变

48、量的近似值可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 tgts, , 又因为又因为gtgts221, ,所以所以 ttss)(. . 事实上，上式表明当事实上，上式表明当 |t很小时，从很小时，从 t 到到 tt这段时间这段时间内物体运动的速度的变化也很小内物体运动的速度的变化也很小. .因此，在这段时间内，物体因此，在这段时间内，物体的运动可以近似地看作速度为的运动可以近似地看作速度为)(ts的匀速运动，于是路程改变的匀速运动，于是路程改变量的近似值为量的近似值为ttss)(. . 一般地，设函数一般地，设函数)(xfy 在点在点 x 处可导，对于处可导，对于 x 处的改变处的改变量量x，

49、相应地有改变量，相应地有改变量y 由由)(lim0 xfxyx，根据极限与无穷小的关系，我们有，根据极限与无穷小的关系，我们有( )yfxx（其中（其中 为无穷小） ，为无穷小） ，0lim0 x . . 于是于是 ( )yfxxx . . 而上式右端的第一部分而上式右端的第一部分xxf)(是是 x的线性函数；第二部分，的线性函数；第二部分，因为因为0lim0 xxax，所以第二部分是比，所以第二部分是比 x高阶的无穷小，因此高阶的无穷小，因此当当| x很小时， 第二部分可以忽略， 于是第一部分就成了很小时， 第二部分可以忽略， 于是第一部分就成了 y的的主要部分，从而有近似公式主要部分，从而

50、有近似公式 xxfy)(, ,通常称通常称xxf)(为为y的线性主部反之，如果函数的改变量的线性主部反之，如果函数的改变量 y可以表示成可以表示成 )( xoxAy （其中（其中0)(lim0 xxox）, , 则有则有 xxoAxy）（, , 这样这样 AxxoAxyxx）（00limlim , , 即即 )()(xoxxfy . . 其中其中)( xo 为比为比)0(xx高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数 )(xf在点在点 x 处可微，并称其线性主部处可微，并称其线性主部 xA为函数为函数)(xfy 在点在点 x 处的微分，记为处的微分，记为yd或或)(dxf，即，即xAyd且有

51、且有)(xfA，这样，这样xxfy)(d 由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可 微是等价的， 且其关系为微是等价的， 且其关系为xxfy)(d 当函数 当函数xxf)(时，时，函数的微分函数的微分xxxxxxxfdd)(d即因此因此 我们规我们规定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数)(xfy 的的微分可以写成微分可以写成 xxfxxfyd)()(d, ,或上式两边同除以或上式两边同除以xd，有，有)(ddxfxy. . 定义定义 若函数若函数)(xfy 在点在点 x 处的改变量处的改变量 )()

52、(xfxxfy可以表示成可以表示成 )( xoxAy. . 二、微分的概念 由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之之商商， 即即xyxfdd)(，正因为这样，导数也称为微商，而微分，正因为这样，导数也称为微商，而微分的分式的分式xydd也常常被用作导数的符号也常常被用作导数的符号 解解 21. 011 . 1)(2222xxxy 在点在点 1x处，处， 2211xxxy， 所以所以 2 . 01 . 02d xyy . . 说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有 区别的：导数是函数在一点处的变

53、化率，而微分是函数在区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与的值只与 x 有关，而微分的值与有关，而微分的值与 x 和和x都有关都有关 例例 求函数求函数 2xy 在在 1 . 0, 1xx时的改变量及微分时的改变量及微分 解解 体积的改变量体积的改变量 32233)(34)(4434)(34rrrrrrrrV, , 显然有显然有 )(42rorrV, , 体积微分为体积微分为 rrV24d. . 设数设数)(xfy 的图形（如下页图所示） ，的图形（如下页图所示） ，MP是曲

54、线上点是曲线上点),(00yxM处的切线，设处的切线，设 MP的倾角为的倾角为 ，当自变量，当自变量 x 有改变有改变量量x时，得到曲线上另一点时，得到曲线上另一点),(00yyxxN， 例例 半半径径为为 r 的的球球，其其体体积积为为334rV ，当当半半径径增增 大大r时时，求求体体积积的的改改变变量量及及微微分分 三、微分的几何意义 微分微分xxfy)(d0, , 是当自变量是当自变量 x 有改变量有改变量 x时，时， 曲线曲线)(xfy 在点在点 ),(00yx处的切线的纵坐标的改变量用处的切线的纵坐标的改变量用 yd近似代近似代替替y就是用点就是用点),(00yxM处的切线纵坐标的

55、改变量处的切线纵坐标的改变量 PQ来来近似代替曲线近似代替曲线 )(xfy 的纵坐标的改变量的纵坐标的改变量 NQ，并且有，并且有PNyy|d| y dy y x y o M N P Q x ) ( x f y x0 x0+x 从右图可知，从右图可知， ,MxNy QQ, , 则则xxfMP)(tan0QQ, , 即即 dyPQ. . 由此可知，由此可知， .d11)cotd(arc;d11)(arccosd;dcotcsc)(cscd;dcsc)(cotd;dsin)(cosd;de)d(e;d1)(lnd;d)(d;(0)(d2221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCxx为

56、常数） .d11)(arctand;d11)(arcsind;dtansec)(secd;dsec)(tand;dcos)(sind;dln)d(;dln1)(logdd)(d222xxxxxxxxxxxxxxxxxaaaxaxxxxxxa； 因因为为函函数数)(xfy 的的微微分分等等于于导导数数)(xf 乘乘以以xd，所所以以根根据据导导数数公公式式和和导导数数运运算算法法则则，就就能能得得到到相相应应的的微微分分公公式式和和微微分分运运算算法法则则 1.微分基本公式微分基本公式 四、微分的运算法则 设函数设函数)(ufy ，根据微分的定义，当，根据微分的定义，当 u 是自变是自变 量时量

57、时, ,函数函数)(ufy 的微分是的微分是 uufyd)(d, , 如果如果 u 不是自变量，而是不是自变量，而是 x 的导函数的导函数( )ux 则复合函数则复合函数 ( )yfx的导数为的导数为 ( )( )yf ux. . 2d( ( )( )d ( )d ( );d( ( ) ( )( )d ( )( )d ( );d( )d ( )(;( )( )d ( )( )d ( )d( ( )0)( )( )u xv xu xv xu x v xv xu xu xv xCu xC u x Cu xv xu xu xv xv xv xvx为常数） 2.函数的和、差、积、商的微分运算法则函数的

58、和、差、积、商的微分运算法则 3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 于是于是, ,复合函数复合函数 ( )yfx的微分为的微分为 d( )( )dyfuxx, , 由于由于 ( )ddxxu, , 所以所以 uufyd)(d. . 由此可见，不论由此可见，不论 u 是自变量还是函数（中间变量） ，是自变量还是函数（中间变量） ， 函数函数)(ufy 的微分总保持同一形式的微分总保持同一形式uufyd)(d，这，这 一性质称为一阶微分形式不变性有时，利用一阶微一性质称为一阶微分形式不变性有时，利用一阶微 分形式不变性求复合函数的微分形式不变性求复合函数的微分比较方便分比较方便 解解 （）用公

59、式（）用公式xxfyd)(d，得，得 xxxxxydsin21d)(cosd. . 例例 设设xycos，求，求yd 解解 (1) (1)用公式用公式xxfyd)(d，得，得 ,dcosed)e (dsinsinxxxyxx (2)(2)用一阶微分形式不变性，得用一阶微分形式不变性，得 xxxyxxxdcosesindededsinsinsin. . (2)用一阶微分形式不变性，得用一阶微分形式不变性，得 .dsin21d21sindsin)(cosddxxxxxxxxxy 例例 设设xysine，求，求yd 解解 对方程两边求微分，得对方程两边求微分，得 0d2)dd(2d2yyyxxyxx

60、, , 即即 yxyxyxd)(d)(. . 所以所以 xxyxyydd, , xyxyxydd . . 例例 求方程求方程 2222ayxyx 确定的隐函确定的隐函 数数)(xfy 的微分的微分 yd及导数及导数 xydd 解解 因为因为tttaxdsincos3d2，tttaydcossin3d2，所以利用导数为微分之商得所以利用导数为微分之商得 .cossin31dsincos3dsecdtan)(ddddddd,tandsincos3dcossin3dd4222222ttatttattxxyxxyttttatttaxy 例例 求方程求方程33cos,sinxatyat（0 0t2 2

61、）确定的函数）确定的函数 的一阶导数的一阶导数xydd及二阶导数及二阶导数22ddxy 设函数设函数)(xfy 在在 0 x处的导数处的导数0)(0 xf，且，且 |x 很小时，我们有近似公式很小时，我们有近似公式 xxfxfxxfy)()()(000 （1 1） 或或 xxfxfxxf)()()(000 （2 2） 上式中令上式中令xxx， 则则 )()()(000 xxxfxfxf （3 3） 特别地，当特别地，当00 x，| x很小时，有很小时，有 xffxf)0()0()( （4 4） 这里，式（这里，式（1 1）可以用于求函数增量的近似值，而）可以用于求函数增量的近似值，而 式（式（

62、2 2） ， （） ， （3 3） ， （）可用来求函数的近似值） ， （）可用来求函数的近似值 五、微分在近似计算中的应用 应用式（）可以推得一些常用的近似公式应用式（）可以推得一些常用的近似公式 当当| x很小时，有：很小时，有： 111e1ln(1)sin(tan(.nxxxnxxxxx xxx x ；用弧度作单位）；用弧度作单位） 证证（）取（）取nxxf1)(，于是，于是1)0(f， nxnfxn1|)1 (1)0(011, ,代入（）式得代入（）式得 xnxn111. . 解解 设设xxfarctan)(，由近似公式（，由近似公式（2 2） ，） ， 有有 xxxxx200011a

63、rctan)arctan(， 取取10 x，05. 0 x有有 05. 1arctan = = )05. 01arctan( = = 05. 01111arctan2 = =810. 0205. 04. . (2) (2) 取取xxfe)(，于是，于是1)0(f， 1|)e ()0(0 xxf，代入，代入(4)(4)式式 得得 xx1e , , 其他几个公式也可用类似的方法证明其他几个公式也可用类似的方法证明 例例 计算计算05. 1arctan)(xf的近似值的近似值 解解 设球的半径为设球的半径为 r，体积，体积 334rV ， 则则343Vr , , VVrrd3143d323 VVd1

64、361323 . 现现3972cmV ，3973972(cm )V所以所以 32321d36(972)10.003(cm),36 972rr 即半径约增加即半径约增加0.003cm 例例1010 某球体的体积从某球体的体积从3972cm增加到增加到3973cm， 试求其半径的改变量的近似值试求其半径的改变量的近似值 解解 因为因为333364114)6411 (6416465， 由近似公式由近似公式111nxxn 得得 021. 44814)641311 (4641146533. . 例例 1111 计算计算365的近似值的近似值 1.1. 设设)(xfy 在 点在 点0 x的 某 邻 域 有 定 义 ， 且的 某 邻 域 有 定 义 ， 且200)()()(xbxaxfxxf，其中，其中 a，b 为常数，下为常数，下列命题哪个正确？列命题哪个正确？ (1)(1)(xf在点在点 0 x处可导，且处可导，且axf)(0； (2)(2)(xf在点在点 0 x处可微，且处可微，且xaxfxxd| )(d0； (3)(3)xaxfxxf)()(00（x很小时）很小时）. . 2.2. 可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什 么？有何区别？么？有何区别？ 思考题思考题