二章数据信息表示

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1、第二章 数据信息表示 数据信息是计算机加工和处理的对象，其表示方法将直接影响计算机的结构和性能。本章主要讲述数值数据的表示法、数的定点和浮点表示法、非数值数据（字符、汉字、逻辑数据）的表示法，以及数据信息的校验方法。l对于数值数据信息，除了要将数值转换成二进制数表示外，还必须使用二进制数来表示符号和小数点，因此就产生了数据的机器码（包括原码、补码等）表示形式，以及数据的定点数和浮点数表示法。l对于非数值数据信息，我们需要考虑如何使用0和1对其进行编码的问题。目录2.1 信息表示概述信息表示概述2.2 数的符号表示数的符号表示2.3 浮点数表示浮点数表示2.4 实例：实例：IEEE754标准标准

2、2.5 数据校验数据校验2.1信息表示概述1.数据和信息 2.计算机的数据单位(1)位 (bit) (2)字节 (Byte)(3)字 (Word)(4)存储器的容量3. 信息的数字化表示(1)数值数据信息的数字化表示(2)文字信息的数字化表示l非数字化的文字信息是以“图形符号”的形式存在的。人们观察到文字字符所呈现的面貌（图像），将其“原貌”通过复杂的工艺过程制作成相纸、胶片和印版，再印刷到纸张等材料上。l文字信息的数字化由编码和字形描述两个方面组成。l文字字形的数字化， 点阵字形、轮廓字形(3)图像/图形信息的数字化表示在计算机中，图形和图像是两个不同的概念。图形一般是指通过绘图软件绘制的，

3、由直线、圆、圆弧、任意曲线等组成的画面，以矢量图形文件形式存储；图像是由扫描仪、数字照相机、摄像机等输入的画面，数字化后以位图形式存储。动态的图像是由一系列的静态画面按一定的顺序排列组成，并配以同步的声音。每一幅图像称为“帧”，当以每秒 25 帧的速度播放时，由于视觉的滞留现象产生动态效果。(4)声音媒体的数字化表示1)采样频率 l指每秒钟的采样次数。采样频率越高，数字化音频的质量越高。采样频率高于输入的声音信号中最高频率的两倍就可以从采样中恢复原始的声音波形。 2)量化精度 l指存放采样点振幅值的二进制位数，是通过将每个波形采样垂直等分而得到的。8位采样精度有256个等级；16位采样精度有2

4、16个等级。 3)声道数 l声音是有方向的，单声道、双声道记录每秒钟存储声音容量的公式为：l采样频率采样精度声道数/8=字节数。目前常用的声音文件格式有： 1)WAVE格式文件 l该文件的扩展名为.wav。该格式文件直接记录了真实声音的二进制采样数据，通常文件较大。 2)MIDI格式文件 l是乐器数字接口。MIDI文件通常比WAVE文件小得多。在多媒体应用中，一般WAVE文件存放的是解说词，MIDI文件存放的是背景音乐。 3)MPEG音频文件 l是采用MPEG音频压缩标准进行压缩的文件，即MP3文件。MPEG音频编码具有很高的压缩率。目前使用的最多的是MP3文件格式。2.2数的符号表示2.2.

5、1 2.2.1 无符号数表示无符号数表示2.2.2 2.2.2 有符号数表示有符号数表示2.2.3 BCD2.2.3 BCD码码2.2.42.2.4字符数据表示字符数据表示2.2.1 2.2.1 无符号数表示无符号数表示在处理某些问题时，若参与运算的数都是正数，如学生成绩、职工工资、字符编码，内存地址等，则存放这些数时再保留符号位已没有实际意义，并且造成资源浪费。一个数的最高位不再是符号位而是值的一部分了，这样的数称为“无符号数”。无符号数可以认为是正数，相同字长的无符号数比有符号数所表示的正数范围要大。2.2.2 2.2.2 有符号数表示有符号数表示真值：把用“+”、“-”表示的数称为真值数

6、，例如：-56，+123等。机器数：一个数及其符号在机器中的数值化表示。符号位上的0、1分别来表示正、负。其值称为机器数的真值。l例如： -56用机器数表示（-56）10=（10111000）2 +56用机器数表示（+56）10=（00111000）2机器数可以用不同的方法来表示，常用的有原码、反码、补码和移码表示法。1. 原码整数原码定义式为：正数的符号为0，负数的符号为1，其它位的值按一般的方法表示数的绝对值，用这种方法得到的数码就是该数的原码。即: 0) 12(,2120 ,111XXXXXnnn原 0,10,0XXXXX原【例1】X=+105，反=原=01101001X=-105，原=

7、11101001 2. 反码整数反码定义式为：正数的反码与原码相同，负数的反码为其原码除符号位外的各位按位取反（0变1，而1变0）。即： 0) 12() 12(12011XXXXXnnn，反 0) 12() 12(12011XXXXXnnn，反【例2】X=+105，反=原=01101001X=-105，反=10010110X=（+127）10=（01111111）反X=（-127）10=（10000000）反8位反码其数值范围为+127-127，而0有+0、-0两种表示。2. 补码正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在其最低位加1。即：规律： l对于正数，原码=反码=补码。l对于负数，补

8、码=反码+1。 0, 110,0XXXXX补【例3】X=+105，补=原=01101001X=-105，补=10010111X=（+127）10=（01111111）补 X=（-127）10=（10000001）补8位补码其数值范围为+127-128，而0仅有一种表示：00000000。引进几个概念。（1）模（2）有模的运算（3）求补运算设X=+75则X补=01001011，设X=-75，则X补=10110101。即：对+X补按位取反末位加1，就得到-X补。对-X补按位取反末位加1，就得到+X补。因此，“求补运算”就是指对一补码机器码进行“按位取反，末位加1”的操作。通过求补运算可以得到该数负

9、真值的补码。鉴于补码数具有这样的特征，用补码表示有符号数，则减法运算就可以用加法运算来替代，因此，在计算机中只需设置加法运算器就可以了。结论：l(1)机器数比真值数多一个符号位。l(2)正数的原、反、补码与真值数相同。 (3)负数原码的数值部分与真值相同，负数反码的数值部分为真值数按位取反；负数补码的数值部分为真值数按位取反末位加1。l(4)没有负零的补码，或者说负零的补码和正零的补码相同。l(5)由于补码表示的机器数更适合运算，为此，计算机系统中负数一律用补码表示。 (6)机器字长为n位的原码数，其真值范围是-（2n-1-1）+（2n-1-1）；机器字长为n位的反码数，其真值范围是-（2n-

10、1-1）+（2n-1-1）；机器字长为n位的补码数，其真值范围是-（2n-1）+（2n-1-1）。4. 移码表示法定义：设整数为x1x2xn，其移码表示为x0，x1x2xn，共（n+1）位字长。用机器数的最高（最左）一位x0表示符号位，其定义为：x移=2n+x（-2nx2n）将这一定义与整数补码的定义相比较：就可以找出移码与补码之间的对应关系：当0 x2n时，x移=2n+x=2n+x补当-2nx0时，x移=2n+x=（2n+1+x）-2n=x补-2n由此可以得出，由x补得到x移的方法是将x补的符号位变反。例如：x=+1010101x补=0，1010101x移=1，1010101x=-10101

11、01x补=1，0101011x移=0，0101011表2-1给出了整数的移码、补码和真值之间的关系。表1 整数的移码、补码和真值之间的关系真值x（十进制）真值x（二进制）x补x移-128-100000001，00000000，0000000-127-11111111，00000010，0000001-1-00000011，11111110，1111111000000000，00000001，0000000【例4】写出下列各数的原码、反码、补码、移码（用8位二进制数表示），其中最高位是符号位。如果是纯小数，小数点在最高位之后；如果是整数，小数点在最低位之后。l(1)27/64(2)27/64l(

12、3)-127(4)用小数表示1l(5)用整数表示1l(6)用整数表示128表2 例2-4的机器数十进制数二进制数真值原码反码补码移码-27/64-0，0110111.01101101.10010011.10010100.100101027/640.0110110.01101100.01101100.01101101.0110110-127-11111111，11111111，00000001，00000010，0000001用小数表示-1-1.0/1.0000000/用整数表示-1-11，00000011，11111101，11111110，1111111用整数表示-128-10000000/

13、1，00000000，00000002.2.3 BCD2.2.3 BCD码码把十进制数的每一位分别写成二进制形式的编码，称为二进制编码的十进制数，即二到十进制编码或BCD（BinaryCodedDecimal）编码。BCD码编码方法很多，通常采用8421编码，这种编码方法最自然简单:使用四位二进制数表示一位十进制数，从左到右每一位对应的权分别是23、22、21、20，即8、4、2、1。例如十进制数1975的8421码可以这样得出1975（D）=0001100101110101（BCD）常用BCD码1.十进制有权码有权码是指表示十进制数的4位二进制数中的每一位都有一个确定的权值。用得最普遍的是8

14、421码，4位二进制数中的每一位从左到右的权分别为8、4、2、1。另外还有几种常用的有权码，它们分别是2421、5211、84-2-1码。表2-3列出了几种4位有权码的编码，其中84-2-1码每位的权是8、4、-2、-1。表3 几种常用的四位有权码十进制8421码2421码5211码84-2-1码0123456789000000010010001101000101011001111000100100000001001000110100101111001101111011110000000100110101011110001010110011101111000001110110010101001

15、0111010100110001111【例5】把十进制数368分别用8421码、2421码、5211码和84-2-1码表示出来。十进制数 3 6 8 8421码 0011 0110 1000 2421码 0011 1100 1110 5211码 0101 1010 1110 84-2-1码 0101 1010 10002. 十进制无权码 无权码指表示一个十进制数的4位二进制码的每一位都没有确定的权值。常用的无权码有余3码（Excess3 Code）和格雷码（Gray Code），格雷码又称循环码，如表2-4所示。表4 四位无权码十进制数余3码格雷码（1）格雷码（2）01234567890011

16、010001010110011110001001101010111100000000010011001001101110101010001100010000000100011000101010101100110001100110002.2.42.2.4字符数据表示字符数据表示1 西文字符编码l每一个字符有一个编码。lASCII码是美国国家信息交换标准码(American Standard Code for Information In-ange，简写为ASCII)，它已被世界所公认，并成为在世界范围内通用的字符编码。lASCII码由7位二进制数组成，因此定义了128种符号，其中有33种是起控制

17、作用的“功能码”，其中的95个编码分别对应键盘上可输入，并可以显示和打印的95个字符（包括大、小各26个英文字母，09共10个数字，还有33个通用运算符和标点符号等）。例如字母“A”的ASCII码为1000001(十进制为65)，加号“+”的ASCII码为0101011(十进制为43)。 汉字的编码汉字处理技术是我国计算机推广应用工作中必须要解决的问题。汉字数量大，字形复杂，读音多变。常用汉字有个左右。和西文相比，汉字处理的主要困难在于：汉字的输入、输出和汉字在计算机内部的表示。l汉字输入码l区位码和国标码l汉字内码l汉字字形码2.3浮点数表示浮点数是指小数点在数据中的位置可以左、右移动的数。

18、一个数N要用浮点数表示可以写成：N=MREM表示浮点数的尾数E表示浮点数的指数或阶码R指的是在这个指数下的基数2.3.12.3.1浮点数的基本表示形式浮点数的基本表示形式1. 常用的浮点数格式浮点数的尾数M（尾符ms为1位，尾值m为n位），用定点小数表示，小数点在尾数最高数值位之前，是默认的。尾值m用于表示浮点数的有效位数，其位数n的大小反映了此浮点数的精度。尾符ms表示浮点数的正、负。浮点数的阶码E（阶符es为1位，阶值e为k位），用定点整数表示。阶码用于表示小数点在该浮点数中的位置，其位数的多少反映了此浮点数所能表示的数的范围。 第一种浮点数格式：msEm 1位 (k+1)位 n位 第二种

19、浮点数格式：esemsm 1位 k位 1位 n位 2.浮点数的表示范围当es=0，ms=0，阶码和尾数的数值位各位全为“1”（即阶码和尾数都为最大正数）时，该浮点数为最大正数：x最大正数=（1-2-n）。当es=1，阶码的数值位全为“0”；ms=0，尾数的最低位mn=1，其余各位为“0”（即阶码为绝对值最大的负数，尾数为最小正数）时，该浮点数为最小正数：x最小正数=2-n。当es=0，阶码的数值位全为“1”；ms=1，尾数的数值位全为“0”（即阶码为最大正数，尾数为绝对值最大负数）时，该浮点数为绝对值最大负数：x绝对值最大的负数=-1。用相同的位数表示浮点数，采用的基数不同，所能表示的数的范围

20、也不同。【例6】一个17位的浮点数，阶码用4位表示，尾数用13位（包括一位符号位）表示。基数为2，阶码用补码表示，尾数用原码表示，求其浮点数的表示范围。3. 浮点数的规格化当R=2且尾数用二进制数表示时，浮点规格化数定义尾数M应满足下面关系：（1）对于正数，无论尾数用原码表示还是用补码表示，尾数M都应大于等于1/2，小于1”，即1/2M-1，用二进制数表示为M=1.1（为0或1）。l如果尾数用补码表示，-1/2M-1，用二进制数表示为M=1.0（为0或1）。【例7】将下列十进制数表示成浮点规格化数，阶码3位，分别用补码和移码表示；尾数9位，用补码表示，基数R=2。阶码用补码采用第二种浮点数格式

21、，阶码用移码采用第一种浮点数格式。（1）27/64，（2）-27/64。【例 8】规格化浮点数表示形式是阶码用4位移码、尾数用12位原码（含数的符号），尾数采用隐藏位；（1）写出上述格式定义的规格化浮点数所能表示的绝对值的最大和最小的正数，和绝对值最大和最小的负数的值；（2）说明上述格式定义的浮点数的机器零；（3）说明浮点数中的隐藏位的含义与用法。2.3.22.3.2浮点数与定点数的比较浮点数与定点数的比较1.数值的表示范围2.精度3.数的运算4.溢出处理2.4 实例：IEEE754标准在目前常用的80 x86系列微型计算机中，通常设有支持浮点运算的部件。在这些机器中的浮点数采用IEEE754

22、标准，它与前面介绍的浮点数格式有一些差别。按IEEE754标准，常用的浮点数的格式msEm尾符阶码部分，用移码表示尾数数值位尾部部分，用原码表示表7 IEEE 754 标准中的 3 种浮点数偏置值类型数符阶码尾数数值总位数 十六进制十进制短浮点数1823327FH127长浮点数11152643FFH1023临时浮点数11564803FFFH16383【例9】将（100.25）10转换成短浮点数格式。把十进制数转换成为二进制数（100.25）10=（1100100.01）2规格化二进制数1100100.01=1.10010001261111111+110=10000101以短浮点数格式存储该数阶

23、码=10000101尾数=10010001000000000000000所以，短浮点数代码为0；10000101；10010001000000000000000表示为十六进制的代码：42C88000H。【例 10】把短浮点数C1C90000H转换成为十进制数。因为，C1C90000H=11000001110010010000000000000000所以，符号位=1阶码=10000011尾数=10010010000000000000000计算出阶码真值（移码-偏置值）10000011-1111111=100以规格化二进制数形式写出此数1.100100124写成非规格化二进制数形式11001.00

24、1转换成十进制数，并加上符号位 11001.001）2=（25.125）10所以， 该浮点数=-25.1252.5 数据校验2.5.12.5.1奇偶校验码奇偶校验码l奇校验：它约定整个校验码（包括有效信息位和校奇校验：它约定整个校验码（包括有效信息位和校验位）中验位）中“”的个数为奇数。的个数为奇数。l偶校验：它约定整个校验码（包括有效信息位和校偶校验：它约定整个校验码（包括有效信息位和校验位）中验位）中“”的个数为偶数。的个数为偶数。 【例11】设有效信息为1011001，则偶校验码为10110010，奇校验码为10110011。 【例12】设有效信息为1011110，则偶校验码为10111

25、101，奇校验码为10111100。 2.5.22.5.2海明校验海明校验推导推导D D并使用长度为并使用长度为mm位的码字的海明码，所位的码字的海明码，所需步骤如下：需步骤如下： 1、确定D最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。1 1校验位数的确定校验位数的确定推求海明码时的一项基本考虑是确定所

26、需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k种不同状态。这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：2k-1m+k2 2码字格式码字格式表8海明码中校验位和信息位的定位码字位置B1B2B3B4B5B6B7校验位xxx信息位xxxx复合码字P1P2D1P3D2D3D43 3校验位的确定校验位的确定 k个校验位是通过对8m+k位复合码字进行

27、奇偶校验而确定的。其中：P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、（P1、D1、D2、D4、）位，（包括P1自己）P2负责校验海明码的第2、3、6、7、（P2、D1、D3、D4、）位，（包括P2自己）P3负责校验海明码的第4、5、6、7、（P3、D2、D3、D4、）位，（包括P3自己）对m=4，k=3，偶校验的例子，只要进行式次偶性测试。这些测试（以A、B、C表示）表9 奇偶校验位置可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：A=B1B3B5B7=0得P1=D1D2D4B=B2B3B6B7=0得P2=D1D3D4C=B4 B5 B6 B7=0得P3=D2 D3 D4奇偶条件码字位置1234567A

28、BCx x xx xx x xxxxx表10 四位信息码的海明编码码字位置B1B2B3B4B5B6B7码位类型P1P2D1P3D2D3D4信息码-1-001校验位00-1-编码后的海明码00110012.5.22.5.2CRCCRC校验校验1.1. 循环码生成方法循环码生成方法（1 1）被校验数据）被校验数据M=CM=Cn-1n-1C Cn-2n-2C C1 1C C0 0，是一个，是一个n n位二进制数据，位二进制数据，可用一个可用一个n-1n-1阶的二进制多项式来表示，阶的二进制多项式来表示，M M（x x）=C=Cn-1n-1x xn-n-1 1+C+Cn-2n-2x xn-2n-2+

29、+C+C1 1x x1 1+C+C0 0，多项式的系数是一位二进制数，且，多项式的系数是一位二进制数，且与被校数据与被校数据C Ci i一一对应。一一对应。（2 2）校验位若取）校验位若取k k位二进制数，并且放在被校数据右边，可位二进制数，并且放在被校数据右边，可将被校数据左移将被校数据左移k k位，得到位，得到M M（x x）x xk k，其，其n+kn+k位代码是位代码是C Cn-n-1+k1+kC Cn-2+kn-2+kC C1+k1+kC Ck k00000 0（3 3）用）用k+1k+1位的生成多项式位的生成多项式G G（x x）对）对M M（x x）x xk k作模作模2 2除法

30、，除法，得到商式得到商式Q Q（x x）和）和R R（x x）余式，则）余式，则M M（x x）x xk k=Q=Q（x x）G G（x x）+R+R（x x）。模）。模2 2运算是按位运算，位间没有进位关系。模运算是按位运算，位间没有进位关系。模2 2加减法是异或运算，且加减结果相同。模加减法是异或运算，且加减结果相同。模2 2除法：每求一除法：每求一位商，余数减少一位；且当余数最高位为位商，余数减少一位；且当余数最高位为“1 1”时商时商“1 1”，余数最高位为余数最高位为“0 0”时商时商“0 0”。（4 4）当余数）当余数R R（x x）为）为k k位时，除法停止；把余数位时，除法停止

31、；把余数R R（x x）放在）放在M M（x x）x xk k右边右边k k位，得到被校验数据的位，得到被校验数据的CRCCRC码。码。2.2. 校验原理校验原理M M（x x）x xk k+R+R（x x）=M=M（x x）x xk k-R-R（x x）=Q=Q（x x）G G（x x）显然，当不出错误时，显然，当不出错误时，CRCCRC码应能被码应能被G G（x x）整除，余数整除，余数=0=0；若余数；若余数0 0，表示被校数，表示被校数据出错，且其余数与出错位有一定对应据出错，且其余数与出错位有一定对应关系。关系。如果对余数末位补如果对余数末位补0 0，继续作模，继续作模2 2除法，除

32、法，则余数按一定规律循环出现。则余数按一定规律循环出现。3.3. 生成多项式生成多项式生成多项式生成多项式G G（x x），不是任意指定的，必须是），不是任意指定的，必须是按照要求特选出来的。按照要求特选出来的。G G（x x）必须具备的条件：）必须具备的条件：（1 1）CRCCRC码中任何一位出错，使余数码中任何一位出错，使余数0 0。（2 2）CRCCRC码中不同数位出错，余数不同，且有码中不同数位出错，余数不同，且有一一对应关系。可根据不同余数找到出错位。一一对应关系。可根据不同余数找到出错位。（3 3）余数继续作模）余数继续作模2 2运算，应使余数循环。运算，应使余数循环。表表12 1

33、2 常用生成多项式常用生成多项式CRC码位数被校数据位数校验位数生成多项式G(x)G(x)二进制码743X3+x+110111531631041112657102445616X4+x+1X5+x2+1X6+x+1X16+x15+x2+1100111001011000011110000000000001014.4. CRCCRC码举例码举例【例【例2 2 1313】对对4 4位二进制数据位二进制数据11001100生生成成CRCCRC码。码。解：解：M M（x x）=1100=x=1100=x3 3+x+x2 2G G（x x）=1011=x=1011=x3 3+x+1+x+1，校验位，校验位3

34、 3位位M M（x x）x x3 3=x=x6 6+x+x5 5=1100000=1100000，M M（x x）左移）左移3 3位位用模用模2 2除法，求除法，求R R（x x）得）得M M（x x）x x3 3G G（x x）=1100000=11000001011=1110+010/10111011=1110+010/1011得到得到11001100的的CRCCRC码为码为11000101100010，如果传送正确，如果传送正确CRCCRC码可被码可被G G（x x）=1011=1011整除，余数整除，余数R R（x x）=0=0。【例13】对4位二进制数据1100生成CRC码。5 5

35、CRCCRC码校验特性码校验特性（1 1） 任何一个任何一个CRCCRC码进行循环右移一位，或循环码进行循环右移一位，或循环左移一位，产生的新码仍是一个左移一位，产生的新码仍是一个CRCCRC码，校验位仍码，校验位仍在右边指定的位上。在右边指定的位上。（2 2） 任何两个任何两个CRCCRC码按位异或，所得结果仍是一码按位异或，所得结果仍是一个个CRCCRC码，可被码，可被G G（x x）整除。）整除。（3 3） 任何一个任何一个CRCCRC码，可被其生成多项式码，可被其生成多项式G G（x x）整除。即当整除。即当CRCCRC码传送时，在接收端对得到的编码码传送时，在接收端对得到的编码用其生

36、成多项式作模用其生成多项式作模2 2除法时，余数应为除法时，余数应为0 0，说明传，说明传送正确无误。送正确无误。（4 4） 任何一个任何一个CRCCRC码，在接收端不能被其生成多码，在接收端不能被其生成多项式整除时，说明传送有误。且不同余数对应不同项式整除时，说明传送有误。且不同余数对应不同数据位出错，因而可纠正一位错。数据位出错，因而可纠正一位错。表13 CRC校验余数与出错位关系表C7C6C5C4C3C2C1G(x)除后余数出错位C7C6C5C4C3C2C1G(x)除后余数出错位1100010110001111000001100110000001010100没有出错1231101010 1110010100001001000100111101111014567