第二章流体静力学

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1、平衡流体的应力特征流体的平衡微分方程及其积分流体静力学基本方程流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、相对压强、真空值、测压管水头等静止液体总压力的计算液体的相对平衡证明：采用反证法, 其要点如下:2 因流体几乎不能承受拉应力，故p指向受压面。1 因平衡流体不能承受切应力，即=0，故p垂直受压面；方向性: 平衡流体中的应力垂直于作用面，并沿作用面平衡流体中的应力垂直于作用面，并沿作用面 的内法线方向。的内法线方向。大小性：大小性：平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关证明：在平衡流体中取如图所示微小四面体OABC，分析作用在四面体上的力,

2、列x、y、z三个方向力的平衡方程，当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn即 p=p(x,y,z) 在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得 上式也可用矢量方程表示：01pf 上式即为流体的平衡微分方程，亦称欧拉平衡微分方程。对不可压缩和可压缩流体均适用。010101zpfypfxpfzyx二.流体平衡微分方程的积分 将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得)ddd(dddzfyfxfzzpyypxxpzyxzzpyypxxppdddd由),(zyxpp ，有 故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）

3、)ddd(dzfyfxfpzyx四.等压面1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。2.等压面微分方程0dddzfyfxfzyx3.等压面的性质(1)等压面与等势面重合等压面与等势面重合;(2)等压面恒与质量力正交。等压面恒与质量力正交。或0d sf 只受重力作用的连通的同一种液体内，等压面为水平面；反之，水平面为等压面。一.流体静力学基本方程Cpz对于静止流体中任意两点，又可写成2211pzpz或)(2112zzpp 对于液体，如图所示，则有hpzzpp000)(上式为不可压缩静止液体的压强计算公式，通常亦称为水静力学基本方程。该式表明：xzyp0AZ0Zh（1）在静止液体中，压强随淹没深度

4、按线性规律增加）在静止液体中，压强随淹没深度按线性规律增加；（2）静止液体的等压面为水平面（等高面）。）静止液体的等压面为水平面（等高面）。 通常建筑物表面和自由液面都作用着当地大气压强pa。在工程技术中，当地大气压的大小常用一个工程大气压（相当于海拔200m处的正常大气压强）来表示。一个工程大气压（at）的大小规定为相当于735mm汞柱或10m水柱对其柱底所产生的压强。二.绝对压强、相对压强、真空值 绝对压强p， 绝对压强不可为负绝对压强不可为负 相对压强（计示压强、表压强）pappp（2-14）相对压强可正可负相对压强可正可负真空压强（真空值）pvpppav（2-15） 上述绝对压强、相对

5、压强及真空值三者的关系如图所示真空值恒为正值真空值恒为正值例2-1 如图所示封闭盛水容器的中央玻璃管是两端开口的，已知玻璃管伸入水面以下1.5m时，即无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强p0和相对压强p0。三.流体静压强分布图 1.绘制液体静压强分布图的知识点 流体静力学基本方程； 平衡流体中的应力特征（大小性、方向性）。2.液体静压强分布图的绘制方法（1）根据水静力学基本方程，计算出受压面上各点压强的大小，用一定长度比例的箭头线表示各点的压强，箭头线必须垂直并指向作用面；（2）对于不可压缩液体，重度为常量，p与h呈线性关系，当受压面为平面时，只需用直线连

6、接箭头线的尾部，即可得到压强分布图；而当受压面为曲面时，由于曲面上各点的法向不同，因此需用曲线连接箭头线的尾部。ABpaPa+gh画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图0ppgh相对相对压强分布图ABghBABCABAB画出下列容器左侧壁面上的压强分布图练习:绘出图示AB壁面上的相对压强分布图四.测压管高度、测压管水头及真空度测压管高度用测压管内的液体高度表示的液体中任意点的相对压强，即 。测压管水头任一点测压管高度 与该点相对于基准面的位置高度z之和，即pp/pz p真空度hv用液柱高度来表示的真空值pv。 举例说明测压管高度、测压管水头等概念。练习：图示给水

7、管路出口阀门关闭时，试确定管路中A、B两点的测压管高度和测压管水头1.测压管2.U形管测压计3.U形管真空计4.U形管差压计5.复式测压计相对平衡相对平衡液体相对于地球虽有运动，但液体本身各质点之间却没有相对运动。 研究特点研究特点：建立动坐标系。 注意注意：与重力作用下的平衡液体所不同的是，相对平衡液体所受质量力除了重力，还有牵连惯性力。 1.直线等加速容器中液体的相对平衡afx0yfgfz将其代入液体平衡微分方程的综合式后，得)dd(dzgxap积分得CzxgaCgzaxp)()(当x=z=0时，p=p0，得C=p0，代入上式后，得建立如图所示的动坐标系，则)(0zxgapp等压面微分方程

8、：0dzd gxa积分得等压面方程：1Cgzax液面方程：xgazs与绝对静止情况比较压强分布绝对静止：绝对静止：)z(fgzppa相对静止：相对静止：)z , x(f)zxga(gppa将其代入流体平衡微分方程综合式，得2.等角速旋转容器中液体的相对平衡 对于液体内任一质点A(x,y,z),其所受单位质量力在各坐标轴方向的分量为xfx2yfy2gfz)ddd(d22zgyyxxp积分上式，得CzgrCgzyxp)2()2121(222222在x=0，y=0，z=0处，p=p0，得C=p0，得)2(220zgrpp等压面方程：1222Czgr液面方程：grzs222与绝对静止情况比较压强分布绝

9、对静止：绝对静止：)z(fgzppa相对静止：相对静止：)z , y, x(f)zrg2(gpp22a例.如图所示顶盖中心开孔的圆柱形容器，直径d=600mm，高H=500mm，盛水深至h=400mm，余下部分盛满相对密度为0.8的油。若容器绕其中心轴旋转，问转速n为多大时油面开始接触到底板？并求此时顶盖和底板上的最小、最大相对压强。水油Hhpad 确定静止液体作用在受压面上的总压力的大小、方向和压力作用点是许多工程技术上必须解决的工程流体力学问题。如水池、船闸及水坝的设计等。一. 解析法AyAhApPdsinddd作用在平面ab上的总压力为ApAhAyyPPCCCAAsindAsind 意义

10、：静止液体作用在任意方位、任意形状平面上的总压力P的大小等于受压面面积与其形心处相对压强的乘积。1.总压力的大小2. 总压力的方向 总压力总压力P的方向垂直并指向受压面。的方向垂直并指向受压面。3.总压力P作用点D的确定 对Ox有PyPyADd或AyAyyADCdsinsin2化简整理上式，得AyIyCxD根据惯性矩的平行移轴定理，又可写成AyIyyCCCD求D点的x坐标（自己推导）。例1.某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。hhhA12例2.求图示封闭容器斜壁上的圆形闸门所受的静水总

11、压力及作用点。已知闸门直径d=2m，a=1m，=60。，容器内水面的相对压强pe0=98.1KN/m2。2.图算法 如图所示矩形平面，其相对压强分布图为三角形，则总压力为：bAbhAhPpc221bhAhhc,2 上式上式表明，静止液体作用在矩形平面上的总压力恰等于以表明，静止液体作用在矩形平面上的总压力恰等于以压强分布图的面积为底，高度为压强分布图的面积为底，高度为b的柱体体积。的柱体体积。 其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。 对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩形两部分进行计算后，最后利用合力

12、矩定理求总压力作用点。例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求：（1）每根横梁所受静水总压力的大小；（2）各横梁至水面的距离。1.总压力的大小和方向 AhApPddddP垂直于面积dA，与水平线成角。为便于分析，将dP分 解成水平分力dPx和垂直分力dPz两部分，在整个受压面上对dPx、 dPz积分，得总的水平分力Px和垂直分力Pz。sindsinddcosdcosddAhPPAhPPzx作用在整个曲面上的水平分力Px为xcxAxAhAhdAxCxAxxAhAhAhPPxdcosdd作用在整个曲面上的垂直分力Pz为PzAAzzVAhAhP

13、Pzdsindd式中：zAzPAhVd是压力体的体积；Az是受压面在水平面的投影面积。总压力的大小和方向22zxPPPxzPParctan2.总压力作用点的确定水平分力Px的作用线通过Ax的压力中心；铅垂分力Pz的作用线通过VP的重心；总压力P的作用线由Px、Pz作用线的交点和xzPParctan确定；将P的作用线延长至受压面，其交点D即为总压力在曲面上的作用点。3.压力体的概念(1)压力体仅表示 的积分结果(体积)，与该体积内是否有 液体存在无关；zAzAhd(2)压力体一般是由三种面所围成的体积，即压力体一般是由三种面所围成的体积，即受压曲面（压力体的底面压力体的底面）；自由液面或自由液面

14、的延长面（压力体的顶面压力体的顶面）由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面（压力体的侧面压力体的侧面）。（3）压力体的虚实性实压力体：压力体和液体在受压曲面的同侧，Pz向下；虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。ABAB例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。 dd/2cba水水解 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。考虑左侧水的作用abcbacabab段曲面段曲面( (实压力体实压力体) )bcbc段曲面段曲面( (虚压力体虚压力体) )cba

15、ba阴影部分阴影部分相互抵消相互抵消bacabcabc曲面曲面( (虚压力体虚压力体) )考虑右侧水的作用bcbc段曲面段曲面( (实压力体实压力体) )cba左右合成左侧水的左侧水的作用作用右侧水的右侧水的作用作用cbacbacb ba aabcabc曲面曲面( (虚压力体虚压力体) )cba例5.试绘出图中曲面上的压力体例6.图示为一贮水设备,已知h=1.5m，R=1.5m，金属测压计读数为98.1kPa，试求作用在半球面AB上的总压力。例7.半径R=0.2m、长度l=2m的圆柱体与油（比重为0.8）水接触情况如图所示，圆柱体右边与容器顶边成直线接触，试求:圆柱体作用在容器顶边上的力；圆柱

16、体的重量。流体静压强的计算流体静压强的计算静止液体总压力静止液体总压力P计算计算复习题：复习题：一般来说，平衡流体的静压强p=A . p(z) B. p(x , y) C. p(x , y , z) D. p(x , y, z, t)下列关于流体压强的说法中，正确的是（ ）。 A 绝对压强可正可负 B 相对压强可正可负 C 真空压强可正可负 D 绝对压强恒为正，而真空压强恒为负流体静压强的作用方向为（ ）。 A. 平行受压面 B. 垂直受压面 C. 指向受压面 D. 垂直指向受压面有一倾斜放置的平面闸门，当上下游水位都上升1m时（虚线位置），闸门上的静水总压力。 ( )。 A. 变大 B. 变

17、小 C. 不变 D. 无法确定液体随容器作等角速旋转运动时，其测压管水头 为（ ）。 A、C(x, y, z) B、C(x, y) C、C(z) D、C(0)gpzzPzPzPzPzP下列关于压力体的说法中，正确的有（ ） A、当压力体和液体在曲面的同侧时，为实压力体， B、当压力体和液体在曲面的同侧时，为虚压力体， C、当压力体和液体在曲面的异侧时，为实压力体， D、当压力体和液体在曲面的异侧时，为虚压力体， E、当压力体和液体在曲面的异侧时，为虚压力体，如图所示形状各异的盛水容器的底面积和水深均相等，但盛水量各不相同，则作用在容器底面的静水总压力相等的有（ ）。如图所示以充满水的球形容器，

18、球顶点处的压强等于当地大气压，如过球心的水平面将其剖分，则作用在上下班球面上的静水总压力之比P上/P下=（ ）。 A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5一弧形闸门如图所示，闸门宽度一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角，圆心角=45，半，半径径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。压力。解：闸门前水深为解：闸门前水深为ABhORsin2 sin451.414hRm水平分力：水平分力：1.4149.81.414 439.192PxcxcxFp Agh AkN铅直分力：铅直分力：211()22.3482PzFgVgRh h bkN静水总压力的大小：静水总压力的大小：2245.11PPxPzFFFkN静水总压力与水平方向的夹角：静水总压力与水平方向的夹角：arctan29.68PzPxFF静水总压力的作用点：静水总压力的作用点：ZDDsin2 sin29.681DZRm