高中数学 1.9三角函数的简单应用课件 北师大版必修4

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1、 物理学中的周期现象的处理方法物理学中的周期现象的处理方法 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，它有着三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，它有着重要的应用价值重要的应用价值. .由于物理学中的单摆、光波、机械波、电由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识. .因此借因此借助于三角函数模型，正确利用物理学中的相关知识是解答助于三角函数模型，正确利用物理学中的相关知识是解答此类问题的关键此类问题的关键. .三角函数在物理学中的应用三角函数在物理学中的应用【例例1 1】如图，表示电流强度如图，表示电流强度I

2、I与与时间时间t t的关系式的关系式I=I=Asin(tAsin(t+ )+ )(A0,0)(A0,0)在一个周期内的图像在一个周期内的图像 (1)(1)根据图像写出根据图像写出I=I=Asin(tAsin(t+ )+ )的解析式；的解析式；(2)(2)为了使为了使I=I=Asin(tAsin(t+ )+ )中中t t在任意一段在任意一段 秒的时间内秒的时间内I I能同时取最大值能同时取最大值|A|A|和最小值和最小值-|A|-|A|，那么正整数，那么正整数的最小值的最小值为多少？为多少？1100【审题指导审题指导】(1)(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关由一个周期内的图像可确定图像的

3、五个关键点，据此可求出解析式键点，据此可求出解析式.(2).(2)画图分析得：要使任意一段画图分析得：要使任意一段 秒的时间内秒的时间内I I能同时取最大值和最小值，需要满足周期能同时取最大值和最小值，需要满足周期1T.1001100【规范解答规范解答】(1)(1)由图可知：由图可知：A=300A=300，周期周期 ，此时所求函数的解析式为，此时所求函数的解析式为I=300sin(100t+ )I=300sin(100t+ )以点以点 为为“五点法五点法”作图的第一关键点，则有作图的第一关键点，则有得函数解析式为得函数解析式为 . . 1100()0.3003 ，111T().6030050

4、2100T1(,0)300I300sin(100 t)3 (2)(2)要使要使t t在任意一段在任意一段 秒能取得最大值和最小值秒能取得最大值和最小值, ,必须使得周期必须使得周期即即由于由于为正整数为正整数, ,故故的最小值为的最小值为629.629.21200628.3100 11001T100【变式训练变式训练】弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离位置的距离s(cms(cm) )随时间随时间t(st(s) )的变化曲线是一个三角函数曲的变化曲线是一个三角函数曲线，其图像如图所示线，其图像如图所示(1)(1)求这条曲线对应的函数解析式；求这

5、条曲线对应的函数解析式；(2)(2)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【解题提示解题提示】小球在开始振动时，离开平衡位置的位小球在开始振动时，离开平衡位置的位移就是移就是t=0t=0时时s s的值的值. .【解析解析】(1)(1)设这条曲线对应的函数解析式为设这条曲线对应的函数解析式为s=s=Asin(tAsin(t+ ).+ ).由图像可知：由图像可知：A=4A=4，周期，周期此时所求函数的解析式为此时所求函数的解析式为s=4sin(2t+ )s=4sin(2t+ )以点以点 为为“五点法五点法”作图的第二关键点，则有作图的第二关键点，

6、则有得函数解析式为得函数解析式为s4sin(2t)372T2 (),21212 ，(,4)122,1223 ，(2)(2)当当t=0t=0时，时，小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是 cm.cm.3s4sin(2 0)4sin42 3(cm)332 2 3 对三角函数在生产生活中的应用的理解对三角函数在生产生活中的应用的理解(1)(1)现实生产、生活中，周期现象广泛存在，在解决实际问现实生产、生活中，周期现象广泛存在，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图散点图”，通过观察，通过观察散点图，进行函数拟合，获得具体

7、的函数模型散点图，进行函数拟合，获得具体的函数模型. . (2)(2)应用数学知识解决实际问题时，应该注意从复杂的背景应用数学知识解决实际问题时，应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要用相关学科知识来帮助理解中抽取基本的数学关系，还要用相关学科知识来帮助理解问题问题. . (3)(3)在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件. .三角函数在生产生活中的应用三角函数在生产生活中的应用 应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入

8、原问题中进行检验、评判入原问题中进行检验、评判. .【例例2 2】如图为一个缆车示意图，该缆车如图为一个缆车示意图，该缆车半径为半径为4.8 m,4.8 m,圆上最低点与地面距离为圆上最低点与地面距离为0.8 m,600.8 m,60秒转动一圈，图中秒转动一圈，图中OAOA与地面垂与地面垂直，以直，以OAOA为始边，逆时针转动为始边，逆时针转动角到角到OBOB，设设B B点与地面距离是点与地面距离是h.h.(1)(1)求求h h与与间的函数关系式；间的函数关系式；(2)(2)设从设从OAOA开始转动，经过开始转动，经过t t秒后到达秒后到达OBOB，求，求h h与与t t之间的函之间的函数解析

9、式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？多少？【审题指导审题指导】联想到由三角函数的定义可求角联想到由三角函数的定义可求角与点与点B B的坐的坐标关系，可考虑建立恰当的直角坐标系，用标关系，可考虑建立恰当的直角坐标系，用表示点表示点B B的坐的坐标，进而求标，进而求h h与与的函数关系式的函数关系式. .对于第对于第(2)(2)问可求问可求与时间与时间t t的关系，得到的关系，得到h h与与t t的函数关系式的函数关系式. .【规范解答规范解答】(1)(1)以圆心以圆心O O为原点，建立为原点，建立如图所示的坐标系，则以如图所示的坐标

10、系，则以OxOx为始边，为始边，OBOB为终边的角为为终边的角为 , ,故故B B点坐标为点坐标为 h=5.6+4.8sin ,h=5.6+4.8sin ,0,+).0,+).()22(4.8cos(),4.8sin().22(2)(2)点点A A在圆上转动的角速度是在圆上转动的角速度是 , ,故故t t秒转过的弧度数为秒转过的弧度数为 , ,h=5.6+4.8sin ,th=5.6+4.8sin ,t0,+).0,+).到达最高点时，到达最高点时，h=10.4 m.h=10.4 m.由由 得得 ,t=30,t=30,缆车到达最高点时，用的时间最少为缆车到达最高点时，用的时间最少为3030秒秒

11、. .t302230t30(t)302sin(t)1302【变式训练变式训练】如图所示，摩天轮如图所示，摩天轮的半径为的半径为40 m40 m，O O点距地面的高度点距地面的高度为为50 m50 m，摩天轮做匀速转动，每，摩天轮做匀速转动，每3 min3 min转一圈，摩天轮上的转一圈，摩天轮上的P P点的点的起始位置在最低点处起始位置在最低点处. .(1)(1)试确定在时刻试确定在时刻t mint min时时P P点距离地面的高度；点距离地面的高度；(2)(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P P点距离地面超过点距离地面超过70 m?70 m? 【解题提示解

12、题提示】(1)(1)建立坐标系设出变量，表示出建立坐标系设出变量，表示出y y与与t t的函数关系即可求解的函数关系即可求解. .(2)(2)分析题意，列出不等式，解三角不等式分析题意，列出不等式，解三角不等式. .【解析解析】(1)(1)以中心以中心O O为坐标原点建立为坐标原点建立如图所示的坐标系，设如图所示的坐标系，设t mint min时时P P距地距地面高度为面高度为y,y,依题意得依题意得则则t mint min时，时，P P点距离地面的高度为点距离地面的高度为25040sin(t).322y40sin(t)50.32(2)(2)令令 , ,3k+13k+1t t3k+2,(kZ)

13、.3k+2,(kZ).令令k=0k=0得得1 1t t2.2.因此，共有因此，共有1 min1 min的时间距地面超过的时间距地面超过70 m. 70 m. 240sin(t)50 703221sin(t),322252kt2k, kZ ,63262242kt2k, kZ ,333 对三角函数在平面几何中应用的认识对三角函数在平面几何中应用的认识 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何于是使三

14、角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为，这无疑使三角函数在平面几何中和代数中都能有所作为，这无疑使三角函数在平面几何中有着广泛的应用有着广泛的应用. .三角函数在平面几何中的应用三角函数在平面几何中的应用【例例】如图，半径为如图，半径为1 1的圆与直线的圆与直线l相交相交于于A A、B B两个不同的点，设两个不同的点，设AOB=xAOB=x，当，当直线直线l平行移动时，则圆被直线扫过部平行移动时，则圆被直线扫过部分分( (图中阴影部分图中阴影部分) )的面积的面积S S关于关于x x的函的函数数S(xS(x)=_.)=_.【审题指导审题指导】弓形的面积等于扇形的面积减去

15、三角形的面弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积积. .【规范解答规范解答】S(xS(x)=S)=S扇形扇形-S-S三角形三角形= (x-sinx),x(0,2).= (x-sinx),x(0,2).答案：答案：1xsinx ,x(0,2 )221xSx 122扇形11S1 1 sinxsinx22 三角形12【变式备选变式备选】如图，设点如图，设点A A是单位圆上的一定点，动点是单位圆上的一定点，动点P P从从点点A A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P P所旋转过的弧所旋转过的弧 的长为的长为l，弦，弦APAP的长为的长为d d，则函数，则函数d=d=

16、f(f(l) )的图像大致是的图像大致是( )( )AP【解析解析】选选C.C.设点设点P P逆时针旋转的弧度为逆时针旋转的弧度为,由由l= =RR可知可知 , ,结合圆的几何性质可知结合圆的几何性质可知 ，又又R=1, ,R=1, ,故结合正弦图像可知选故结合正弦图像可知选C.C.R ldR sin22d2sin2ld2Rsin2Rsin,22Rl【典例典例】(12(12分分) )某风景美丽的海滩的浪高某风景美丽的海滩的浪高y(y(米米) )是时间是时间t(0t24t(0t24，单位：小时，单位：小时) )的函数，记作的函数，记作y=y=f(tf(t),),下面是某日下面是某日浪高的数据：浪

17、高的数据：t/ht/h 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12y/my/m 3.50 2 0.50 1.98 3.51 3.50 2 0.50 1.98 3.51t/ht/h 15 18 21 24 15 18 21 24y/my/m 2.02 0.49 1.99 3.49 2.02 0.49 1.99 3.49经长期观察，经长期观察，y=y=f(tf(t) )的曲线可以近似地看成函数的曲线可以近似地看成函数y=y=AcosAcos t+bt+b的图像；的图像；(1)(1)试根据以上数据，求出函数试根据以上数据，求出函数y=y=f(tf(t) )的近似表达式；的近似表达式；(2)(2)一般

18、情况下，浪高在一般情况下，浪高在1.25 m1.25 m2 m2 m之间可以允许冲浪爱好之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动者开展冲浪运动( (认为是安全的认为是安全的) )，试求一天内的上午，试求一天内的上午8:008:00至至晚上晚上20:0020:00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？【审题指导审题指导】解答第解答第(1)(1)题的关键是确定周期和最大值、最题的关键是确定周期和最大值、最小值，求参数小值，求参数A A、b. b. 解答第解答第(2)(2)题时要注意根据题意构题时要注意根据题意构造不等式造不等式1.25y2.01.25y2

19、.0，求出，求出t t的取值范围的取值范围. .【规范解答规范解答】(1)(1)由表中数据，知周期由表中数据，知周期T=12T=12 2 2分分由由t=0,y=3.5t=0,y=3.5，得，得A+bA+b=3.5=3.5由由t=3,y=2.0t=3,y=2.0，得，得b=2.0b=2.0A=1.5A=1.54 4分分 (0t24) (0t24) 6 6分分22T126y1.5cost26(2)(2)由题知，当由题知，当1.25y2.01.25y2.0时才可对冲浪者开放时才可对冲浪者开放, , 8 8分分或或 (kZ)(kZ)即即12k+3t12k+412k+3t12k+4或或12k+8t12k

20、+9(kZ)12k+8t12k+9(kZ)1.251.5cost2261cost02622kt2k263432kt2k3620t240t24，故可令中，故可令中k k分别为分别为0 0，1 1，得得3t43t4或或8t98t9或或15t1615t16或或20t2120t211010分分在规定时间上午在规定时间上午8:008:00至晚上至晚上20:0020:00之间，故有之间，故有2 2个小时的时个小时的时间可供冲浪者运动：分别是上午间可供冲浪者运动：分别是上午8:008:00至至9:009:00与下午与下午15:0015:00至至16:00.16:00.1212分分 【误区警示误区警示】对解答

21、本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】(2011(2011黔东南州高一检测黔东南州高一检测) )某港口水深某港口水深y(y(米米) )是时间是时间t(0t24t(0t24，单位：小时，单位：小时) )的函数，记作的函数，记作y=y=f(tf(t) )，下，下面是某日水深的数据：面是某日水深的数据：经长期观察：经长期观察：y=y=f(tf(t) )的曲线可近似看成函数的曲线可近似看成函数y=y=AsinAsin t+bt+b的的图像图像(A0,0)(A0,0)(1)(1)求函数求函数y=y=f(tf(t) )的近似表达式；的近似表达式；(2)(2)

22、一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 5米或米或5 5米以上时认为是安全的米以上时认为是安全的. .某船吃水深度某船吃水深度( (船底离水面的距离船底离水面的距离) )为为6.56.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？至多能在港内停留多长时间？【解析解析】(1) (1) (2)(2)令令f(tf(t)=5+6.5=11.5)=5+6.5=11.5，tt0,240,24，可得，可得 ，进，进而而t=1,5,13,17,t=1,5,13,17,如图：如图：2T12.

23、6y3sint10,t06 Ab13A3,b10Ab71sint62当该船当该船1 1时入港，时入港，1717时出港，停留时间最长，为时出港，停留时间最长，为1616小时小时. .1.1.如图，是一向右传播的绳波，在某一时刻绳子各点的位置如图，是一向右传播的绳波，在某一时刻绳子各点的位置图，经过图，经过 周期后，乙点的位置将传播至周期后，乙点的位置将传播至( )( )(A)(A)甲甲 (B)(B)丙丙 (C)(C)丁丁 (D)(D)戊戊【解析解析】选选C.C.由图像可知乙为最低点，丁点为相邻最高点因由图像可知乙为最低点，丁点为相邻最高点因此经过此经过 周期后，乙点的位置将传播至丁周期后，乙点的

24、位置将传播至丁. .12122.2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置平衡位置O O的位移的位移s cms cm和时间和时间t st s的函数关的函数关系式为系式为 ，那么单摆来回摆，那么单摆来回摆动一次所需时间为动一次所需时间为( )( )(A)2 s (A)2 s (B)B) s s(C)0.5 s (D)1 s(C)0.5 s (D)1 ss6sin(2 t)6 【解析解析】选选D.D.因为函数因为函数 的周期的周期 ，所，所以单摆来回摆动一次所需时间为以单摆来回摆动一次所需时间为1 s.1 s.2T12s6sin(2 t)6 3.3.由于电流强

25、度由于电流强度I I随时间随时间t t变化的函数关系式是变化的函数关系式是I=I=AsinAsin tt, ,设设=100(=100(弧度弧度/ /秒秒) )，A=5(A=5(安培安培) )，则电流强度，则电流强度I I变化的周变化的周期是期是_；当；当 ( (秒秒) )时，电流强度是时，电流强度是_._.【解析解析】 ( (秒秒) )I=5sin100t I=5sin100t ( (安培安培) )答案答案: : 秒秒 -5-5安培安培333tI5sin(100)5sin52002002 ，221T100503t2001504.4.一半径为一半径为1010的水轮，水轮的圆心距水面的水轮，水轮的

26、圆心距水面7 7，已知水轮每分，已知水轮每分钟旋转钟旋转4 4圈，水轮上点圈，水轮上点P P到水面距离到水面距离y y与时间与时间x(x(秒秒) )满足函数关满足函数关系系 则则A=_A=_，=_.=_.【解析解析】由已知得由已知得P P点离水面的距离的最大值为点离水面的距离的最大值为1717，A=10A=10，又水轮每分钟旋转，又水轮每分钟旋转4 4圈，圈，答案答案: :10 10 602T15,415215yAsint7 A0,0 ，5.5.弹簧挂着小球，做上下振动，如图所弹簧挂着小球，做上下振动，如图所示，其规律为示，其规律为 ，这里，这里s(cms(cm) )表示时间表示时间t(st(

27、s) )内小球离开平衡位内小球离开平衡位置的位移置的位移( (规定：当小球在平衡位置上规定：当小球在平衡位置上方时方时s0)s0)，求：，求：(1)(1)当运动开始时，小球所在位置；当运动开始时，小球所在位置；(2)(2)小球上升到最高点时和下降到最低点时的位置；小球上升到最高点时和下降到最低点时的位置；(3)(3)经过多少时间，小球重复振动一次？经过多少时间，小球重复振动一次？s4cos(2t)3【解析解析】(1)(1)当当t=0t=0时时当运动开始时，小球在平衡位置上方当运动开始时，小球在平衡位置上方2 cm.2 cm.(2)(2)小球上升到最高点时离开平衡位置向上小球上升到最高点时离开平衡位置向上4 cm4 cm处，下降到最处，下降到最低点时离开平衡位置向下低点时离开平衡位置向下4 cm4 cm处处. .s4cos(2t)31s4cos42032cos(2t)13(3)(3)小球重复一次振动所需要时间就是函数小球重复一次振动所需要时间就是函数的周期，其周期的周期，其周期T=T=，故小球重复振动一次所需的时间是，故小球重复振动一次所需的时间是s.s.s4cos(2t)3