高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修21

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1、2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程问题问题引航引航1.1.抛物线的定义是什么抛物线的定义是什么? ?标准方程的四种形式标准方程的四种形式各是什么各是什么? ?2.2.如何建系才能使方程最简单如何建系才能使方程最简单? ?怎样推导抛物怎样推导抛物线的标准方程线的标准方程? ?1.1.抛物线的定义抛物线的定义(1)(1)定义定义: :平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l( (l不经过点不经过点F)F)距离距离_的点的轨迹的点的轨迹. .(2)(2)焦点焦点:_:_叫做抛物线的焦点叫做抛物线的焦点. .(3)(3)准线准线:_:_叫做抛物线的准线叫做抛物线的准线.

2、.相等相等点点F F直线直线l标准方程标准方程图形图形焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)_x x2 2=2py=2py(p0)(p0)_x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)_2.2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程p( ,0)2px2 p(,0)2px2p(0, )2py2 p(0,)2py21.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)标准方程标准方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)中的中的p p的几何意义是焦点到准线的距的几何意义是焦

3、点到准线的距离离.(.() )(2)(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(.() )(3)(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线抛物线.(.() )【解析【解析】(1)(1)正确正确. .抛物线的标准方程中抛物线的标准方程中p(pp(p0)0)即为焦点到准线即为焦点到准线的距离的距离, ,故该说法正确故该说法正确. .(2)(2)正确正确. .一次项决定焦点所在的坐标轴一次项决定焦点所在的坐标轴, ,一次项系数的正负决一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半

4、轴上定焦点是在正半轴或负半轴上, ,故该说法正确故该说法正确. .(3)(3)错误错误. .当定点在定直线上时当定点在定直线上时, ,不表示抛物线不表示抛物线, ,故该说法错误故该说法错误. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点坐标为的焦点坐标为; ;准线方程准线方程为为. .(2)(2)若抛物线的方程为若抛物线的方程为x=2ayx=2ay2 2(a0),(a0),则焦点到准线的距离则焦点到准线的距离p=p=. .(3)(3)焦点坐标为焦点坐标为

5、(0,2)(0,2)的抛物线的标准方程为的抛物线的标准方程为. .【解析【解析】(1)(1)因为因为y y2 2=4x=4x，所以，所以p=2p=2，所以焦点坐标为，所以焦点坐标为(1(1，0),0),准线方程为准线方程为x=-1.x=-1.答案：答案：(1,0) x=-1(1,0) x=-1(2)(2)因为因为x=2ayx=2ay2 2(a(a0)0)，所以，所以由由 所以所以答案：答案：21yx,2a12p2a，1p.4a14a(3)(3)因为焦点坐标为因为焦点坐标为(0,2)(0,2)，故标准方程可设为，故标准方程可设为x x2 2=2py(p=2py(p0),0),其中其中 所以所以p

6、=4.p=4.故标准方程为故标准方程为x x2 2=8y.=8y.答案：答案：x x2 2=8y=8y p2,2【要点探究【要点探究】知识点知识点 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程1.1.对抛物线定义的两点说明对抛物线定义的两点说明(1)(1)定直线定直线l不经过定点不经过定点F.F.(2)(2)定义中包含三个定值定义中包含三个定值, ,分别为一个定点分别为一个定点, ,一条定直线及一个一条定直线及一个确定的比值确定的比值. .2.2.抛物线标准方程的特点抛物线标准方程的特点(1)(1)是关于是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程. .(2)p(2)p的几何意义是焦点到准线

7、的距离的几何意义是焦点到准线的距离. .3.3.四种位置的抛物线标准方程的对比四种位置的抛物线标准方程的对比(1)(1)共同点共同点: :原点在抛物线上原点在抛物线上; ;焦点在坐标轴上焦点在坐标轴上; ;焦点的非零坐标都是一次项系数的焦点的非零坐标都是一次项系数的 . .(2)(2)不同点不同点: :焦点在焦点在x x轴上时轴上时, ,方程的右端为方程的右端为2px,2px,左端为左端为y y2 2; ;焦点在焦点在y y轴上时轴上时, ,方程的右端为方程的右端为2py,2py,左端为左端为x x2 2. .开口方向与开口方向与x x轴轴( (或或y y轴轴) )的正半轴相同的正半轴相同,

8、,焦点在焦点在x x轴轴( (或或y y轴轴) )正正半轴上半轴上, ,方程右端取正号方程右端取正号; ;开口方向与开口方向与x x轴轴( (或或y y轴轴) )的负半轴相同的负半轴相同, ,焦点在焦点在x x轴轴( (或或y y轴轴) )负半轴上负半轴上, ,方程右端取负号方程右端取负号. .14【知识拓展【知识拓展】抛物线与二次函数的关系抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)，当，当b,cb,c为为0 0时，时，y=axy=ax2 2表示焦点在表示焦点在y y轴上的抛物线，标准方程为轴上的抛物线，标准方程为x

9、x2 2= a0= a0时时抛物线开口向上，抛物线开口向上，a0a0,b0)(a0,b0)的离心率为的离心率为2.2.若抛物若抛物线线C C2 2：x x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点到双曲线的焦点到双曲线C C1 1的渐近线的距离为的渐近线的距离为2 2，则，则抛物线抛物线C C2 2的方程为的方程为( )( )2222xy1ab22228 316 3A.xy B.xy33C.x8y D.x16y(2)(2)求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程: :过点过点M(-6M(-6，6)6)；焦点焦点F F在直线在直线l:3x-2y-6=0:3x-2y-6=

10、0上上. .【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中抛物线的焦点坐标是什么？中抛物线的焦点坐标是什么？2.2.题题(2)(2)已知抛物线上一点，如何确定开口方向？已知抛物线上一点，如何确定开口方向？中抛物线的焦点坐标是什么中抛物线的焦点坐标是什么? ?【探究提示【探究提示】1.1.抛物线的焦点坐标为抛物线的焦点坐标为2.2.中的点在第二象限，故抛物线的开口向上或向左；中的点在第二象限，故抛物线的开口向上或向左；中抛物线的焦点坐标为中抛物线的焦点坐标为(0,-3)(0,-3)或或(2,0).(2,0).p(0, ).2【自主解答【自主解答】(1)(1)选选D.D.抛物线的焦点坐标为抛物线

11、的焦点坐标为 双曲线的渐双曲线的渐近线方程为近线方程为 不妨取不妨取 即即bxbx-ay=0-ay=0，焦点到渐近线，焦点到渐近线的距离为的距离为即即 所以所以又双曲线的离心率为又双曲线的离心率为2,2,所以所以所以所以p=8p=8，所以抛物线方程为，所以抛物线方程为x x2 2=16y.=16y.p(0, ),2byxa ，byxa，22p|a|22,ab22ap4ab4c，cp,a4cp2.a4(2)(2)由于点由于点M(-6M(-6，6)6)在第二象限在第二象限, ,所以过所以过M M的抛物线开口向左或开口向上的抛物线开口向左或开口向上. .若开口向左，焦点在若开口向左，焦点在x x轴上

12、轴上, ,设其方程为设其方程为y y2 2=-2px(p=-2px(p0),0),将点将点M(-6M(-6，6)6)代入可得代入可得36=-2p36=-2p(-6),(-6),所以所以p=3p=3，抛物线方程为，抛物线方程为y y2 2=-6x=-6x；若开口向上，焦点在若开口向上，焦点在y y轴上轴上, ,设其方程为设其方程为x x2 2=2py(p=2py(p0),0),将将M(-6M(-6，6)6)代入可得代入可得36=2p36=2p6 6，所以，所以p=3.p=3.所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为x x2 2=6y.=6y.综上所述，抛物线的标准方程为综上所述，抛物线的标准方程为y

13、 y2 2=-6x=-6x或或x x2 2=6y.=6y.直线直线l与与x x轴的交点为轴的交点为(2(2，0),0),若抛物线的焦点在若抛物线的焦点在x x轴上，轴上，所以抛物线的焦点是所以抛物线的焦点是F(2F(2，0),0),所以所以抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 2=8x.=8x.p2,p4.2直线直线l与与y y轴的交点是轴的交点是(0(0，-3),-3),若抛物线的焦点在若抛物线的焦点在y y轴上，轴上，即抛物线的焦点是即抛物线的焦点是F(0F(0，-3),-3),所以所以所以抛物线的标准方程为所以抛物线的标准方程为x x2 2=-12y.=-12y.综上，所求抛物线的标准方

14、程为综上，所求抛物线的标准方程为y y2 2=8x=8x或或x x2 2=-12y.=-12y.p3p6.2，【方法技巧【方法技巧】求抛物线标准方程的方法求抛物线标准方程的方法(1)(1)当焦点位置确定时当焦点位置确定时, ,可利用待定系数法可利用待定系数法, ,设出抛物线的标准设出抛物线的标准方程方程, ,由已知条件建立关于参数由已知条件建立关于参数p p的方程的方程, ,求出求出p p的值的值, ,进而写出进而写出抛物线的标准方程抛物线的标准方程. .(2)(2)当焦点位置不确定时当焦点位置不确定时, ,可设抛物线的方程为可设抛物线的方程为y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny=n

15、y, ,利利用已知条件求出用已知条件求出m,nm,n的值的值. .【变式训练【变式训练】(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷)设抛物线设抛物线C:yC:y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F,F,点点M M在在C C上上,|MF|=5,|MF|=5,若以若以MFMF为直径的圆过点为直径的圆过点(0,2),(0,2),则则C C的方程为的方程为( () )A.yA.y2 2=4x=4x或或y y2 2=8x=8xB.yB.y2 2=2x=2x或或y y2 2=8x=8xC.yC.y2 2=4x=4x或或y y2 2=16x=16xD.yD.y2 2=2x=2x或或y

16、y2 2=16x=16x【解析【解析】选选C.C.由题意知：由题意知： 准线方程为准线方程为 则由抛物则由抛物线的定义知，线的定义知， 设以设以MFMF为直径的圆的圆心为为直径的圆的圆心为所以圆方程为所以圆方程为 又因为过点又因为过点(0,2)(0,2)，所以，所以y yM M=4=4，又因为点，又因为点M M在在C C上，所以上，所以 解得解得p=2p=2或或p=8p=8，所，所以抛物线以抛物线C C的方程为的方程为y y2 2=4x=4x或或y y2 2=16x.=16x.pF( ,0)2，px2 ，Mpx52，My5( ,)22，22My525(x)(y).224p162p(5)2，【补

17、偿训练【补偿训练】抛物线顶点在原点，对称轴是抛物线顶点在原点，对称轴是x x轴，点轴，点到焦点的距离为到焦点的距离为6 6，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程. .【解析【解析】设焦点设焦点F(a,0)F(a,0)，即即a a2 2+10a+9=0+10a+9=0，解得，解得a=-1a=-1或或a=-9.a=-9.当焦点为当焦点为F(-1F(-1，0)0)时，时，p=2p=2，抛物线的开口向左，其方程为，抛物线的开口向左，其方程为y y2 2=-4x=-4x；当焦点为；当焦点为F(-9F(-9，0)0)时，时，p=18,p=18,抛物线开口向左，其方抛物线开口向左，其方程为程为y y2 2

18、=-36x.=-36x.P( 5 2 5) ，2PFa5206,类型二类型二 根据标准方程求焦点坐标和准线方程根据标准方程求焦点坐标和准线方程【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014广州高二检测广州高二检测) )已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2-6x-7=0-6x-7=0与抛物线与抛物线y y2 2= =2px(p0)2px(p0)的准线相切的准线相切, ,则抛物线的准线方程为则抛物线的准线方程为. .(2)(2)指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. .y= xy= x2 2. .x=ayx=ay2 2(a0).(a0).14【解题探究【解题

19、探究】1.1.题题(1)(1)由圆与抛物线的准线相切由圆与抛物线的准线相切, ,能得出什么结能得出什么结论论? ?2.2.题题(2)(2)当抛物线方程中含参数时当抛物线方程中含参数时, ,如何求焦点和准线如何求焦点和准线? ?【探究提示【探究提示】1.1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径可得出圆心到准线的距离等于圆的半径. .2.2.如果抛物线方程中含参数如果抛物线方程中含参数, ,要先把其化成标准方程要先把其化成标准方程, ,对参数应对参数应分类讨论分类讨论, ,再求焦点和准线再求焦点和准线. .【自主解答【自主解答】(1)(1)圆圆x x2 2+y+y2 2-6x-7=0-6x-7=0可

20、化为可化为(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=16=16，所以圆，所以圆心为心为(3(3，0)0)，半径为，半径为4 4，因抛物线，因抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)的准线的准线 与圆相切与圆相切, ,故故 得得p=2p=2或或p=-14(p=-14(舍舍),),所以准线方程为所以准线方程为x=-1.x=-1.答案：答案：x=-1x=-1px2 p|3| 42 ，(2)(2)抛物线抛物线 的标准形式为的标准形式为x x2 2=4y,=4y,所以所以p=2,p=2,所以焦点坐标是所以焦点坐标是(0(0，1)1)，准线方程是，准线方程是y=-1.y=-1.抛物线抛物线x=a

21、yx=ay2 2(a0)(a0)的标准形式为的标准形式为所以所以21yx421yx,a12p.a当当a0a0时，时， 抛物线开口向右，抛物线开口向右，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 准线方程是准线方程是当当a0a0),=2px(p0),由点由点A(10,12)A(10,12)在抛物线上在抛物线上, ,得得12122 2=2p=2p10,10,所以所以p=7.2.p=7.2.所以抛物线的焦点所以抛物线的焦点F F的坐标为的坐标为(3.6,0).(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点因此灯泡与反射镜顶点间的距离是间的距离是3.6cm.3.6cm.答案答案: :3.6cm3.6cm(2)(2)如图如图,

22、 ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=-2py(p0).=-2py(p0).依题依题意知意知, ,点点P(10,-4)P(10,-4)在抛物线上在抛物线上, ,所以所以100=-2p100=-2p(-4),2p=25.(-4),2p=25.即抛物线方程为即抛物线方程为x x2 2=-25y.=-25y.因为每因为每4 4米需用一根支柱支撑米需用一根支柱支撑, ,所以支柱横坐标分别为所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.-6,-2,2,6.由图知由图知,AB,AB是最长的支柱之一是最长的支柱之一. .设点设点B B的坐标为的坐标为(2(2，y yB B

23、),),代入代入x x2 2=-25y,=-25y,得得所以所以即最长支柱的长为即最长支柱的长为3.843.84米米. .B4y.25 4AB43.84,25米【方法技巧【方法技巧】求解抛物线实际应用题的五个步骤求解抛物线实际应用题的五个步骤【变式训练【变式训练】如图是一种加热水和食物如图是一种加热水和食物的太阳灶的太阳灶, ,上面装有可旋转的抛物面形上面装有可旋转的抛物面形的反光镜的反光镜, ,镜的轴截面是抛物线的一部镜的轴截面是抛物线的一部分分, ,盛水和食物的容器放在抛物线的焦盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处点处, ,容器由若干根等长的铁筋焊接在容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支

24、撑一起的架子支撑. .已知镜口圆的直径为已知镜口圆的直径为1212米米, ,镜深镜深2 2米米, ,若把盛水若把盛水和食物的容器近似地看作点和食物的容器近似地看作点, ,则每根铁筋的长度为则每根铁筋的长度为米米. .【解题指南【解题指南】先建立直角坐标系先建立直角坐标系, ,然后设出抛物线的标准方程然后设出抛物线的标准方程结合已知条件进而可得到结合已知条件进而可得到p p的值的值, ,从而可确定抛物线的方程和焦从而可确定抛物线的方程和焦点的位置点的位置. .根据盛水的容器在焦点处根据盛水的容器在焦点处, ,结合两点间的距离公式可结合两点间的距离公式可得到每根铁筋的长度得到每根铁筋的长度. .【

25、解析【解析】如图如图, ,在反光镜的轴截面内建立在反光镜的轴截面内建立直角坐标系直角坐标系, ,使反光镜的顶点使反光镜的顶点( (即抛物线即抛物线的顶点的顶点) )与原点重合与原点重合,x,x轴垂直于镜口直径轴垂直于镜口直径. .由已知由已知, ,得得A A点坐标是点坐标是(2,6),(2,6),设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),则则36=2p36=2p2,p=9.2,p=9.所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是y y2 2=18x,=18x,焦点坐标是焦点坐标是因为盛水和食物的容器在焦点处因为盛水和食物的容器在焦点处, ,所以所以A

26、A，F F两点间的距离即为每根铁筋长两点间的距离即为每根铁筋长. .故每根铁筋的长度是故每根铁筋的长度是6.56.5米米. .答案：答案：6.56.59F(0).2，229AF(2)66.5.2【补偿训练【补偿训练】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱顶河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m5 m时，时，水面宽为水面宽为8 m8 m，一小船宽，一小船宽4 m4 m，高，高2 m2 m，载货后船露出水面上的，载货后船露出水面上的部分高部分高 问水面上涨到与抛物线拱顶相距问水面上涨到与抛物线拱顶相距_ m_ m时，小时，小船不能通航船不能通航. .3 m4，【解题指南【解题指南】先建立直角坐标系，设

27、抛物线的标准方程，将点先建立直角坐标系，设抛物线的标准方程，将点(4(4，-5)-5)代入求得代入求得p p，得到抛物线方程，再把点，得到抛物线方程，再把点(2(2，y y1 1) )代入，代入，求得求得y y1 1，进而求得，进而求得 得到答案得到答案. .13| y |4【解析【解析】建立直角坐标系，建立直角坐标系，设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=-2py(p=-2py(p0).0).将点将点(4,-5)(4,-5)代入求得代入求得所以所以将点将点(2(2，y y1 1) )代入方程求得代入方程求得所以所以答案：答案：2 28p.5216xy.5 15y.4 1335y2 m .

28、444【巧思妙解【巧思妙解】巧用抛物线的巧用抛物线的定义解题定义解题【典例【典例】已知抛物线的顶点在原点已知抛物线的顶点在原点, ,对称轴是对称轴是x x轴轴, ,抛物线上的抛物线上的点点M(-3,m)M(-3,m)到焦点的距离等于到焦点的距离等于5,5,求抛物线的方程和求抛物线的方程和m m的值的值. .【教你审题【教你审题】【常规解法【常规解法】设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)，则焦点，则焦点由题意可得由题意可得 解得解得 或或故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为y y2 2=-8x.=-8x.所以所以m m的值为的值为pF(,0)2，222

29、m6ppm(3)52，m2 6p4，m2 6p4 ，2 6.【巧妙解法【巧妙解法】设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 2=-2px(p=-2px(p0),0),则则 故故p=4.p=4.所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为y y2 2=-8x.=-8x.将点将点(-3(-3，m)m)代入抛物线方程得代入抛物线方程得p35,2m2 6. 【方法对比【方法对比】 常规解法思路易得出，但需要解二元二次方程组，稍有疏常规解法思路易得出，但需要解二元二次方程组，稍有疏忽，则会解出错误的结果忽，则会解出错误的结果. .而巧妙解法则是利用抛物线的定义，而巧妙解法则是利用抛物线的定义，得出简单一元一次方

30、程，不易出错，解法简单得出简单一元一次方程，不易出错，解法简单. .【教你一招【教你一招】巧用定义解与抛物线有关的问题巧用定义解与抛物线有关的问题由抛物线的定义，可将两点间的距离转化为点到直线的距离，由抛物线的定义，可将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题，凡涉及焦点距离问题可转化为到将二次问题转化为一次问题，凡涉及焦点距离问题可转化为到准线的距离求解准线的距离求解. .如本例即可转化为点如本例即可转化为点M M到准线的距离为到准线的距离为5 5求解求解. . 【类题试解【类题试解】已知抛物线已知抛物线y=4xy=4x2 2上一点上一点M M到焦点的距离为到焦点的距离为1

31、 1，求，求点点M M的坐标的坐标. .【常规解法【常规解法】将抛物线将抛物线y=4xy=4x2 2化为标准形式为化为标准形式为 故焦点故焦点坐标为坐标为 设设M(xM(x0 0,y,y0 0),),则则 解得解得 所以所以21xy4，1(0,)16，2002200y4x ,1x(y)1,160015x,815y,16 15 15M(,).816【巧妙解法【巧妙解法】将抛物线将抛物线y=4xy=4x2 2化为标准形式为化为标准形式为 故焦点故焦点坐标为坐标为 设设M(xM(x0 0,y,y0 0),),则则 所以所以 代入抛物线方程得代入抛物线方程得所以所以故点故点M M坐标为坐标为21xy,41(0,)16，01y116 ，015y16，20115x,416015x.8 15 15(,).816