第九章微分方程

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1、第九章第九章 微分方程微分方程第一节 微分方程的概念引例：引例：解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为2dyxdx2,1 yx时时其中其中 xdxy2,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为微分方程微分方程解解微微分分方方程程前言前言变量与导数或微分变量与导数或微分之间的关系之间的关系变量间的函数关系变量间的函数关系微分方程微分方程解微分方程解微分方程 微分方程也是一个数学模型。许多实际问题可以抽象为微分方程问题。例如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 本章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的

2、微分方程的求解方法。9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念一、微分方程的定义一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,yxy 23,xyyye2()0.tx dtxdx实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .例例1、,20oCCTtT T to设一物体的温度为100将其放置在空气温度

3、为的环境中冷却。根据冷却定律：物体温度的变化率与物体温度和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间 的函数关系为 = ( )，建立函数的微分方程.(20)dTk Tdt (0)k k 其中为比例常数。解：解：根据题意可得：物体冷却的物体冷却的数学模型数学模型0100tT21( )1000 ln3 ( )3PQQ PQP 例 、设某商品的需求量 是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q=1000),已知需求量的变化率（边际需求）为求需求量 与价格 的函数关系.3( ),20( )210,( ).xCxC xC xxC x 例 、设生产 单位某产品的总成本 是 的函数固定成本

4、为元，边际成本函数为求总成本函数微分方程微分方程微分方程微分方程分类分类1:1: 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高阶高阶( (n n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy二、微分方程的分类二、微分方程的分类一元函数一元函数一般形式一般形式三、微分方程解的概念三、微分方程解的概念1 1、微分方程的解、微分方程的解: :,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn代入微分方程能使方程成为恒

5、等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . 0yy是微分方程的解。12sincosycxcx；可以验证函数下列函数为微分方程 的解yy .xyce2xye；2sincosyxx；解为解为)(xy2、微分方程的解的分类：、微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且独且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同. .yy 例，xyce通解；0yy ，12sincosycxcx通解；(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .yy 例，2xye

6、特解；0yy ，2sincosyxx特解；（3 3）初始条件）初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .如：如：0100tT12xy( , )yf x y一般地，一阶微分方程的初始条件为：00 x xyy( , ,)yf x y y一般地，二阶微分方程的初始条件为：0000 x xx xyyyy，（4 4）初值问题）初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的求微分方程满足初始条件的解的问题问题. . 00),(yyyxfyxx一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx归纳：归纳：微微分分方方程程的的解解通解通解特

7、解特解初始条件初始条件微分方程微分方程初值问题3 3、微分方程解的几何意义、微分方程解的几何意义解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .一阶微分方程初值问题的几何意义：求微分方程通过定点的积分曲线。解解12sincosdxkCktkCktdt ，222122cossind xk Cktk Cktdt ，代入原方程得：221212(cossin)(cossin)0.kCktCktkCktCkt12cossin.xCktCkt故是原方程的解00,0ttdxxAdt，12,0.CAC所求特解为所求特解为cos.xAkt小

8、结小结微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin

9、dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二二、确确定定函函数数关关系系式式)sin(21cxcy 所所含含的的参参数数, ,使使其其 满满足足初初始始条条件件1 xy, ,0 xy. . 练习题答案练习题答案第九章 微分方程第二节 一阶微分方程复习：复习：一阶方程的一般形式为一阶方程的一般形式为0),( yyxF初值问题：初值问题： 00),(yyyxfyxx 这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。本节只讨论几种特殊

10、类型的一阶微分方程的解法。9.2 一阶微分方程一阶微分方程 可分离变量的微分方程分离变量法 齐次微分方程变量代换 一阶线性微分方程常数变易法教学任务22xydxdy xdxdy2 两边积分得两边积分得cxy 2xdxdyy212 两边积分得两边积分得 cxy 21或或cxy 21xdyydx 11dydxyx lnlnyx c 两边积分得两边积分得 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程( ) ( )dyf x g ydx 1122( )( )( )( )Mx Ny dyMx Ny dx 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程1、方程的特点及形式( )( )g y dyf x dx

11、 已分离变量的微分方程已分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程4252dyx ydx例如4252ydyx dx注意方程右边注意方程右边2dxxydyy dxydy2(1)(1)y xdyydx解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,( )( )g y dyf x dx分离变量法分离变量法( )( )G yF xC为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤：求解步骤：（1）分离变量）分离变量（2）两边积分）两边积分（3）化简整理得通解）化简整理得通解例例1、2dyxydx 求微分方程的通解.2dyxdxy2dyxdxy21ln yxC得：解：解：分离变量得：两边

12、积分21xCye 21Cxe e 2xCe微分方程的通解为：微分方程的通解为：2xyCe例例2、dyxdxy 解微分方程.ydyxdx解：解： 分离变量得：两边积分222111222yxr 得222xyr微分方程的通解为：微分方程的通解为：例例3、2dxxydyy dxydy求微分方程的通解.2(1)(1)y xdyydx2111ydydxyx解：解： 变形方程得：分离变量得：两边积分2111ydydxyx得211ln1ln1ln,2yxC 221(1)yC x 微分方程的通解为：微分方程的通解为：小结：小结：( , )dyF x ydx设有微分方程( )( )g y dyf x dx( )(

13、 )g y dyf x dx( )( )G yF xC分离变量法分离变量法分离变量分离变量两边积分两边积分通解通解注意：注意：( )dyf xdx( )yf x dxC( )dyg ydx1( )dyxCg y特殊情形的求解例例4、求解初值问题：、求解初值问题：0(20)100tdTk TdtT 120dTkdtT 120dTkdtT 1ln(20)TktC 解： 分离变量得：两边积分20ktTCe010080,tTC由得：8020ktTe复习：复习：( , )dyF x ydx设有微分方程( )( )g y dyf x dx( )( )g y dyf x dx( )( )G yF xC分离变

14、量法分离变量法分离变量分离变量两边积分两边积分通解通解特殊情形：特殊情形：( )dyf xdx( )yf x dxC( )dyg ydx1( )dyxCg yln0 xyyy解微分方程：解解11lndydxyyxlnlnlnln ,yxC分离变量分离变量两边积分两边积分微分方程的通解为：微分方程的通解为：.Cxyeln,yCx二、齐次方程二、齐次方程22,dyydxxyx2( ),( ) 1ydyxydxx22()(2)0,xyydxxxy dy1.1.定义定义( )dyyfdxx形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2( )( ),1 2( )yydyxxydxx引例：求解微

15、分方程引例：求解微分方程22,dyydxxyx2( ),( ) 1ydyxydxx,1duuxdxu1lnln,uuxC解：变形方程得：,yux令,dyduuxdxdx 2,1duuuxdxu,yux令,uxuCe微分方程的通解为：微分方程的通解为：.yxyCe2.解法解法 作变量代换作变量代换,yxu,dyduuxdxdx 代入原式代入原式( ),duuxf udx( ).duf uudxx即可分离变量的方程可分离变量的方程3.步骤步骤dyduyxuu xdxdx 令令（4）回代还原（1）变量变换（2）代入原方程，化为可分离变量的方程（3）求解新方程例例5、dyxydxxy 解解微微分分方方

16、程程：解解令令yux则则dyduu xdxdx ，代入化简代入化简 并分离变量并分离变量2111ududxux，两边积分两边积分21arctanln(1)lnln2uuxc，换回原变量换回原变量221arctanln(1)lnln2yyxcxx，或或arctan22yxecxy例例6 6 、 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为sinln.yxCx 二、齐次方程二、齐次方程步骤步骤dyduyxu

17、uxdxdx 令令代代入入方方程程，化化简简求求解解回代还原回代还原变量代换法例例7 7、 求解微分方程求解微分方程1()0yxxxey dxxdyy 在在初初始始条条件件下下的的特特解解。解解，令令xyu ,uduuxeudx则：,yxdyyedxx1,ue dudxx微分方程的解为微分方程的解为ln.yxxeCln,uexC101xyC由得ln1.yxxe三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程,2xydxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:( )( )dyP x yQ xdx( )0Q x 当，一阶线性齐次方程( )0,Q x 当一阶非齐次线性方程y和和y是一次的

18、是一次的举例举例,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性方程线性方程非线性方程非线性方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:1. 线性齐次方程线性齐次方程. 0)( yxPdxdy方程的通解为方程的通解为( ).P x dxyCe 1( )dyP x dxy ln( ).yP x dxC xdyyedx例例8、0dyydx由得：xyCe( ),xyu x e令( )( )xxyux eu x e解：解：代入原方程得：代入原方程得：( )1,ux ( ),u xxC.xxyxeCe原方程的通解为：解微分方程：一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:2.

19、线性非齐次方程线性非齐次方程( )( )dyP x yQ xdx常数变易法常数变易法非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为( )( )( ).P x dxP x dxyQ x edx C e( )( )0p x dxdyP x yyCedx( )( )( )( )( )( )( )( )p x dxp x dxp x dxyu x euxQ x eu xQ x edx 令令( )( )p x dxyu x e代入得通解。常数变易法步骤：( )1P x dxyCe 、求求解解对对应应的的线线性性齐齐次次方方程程，得得：2( ),;Cu xy y 、令令, ,得得：3( );u x、代代入入原原方方

20、程程，得得：4.y、代代入入 得得方方程程的的通通解解例例9、10yyx由由得得：,Cyx (,)u xyx 令令1sin xyyxx2( )( )ux xu xyx 解：解：代入原方程得：( )sinuxxxx ( )cos,u xxC 则则：原方程的通解为原方程的通解为：cos.xCyx 解微分方程：例例10、30,dxxydyy 21,dxxydyy(,)u yxy 令令3()0(0).ydxxy dyy2( )( )uy yu yxy 解：解：代入原方程得：2( ),uyyy 41( ),4u yyC则则：原方程的通解为原方程的通解为：4.4xyyC解微分方程：10,dxCxxdyyy

21、由由得得：一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:1. 线性齐次方程线性齐次方程. 0)( yxPdxdy齐次方程的通解为齐次方程的通解为( ).P x dxyCe2. 线性非齐次方程线性非齐次方程( )( )dyP x yQ xdx常数变易法常数变易法非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为( )( )( ).P x dxP x dxyQ x edx C e一阶非齐次一阶非齐次线性线性微分方程的通解为微分方程的通解为:( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx对应齐次对应齐次方程通解方程通

22、解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构。第九章 微分方程第三节 可降阶的二阶微分方程引入：引入：),(yyxfy ( )yf x( ,)yf x y二阶微分方程的一般形式二阶微分方程的一般形式两种特殊形式两种特殊形式一、一、( )yf x 型( )( )nyf x特点：特点：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法：两端积分两端积分1( )yf x dxc再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy解法：解法： 连续连续n次积分次积分xyxe由积分得：例例1、xyxe 求微分方程的通解

23、.解：解：1xxxyxe dxxeeC再积分一次得：112()xxxxxyxeeC dxxeeeC xC12(2).xyxeC xC2cosxyex由得：例例2、200cos ,0, 1xxxyexyy 求方程满足的特解.解：解：2211(cos )sin2xxyex dxexC(0)1,y由初始条件得：211sin,22xyex2221111(sin)cos2242xxyexdxexxC(0)0,y由初始条件得：2115cos424xyexx二、二、 型型),(yxfy 特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：令令 py py ( , )pf x p1( , )yx c12( , )y

24、x c dx c1( ,)px c一阶微分方程一阶微分方程积分积分例例3解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1(2 分离变量得分离变量得dxxxpdp21212ln)1ln(lncxp)1 (21xcp21(1)ycx由由:30得xy31c23(1)yx 233cxxy由由1120cyx故故133xxy返回三、三、 型型),(yyfy 特点：特点：右端不含右端不含 x解法：解法： 令令dyypdx ，dpypdy( , )dppf y pdy1( , )yy c1( , )py c211.( , )dyx cy c dpdp dyydxdy dx例例

25、4.02的通解的通解求方程求方程 yyy解：解：,yp 设,dydPpy 则则代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程通解为原方程通解为.12xceCy 小结：小结：方程解法连续积分( )yf x ( ,)yf x y( ,)yf y y,yp yp令,dpyp ypdy令微分方程的基本概念微分方程形式一阶可分离齐次线性二阶阶解通解特解( )dyyfdxx ( ) ( )dyf x g ydx ( , )yf x y ( )( )dyP x yQ xdx 方程方程特点特点解法解法可分离变量

26、的方程两边积分两边积分齐次方程线性方程常数变易法常数变易法()yyfx ( )( )dyP x yQ xdxdyduyuxuxdxdx令令，( ) ( )dyf x g ydx 一阶微分方程的求解方程方程解法解法连续积分( )yf x ( ,)yf x y ( ,)yf y y , yp yp 令令, dpyp ypdy 令令几种二阶微分方程的解法第九章 微分方程第四节 微分方程的应用 例1、某种气体的气压 P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比，将此问题用微分方程表示.解：2dPPkdTT 由题意可得：2100-1000,.Qpp例 、某商品的需求量 是价格的函数，其变化率与价格成正比，与成反比，该商品的最大需求量为试将问题表示为微分方程解：01001000pdQpkdppQ 由题意可得：3100202060C。 例 、某已知物体的冷却速度与物体与环境的温差成正比，将一温度为的物体放置在室温C的室内冷却， 分钟后测得物体的温度已降至C，试确定物体温度与时间的函数关系.解：由题意建立初值问题：0(20)100tdTk TdtT 解得：8020ktTe 2060tT ln220k20180( )202tT 代入得：