三章微分中值定理

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1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理2本章主要内容本章主要内容3.1 微分中值定理微分中值定理3.2 罗必达法则罗必达法则 3.3 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 3.4 函数的极值函数的极值 3.5 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 3.7 函数图象的描绘函数图象的描绘 3学习目标学习目标熟悉微分中值定理熟悉微分中值定理熟练掌握罗必达法则，并能够解决相应的问题熟练掌握罗必达法则，并能够解决相应的问题了解函数单调性的判别方法了解函数单调性的判别方法了解函数的极值、最值、凹凸点、拐点了解函数的极值、最值、凹凸点、拐点了解函数图象的描绘了解

2、函数图象的描绘43.1 3.1 微分中值定理微分中值定理一、本章简介一、本章简介1、主要内容、主要内容：本章在已有知识的基础上，来介绍高等数本章在已有知识的基础上，来介绍高等数学中的几个重要的概念学中的几个重要的概念中值定理，进而丰富了高等数学的中值定理，进而丰富了高等数学的知识，同时介绍了关于导数的应用。知识，同时介绍了关于导数的应用。2、 学习目标学习目标：了解中值定理的有关规定，以及由中值了解中值定理的有关规定，以及由中值定理得到的一些结论，同时掌握导数相关的应用。定理得到的一些结论，同时掌握导数相关的应用。5（2） 在开区间在开区间 ),(ba（3）0)(f如果函数如果函数)(xfy

3、满足条件满足条件: (1)在闭区间在闭区间 ,ba上连续；上连续； 内可导；内可导； 则在则在 ),(ba内到少存在一点内到少存在一点 0)(f二、罗尔（二、罗尔（Rolle）定理）定理),(ba内到少存在一点内到少存在一点 0)(f),(ba内到少存在一点内到少存在一点 0)(f)()(bfaf6例例1 验证函数验证函数 22xry)0( r在区间在区间 ,rr上是上是 否满足否满足Rolle定理，若满足则定理，若满足则 求出定理中的求出定理中的 解解 设设 22)(xrxf,显然显然, )( xf在在 ,rr上连续，在上连续，在 ),(rr内可导，且内可导，且 0)()(rfrf，满足，满

4、足Rolle定理的三定理的三 应用举例应用举例),(rr内找到内找到 ，使，使 0)( f由由 22)( xrxxf令令 0)( xf,解得解得 0 x),(0rr取取 0,有有 0)0( )( ff个条件。按照个条件。按照Rolle定理的结论，一定能在定理的结论，一定能在7三、拉格朗日（三、拉格朗日（LagrangeLagrange）定理）定理 )(xfy (1)在闭区间在闭区间 满足条件：满足条件： 若函数若函数 ,ba上连续；上连续； (2) 在开区间在开区间 ),(ba内可导；内可导； 则在区间则在区间 ),(ba，使得，使得 abafbff)()()( 此公式叫做微分中值公式或此公式

5、叫做微分中值公式或Lagrange公式公式 内至少有一点内至少有一点8例例2 验证函数验证函数 32f xxx在区间在区间 0,1上满足拉上满足拉 格朗日定理格朗日定理 的条件，并求的条件，并求 的值的值 解：解： 本题主要应用本题主要应用 拉格朗日定理，主要先考虑到两个条件拉格朗日定理，主要先考虑到两个条件,根据根据条件来验证。条件来验证。9,ba上连续；上连续； (2)在开区间在开区间 ),(ba内可导，且内可导，且 0)( xg则在区间则在区间 ),(ba内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 )()()()()()(agbgafbfgf3.2 3.2 罗必达法则罗必达法则 在闭区间

6、在闭区间四、柯西（四、柯西（CauchyCauchy）定理）定理若函数若函数 )(xf)(xg皆满足条件皆满足条件: 10(2) 与与 )(xg在点在点 0 x)(xf的某一空心邻域内可导，且的某一空心邻域内可导，且 (3)Axgxfxx)()(lim0则则 Axgxfxgxfxxxx)( )( lim)()(lim00)(xf与与 )(xg满足条件：满足条件： (1) 0)(lim0 xfxx0)(lim0 xgxx若函数若函数0)xg x(0) g罗必达法则（罗必达法则（） 五、罗必达（五、罗必达（LHospitalLHospital）法则介绍）法则介绍11未定式未定式 00型的极限求法型

7、的极限求法 例例1 求求 20)1ln(limxxx解解 20)1ln(limxxx)1 (21lim211lim00 xxxxxx12型根据法则型根据法则l，有，有 3200s in1c o slimlim;3xxxxxxx，所以是，所以是 00解解 当当 0 x 时时, sin0 xx且且 30 x 很明显，当很明显，当 0 x 时，上式右端的极限是时，上式右端的极限是 00型再用法则型再用法则l，得，得 2001 cossin1limlim.366xxxxxx未定式未定式 型的极限求法型的极限求法例例230sinlim.xxxx13则则 （3 3） Axgxfxx)( )( lim0（2

8、 2） )(xf与与 )(xg在点在点 0 x的某一空心邻域内可导，且的某一空心邻域内可导，且 0)( xg)(lim0 xgxx（1 1）)(lim0 xfxxAxgxfxgxfxxxx)( )( lim)()(lim00若函数若函数 )(xf与与 )(xg满足条件：满足条件： 罗必达法则（罗必达法则（）知识介绍及应用举例）知识介绍及应用举例14下面来介绍未定式下面来介绍未定式 型的极限型的极限 xxxlncotlnlim0解解 xxxlncotlnlim0 xxxx1)csc(tanlim2012sin2limcossinlim00 xxxxxxx例例315例例4 求求 nxxxlnlim

9、01lim1lim1nxnxnxnxxnxxxlnlim解解16型的极限求法举例型的极限求法举例 例例5 求求 xxxxxsintanlim0解解 xxxxxsintanlim03复杂的未定式复杂的未定式 00 xxxxxxcos1tanlimcos11seclim20202cos2limsinsectan2lim3020 xxxxxx型的极限求法举例型的极限求法举例 3复杂的未定式复杂的未定式 00型的极限求法举例型的极限求法举例 3复杂的未定式复杂的未定式 0017例例 6 6 求求 30cos1limxxx解解 30cos1limxxx203sinlimxxx xxx6coslim018

10、其它类型的未定式极限的求法其它类型的未定式极限的求法 0型未定式求极限型未定式求极限 为为 设设 0)(limxf)(limxg则则 )()(limxgxf0型未定式，可将其变型为型未定式，可将其变型为 )(1)(lim)()(limxgxfxgxf00型型 即可用罗必达法则求极限了。即可用罗必达法则求极限了。为为 设设 0)(limxf)(limxg则则 )()(limxgxf0型未定式，可将其变型为型未定式，可将其变型为 19求求 例例7 7 xxxlnlim00型型 解解 xxxxxx1lnlimlnlim000lim11lim020 xxxxx20 我们在以前章节中讨论了函数单调性的概

11、念，现在利用导数我们在以前章节中讨论了函数单调性的概念，现在利用导数来研究函数的单调性我们来介绍函数单调性的判别方法，导数的来研究函数的单调性我们来介绍函数单调性的判别方法，导数的符号来判定函数的单调性符号来判定函数的单调性 函数单调性的判定定理介绍函数单调性的判定定理介绍 定理定理3.4 3.4 设函数设函数 )(xfy在区间在区间 ),(ba内可导，内可导， 若在区间若在区间 ),(ba内内, 0)( xf，那么函数，那么函数 )(xf在在 ),(ba内单调增加；内单调增加； 3.3 3.3 函数单调性的判别函数单调性的判别法法21（2 2）若在区间）若在区间 ),(ba内，内， 0)(

12、xf，那么函数，那么函数 )(xf在在 ),(ba内单调减少。内单调减少。 22例例1 1 判定函数判定函数 xxysin的单调性。的单调性。 解解 函数函数 xxysin的定义域为的定义域为 ),(。且。且 xycos1令令 0y，解得驻点，解得驻点 kx2除这些孤立的驻点外，除这些孤立的驻点外， 0y因此，函数因此，函数 xxysin函数单调性的判定定理应用举例函数单调性的判定定理应用举例 在在 ),(单调增加。单调增加。 23 例例2 2 讨论函数讨论函数 xxxf3)(3的单调性。的单调性。 解解 函数函数 xxxf3)(3在其定义域在其定义域 ),(内连续，且内连续，且 ) 1)(1

13、( 3332xxxy令令 0y，得驻点，得驻点 11x12x,函数没有导数不存在的点函数没有导数不存在的点.点点 1x2x把函数的定把函数的定 义域分成义域分成 ) 1,() 1, 1(), 1 (三个子区间，通过列表（略），我们可以知道三个子区间，通过列表（略），我们可以知道)(xf在区间在区间 ) 1,(和和 ), 1 (内单调增加内单调增加;在区间在区间 ) 1, 1(内单调减少。内单调减少。 24例例3 3 讨论函数讨论函数 xexfx1)(的单调性。的单调性。 解解 (1)(1)求导，并找出驻点和不可导点求导，并找出驻点和不可导点 驻点为驻点为 不可导点为不可导点为0 x1x(2)(

14、2)根据以上两点分成三个子区间根据以上两点分成三个子区间) 1,()0, 1(),0()(xf在区间在区间 ) 1,(和和 )0, 1(内单调减少；内单调减少； 在区间在区间 ), 0 (内单内单 调增加。调增加。 （3 3）根据三个子区间，讨论增减性得：）根据三个子区间，讨论增减性得：25引入引入 请看图请看图3-43-4，可以看到，函数，可以看到，函数 yfx在点在点 14,c c处的函数处的函数 值值 14,fcfc比它们左右邻近各点的函数值大比它们左右邻近各点的函数值大, , 而在点而在点 3.4 3.4 函数的极值函数的极值2625,c c处的函数处的函数 25,fcfc比它们左右邻

15、近各点比它们左右邻近各点 的函数值的函数值 都小这些点都是特殊的点都小这些点都是特殊的点, ,他们是邻近点中数值较大或较小的点他们是邻近点中数值较大或较小的点. . 下面我们来下面我们来 介绍一下函数极值的有关定义介绍一下函数极值的有关定义 函数极值的定义函数极值的定义 设函数设函数 f x在在 0 x的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义 (1)(1)如果对于该邻域内的任意点如果对于该邻域内的任意点 x, ,都有都有 0f xf x, ,则称则称 0f x为函数为函数 fx的极大值，并且称点的极大值，并且称点 0 x是是 f x的极大值点；的极大值点； 27(2)(2)如果对于该邻域内的任意点

16、如果对于该邻域内的任意点 x, ,都有都有 0f xf x, ,则称则称 0f x为函数为函数 f x的极小值的极小值, ,并且称点并且称点 0 x是是 f x的极小值点的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值 的点称为函数的极值点的点称为函数的极值点 函数极值的相关定理函数极值的相关定理 定理定理l(l(必要条件必要条件) ) 设函数设函数 f x在点在点 0 x可导，且在点可导，且在点 0 x取得极值，则函数在点取得极值，则函数在点 0 x的导数的导数 00fx28 定理定理2 2（第一充分条件（第一充分条件) )

17、 设函数设函数 f x在点在点 0 x处连续，在点处连续，在点 0 x的某个去心邻域的某个去心邻域 内可导内可导 (1)(1)如果在如果在 0 x的邻域内的邻域内, ,当当 x00；当；当 X X 0 x时，时， fx00，则函，则函 数数 f x在点在点 0 x取得极大值取得极大值 0f x(2)(2)如果在如果在 0 x的邻域内，的邻域内， 当当xx 0 x时，时， fx0X 0 x时时, , fx0,0,则函则函 数数 在点在点 取得极大值取得极大值 (3)如果在 0 x的去心邻域内的去心邻域内, , fx不改变符号不改变符号, ,则则 0f x不是函数不是函数 f x的极值的极值 )(

18、xf0 x0f x29函数极值求法举例函数极值求法举例 例例1 1 求函数求函数 32) 1() 1()(xxxf的极值。的极值。 解解 函数函数 )(xf的定义域为的定义域为 ),() 15 () 1)(1() 1() 1( 3) 1)(1( 2)( 2223xxxxxxxxf令令 0)( xf，解得，解得 11x512x13x，函数没，函数没 有导数不存在的点。有导数不存在的点。 三个驻点将函数的定义域分成三个驻点将函数的定义域分成 ) 1,(51,11,51), 1 (四个子区间，四个子区间， 由列表、分析（略）可知，函数的极大值为由列表、分析（略）可知，函数的极大值为 ，极小值为，极小

19、值为 0) 1 (f3125345630例例2 2 求函数求函数 3232)(xxxf的极值。的极值。 解解 函数函数 )(xf的定义域为的定义域为 ),(3333113211323232)( xxxxxf令令 0)( xf，解得，解得 1x而当而当 0 x时，时， )( xf不存在不存在。 駐點駐點 1x和尖點和尖點 0 x将将 )(xf的定义域分成的定义域分成 )0,() 1,0(), 1 (三个子区间，三个子区间， 经列表讨论得函数的极大值为经列表讨论得函数的极大值为 0)0(f31)1(f极小值为极小值为 31另外另外, ,对于函数极值求解方面还可以通过求函数的二阶导数的方法对于函数极

20、值求解方面还可以通过求函数的二阶导数的方法 即第二充分条件即第二充分条件, ,见见 下面下面 定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) ) 设函数设函数 f x在点在点 0 x处具有二阶导数且处具有二阶导数且 fx=0， )( xf不为不为0 (1)(1)如果如果 )( xf00，则函数，则函数 f x在在 0 x处取得极小值处取得极小值 (2)(2)如果如果 )( xf000，则曲线，则曲线y=y= f x在在(a,b)(a,b)内是凹；内是凹； (2)(2)如果在如果在 (a,b)内， 00，则曲线，则曲线y=y= f x在在(a,b)(a,b)内是凸；内是凸； )( xf45举例说明举

21、例说明例例l l 判定曲线判定曲线 3yx的凹凸性的凹凸性 解解 函数的定义域为函数的定义域为 (-(-，+)+)，因为，因为 23,6yxyx当当 x00时，时， y000时时 y00所以，所以， 是凹的是凹的见见( (图图317)317) 46从图从图317317可以看到，点可以看到，点(0(0，0)0)是曲线是曲线由凸变到凹的由凸变到凹的 分界点分界点 我们把这种连续曲线我们把这种连续曲线 上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作曲线的拐点叫作曲线的拐点 由拐点的定义知，如果由拐点的定义知，如果 0fx=0=0，且，且 fx在点在点 0 x的左右附近异号，则点

22、（的左右附近异号，则点（ 0 x ， 0f x) )就是曲线就是曲线 yfx上的一个拐点；如果上的一个拐点；如果 fx在点在点 0 x的左右的左右 附近附近同号同号 则点（则点（ 0 x， ) )不是曲线不是曲线 yfx的拐点的拐点 0f x47例例2 2 判断曲线判断曲线 xxy12的凹向和拐点。的凹向和拐点。 解解 函数的定义域为函数的定义域为 ),0()0,(，点，点 0 x为曲线为曲线 xxy12的间断点。的间断点。 212xxy333)1(222xxxy令令 0y解得解得 1x点点 0 x和和 1x把定义域分成把定义域分成 )0,(48) 1,0(), 1 (三个子区间，列表讨论（略

23、）可得三个子区间，列表讨论（略）可得 函数在区间函数在区间 )0,(和和 ), 1 (内上凹，在区间内上凹，在区间 ) 1,0(内下凹，拐点为内下凹，拐点为 )0, 1 (493.7 3.7 函数图象的描绘函数图象的描绘曲线的水平渐近线和铅直渐近线曲线的水平渐近线和铅直渐近线 一般地，如果当自变量一般地，如果当自变量 x(x(或或x+x+，或，或x-)x-)时，函数时，函数f(x)f(x)的极限的极限 为为A A，即，即limxfxA 则直线则直线y=Ay=A叫作曲线叫作曲线y=f(x)y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线 如果当自变量如果当自变量 0 xx时，函数时，函数f(x)f(x)的极

24、限为无穷大的极限为无穷大 即即 0limxxf x 则直线则直线 0 xx叫作曲线叫作曲线y=f(x)y=f(x)的铅直渐近线的铅直渐近线 50例例1 1 求曲线求曲线 221xyx的渐近线的渐近线 解解 因为因为 22lim01xxx 所以，所以，y =0y =0是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线51例例2 2 求曲线求曲线 y=y= 2223xx垂直渐近线垂直渐近线 解解 因为因为 y y= = 2223xx= = 2(3)(1)xx有两个间断点有两个间断点 x x=3=3和和x x=-1,=-1,而而 3limx y y= = 3limx 2(3)(1)xx=,=, 1limxy y=

25、 = 1limx2(3)(1)xx=， 所以曲线有垂直渐近线所以曲线有垂直渐近线x x=3=3和和x x=-1=-152函数图象的描绘函数图象的描绘 利用导数描绘函数的图象的一般步骤是：利用导数描绘函数的图象的一般步骤是：(1)(1)确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的定义域，并讨论函数的奇偶性；的定义域，并讨论函数的奇偶性； (2)(2)求出求出 )( xf与与 fx解解 )( xf=0=0与与 fx=0=0在在 函数定义域内的全部函数定义域内的全部 实根，并求出所有使一阶导数实根，并求出所有使一阶导数 )( xf与二阶导数与二阶导数 fx不存在的点；不存在的点； (3)(3)把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论 函数的单调性与极值、曲线函数的单调性与极值、曲线 的凹凸性与拐点的凹凸性与拐点 53(4)(4)确定曲线的渐近线确定曲线的渐近线 (5)(5)结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们 连成光滑的连成光滑的 曲线，从而得到函曲线，从而得到函 数数y=f(x)y=f(x)的图象的图象