广西2021-2020年中考数学试题分类（7）——二次函数(含解析)

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1、广西2021-2022年中考数学试题分类（7）二次函数一选择题（共9小题）1（2022玉林）把二次函数yax2+bx+c（a0）的图象作最新x轴的对称变换，所得图象的解析式为ya（x1）2+4a，若（m1）a+b+c0，则m的最大值是（）A4B0C2D62（2022百色）抛物线yx2+6x+7可由抛物线yx2如何平移得到的（）A先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D先向右平移3个单位，再向上平移2个单位3（2022梧州）已知m0，最新x的一元二次方程（x+1）（x2）m0的解为x1，x2（x1x2），则下列结论正

2、确的是（）Ax112x2B1x12x2C1x1x22Dx11x224（2022玉林）已知抛物线C：y=12（x1）21，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若DQD160，则m等于（）A43B23C2或23D4或435（2022河池）如图，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，则下列结论中，错误的是（）Aac0Bb24ac0C2ab0Dab+c06（2021百色）把抛物线y=-12x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（）Ay=-12x2+2By=-12（x+2）2Cy=-12x22Dy=-12（x2）27（20

3、21贵港）如图，抛物线y=14（x+2）（x8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线x3；D的面积为16；抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；直线CM与D相切其中正确结论的个数是（）A1B2C3D48（2021玉林）如图，一段抛物线yx2+4（2x2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，tx1+x2+x3

4、，则t的取值范围是（）A6t8B6t8C10t12D10t129（2021南宁）将抛物线y=12x26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）Ay=12（x8）2+5By=12（x4）2+5Cy=12（x8）2+3Dy=12（x4）2+3二填空题（共4小题）10（2022贵港）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，且b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大

5、；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是 11（2022贺州）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是 （填写序号）12（2021河池）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB6，则OM的长为 13（2021贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20x30，且x为整数）出售，可卖出（30x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元三解答题（共19小题）1

6、4（2022桂林）如图，已知抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标15（2022河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：ya（xp）（xq）ax2a（p+q）x+apq

7、（1）若a1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a1，如图（1），A（1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围16（2022玉林）如图，已知抛物线：y1x22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点A，B，C的坐标；（

8、2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点为点D，若BDB90，求点B的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由17（2022百色）已知抛物线ymx2和直线yx+b都经过点M（2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线yx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点（1）求m、b的值；（2）当PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）满足（2）的条件

9、时，求sinBOP的值18（2022梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为x元/件（x6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润19（2022梧州）如图，已知A的圆心为点（3，0），抛物线yax2-376x+c过点A，与A交于B、C两点，连接AB、

10、AC，且ABAC，B、C两点的纵坐标分别是2、1（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线ykx+1经过点B，与x轴交于点D点E（与点D不重合）在该直线上，且ADAE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线yk1x1与A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式20（2022玉林）已知二次函数：yax2+（2a+1）x+2（a0）（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶

11、点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使PCA75？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由21（2022桂林）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（2，0）和B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使CHB的周长最小若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点

12、A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当2t1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S最新t的函数表达式22（2022广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，1）（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）

13、如图2，点F（6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S10），ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S20），令SS1+S2，观察图象，当y1y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值23（2022贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大

14、值24（2022贵港）如图，已知抛物线yax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标25（2021河池）如图1，抛物线yx2+2x1的顶点A在x轴上，交y轴于B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于C，D，顶点为E（1，4）（1）求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OMON，求点M的坐标；（3）如图2，直线CB

15、与平移后的抛物线交于F在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由26（2021百色）抛物线yax2+bx的顶点M（3，3）最新x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A最新原点O的对称点为A；已知C为AB的中点，P为抛物线上一动点，作CDx轴，PEx轴，垂足分别为D，E（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；（2）当0x23时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由27（2021梧州）如图，抛物线yax2+bx-92与x轴交于A（1，0）、B

16、（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E（1）求此抛物线的解析式；（2）若E点在第一象限，过点E作EFx轴于点F，ADO与AEF的面积比为SADOSAEF=19，求出点E的坐标；（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2DMDN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由28（2021贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA3，OB1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（1，4）（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线D

17、Ey轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由29（2021柳州）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB3OA=3OC，OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，交直线AD于点H（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FHHP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以

18、点H为圆心，12HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值30（2021桂林）如图，已知抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MAMBMC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tanABE11tanACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由31（2021玉林）如图，直线y3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线yx2+bx+c与直线yc分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得PCBBOA（O为坐标原

19、点）若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足MPOPOA的点M的坐标32（2021南宁）如图，抛物线yax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，ACBC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CMBN，连接MN，AM，AN（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值广西2021-

20、2022年中考数学试题分类（7）二次函数一选择题（共9小题）1（2022玉林）把二次函数yax2+bx+c（a0）的图象作最新x轴的对称变换，所得图象的解析式为ya（x1）2+4a，若（m1）a+b+c0，则m的最大值是（）A4B0C2D6【答案】D【解答】解：把二次函数yax2+bx+c（a0）的图象作最新x轴的对称变换，所得图象的解析式为ya（x1）2+4a，原二次函数的顶点为（1，4a），原二次函数为ya（x1）24aax22ax3a，b2a，c3a，（m1）a+b+c0，（m1）a2a3a0，a0，m1230，即m6，m的最大值为6，故选：D2（2022百色）抛物线yx2+6x+7可由

21、抛物线yx2如何平移得到的（）A先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D先向右平移3个单位，再向上平移2个单位【答案】A【解答】解：因为yx2+6x+7（x+3）22所以将抛物线yx2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线yx2+6x+7故选：A3（2022梧州）已知m0，最新x的一元二次方程（x+1）（x2）m0的解为x1，x2（x1x2），则下列结论正确的是（）Ax112x2B1x12x2C1x1x22Dx11x22【答案】A【解答】解：二次函数y（x+1）（x2）的图象如图所示：它与x轴的交点坐

22、标为（1，0），（2，0），最新x的一元二次方程（x+1）（x2）m0的解为x1，x2，可以看作是直线ym（m0）与二次函数y（x+1）（x2）交点的横坐标，由图象可知x11，x22；x112x2，故选：A4（2022玉林）已知抛物线C：y=12（x1）21，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若DQD160，则m等于（）A43B23C2或23D4或43【答案】A【解答】解：抛物线CC：y=12（x1）21沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y=12（xm1）21，D（1，1），D1（m+1，1），Q点的横坐标为：m+22，代

23、入y=12（x1）21求得Q（m+22，m28-1），若DQD160，则DQD1是等边三角形，QDDD1|m|，由勾股定理得，（m+22-1）2+（m28-1+1）2m2，解得m43，故选：A5（2022河池）如图，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，则下列结论中，错误的是（）Aac0Bb24ac0C2ab0Dab+c0【答案】C【解答】解：A、由抛物线的开口向下知a0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c0，因此ac0，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b24ac0，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为x=-b2a=1，得2ab，即2a+b0，故本选项错

24、误，符合题意；D、由对称轴为x1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（1，0），所以ab+c0，故本选项正确，不符合题意故选：C6（2021百色）把抛物线y=-12x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（）Ay=-12x2+2By=-12（x+2）2Cy=-12x22Dy=-12（x2）2【答案】D【解答】解：把抛物线y=-12x2向右平移2个单位，平移后所得抛物线的解析式为：y=-12（x2）2故选：D7（2021贵港）如图，抛物线y=14（x+2）（x8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线x3；D的面

25、积为16；抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；直线CM与D相切其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：在y=14（x+2）（x8）中，当y0时，x2或x8，点A（2，0）、B（8，0），抛物线的对称轴为x=-2+82=3，故正确；D的直径为8（2）10，即半径为5，D的面积为25，故错误；在y=14（x+2）（x8）=14x2-32x4中，当x0时y4，点C（0，4），当y4时，14x2-32x44，解得：x10、x26，所以点E（6，4），则CE6，AD3（2）5，ADCE，四边形ACED不是平行四边形，故错误；y=14x2-32x4=14（x3）2-254

26、，点M（3，-254），设直线CM解析式为ykx+b，将点C（0，4）、M（3，-254）代入，得：b=-43k+b=-254，解得：k=-34b=-4，所以直线CM解析式为y=-34x4；设直线CD解析式为ymx+n，将点C（0，4）、D（3，0）代入，得：n=-43m+n=0，解得：m=43n=-4，所以直线CD解析式为y=43x4，由-3443=-1知CMCD于点C，直线CM与D相切，故正确；故选：B8（2021玉林）如图，一段抛物线yx2+4（2x2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线

27、l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，tx1+x2+x3，则t的取值范围是（）A6t8B6t8C10t12D10t12【答案】D【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y（x4）24x28x+12，设x1，x2，x3均为正数，点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x28，2x34，10x1+x2+x312即10t12，故选：D9（2021南宁）将抛物线y=12x26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）Ay=12（x8）2+5By=12（x4）2+5Cy=12（

28、x8）2+3Dy=12（x4）2+3【答案】D【解答】解：y=12x26x+21=12（x212x）+21=12（x6）236+21=12（x6）2+3，故y=12（x6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=12（x4）2+3故选：D二填空题（共4小题）10（2022贵港）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，且b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增

29、大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是4【答案】见试题解答内容【解答】解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此是不正确的；故答案是：411（2022贺州）已知抛物线yax2+bx+c

30、（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是（填写序号）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x=-b2a=1，b2a，a0，b0，abc0，故正确；把x1代入函数关系式yax2+bx+c中得：yab+c，由抛物线的对称轴是直线x1，且过点（3，0），可得当x1时，y0，ab+c0，故错误；b2a，a（2a）+c0，即：3a+c0，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：12（2021河池）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若A

31、B6，则OM的长为9【答案】见试题解答内容【解答】解：抛物线yx2+bx+c与x轴只有一个交点，则b24c0，设OMh，A、B点的横坐标分别为m、n，则：A（m，h）、B（n，h），由题意得：x2+bx+（ch）0，则：m+nb，mnch，AB6nm=(m+n)2-4mn=b2-4(c-h)=4h，解得：h9，故答案为9；附注：其它解法：将抛物线平移，顶点至原点，此时yx2，则点B点横坐标为3，故y913（2021贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20x30，且x为整数）出售，可卖出（30x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为25元【答案】见试题解答内容【

32、解答】解：设利润为w元，则w（x20）（30x）（x25）2+25，20x30，当x25时，二次函数有最大值25，故答案是：25三解答题（共19小题）14（2022桂林）如图，已知抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标【答案】（1

33、）a=-16，对称轴直线为x2；（2）点M的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，22）或（2，22）；（3）点P的横坐标为-13-2412或-13+2412【解答】解：（1）抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），2a（0+6）（02），a=-16，抛物线的解析式为y=-16（x+6）（x2）=-16（x+2）2+83，抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y=-16（x+6）（x2），令y0，则-16（x+6）（x2）0，x2或x6，A（6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x2，E（2，0），C（0，2），OCOE2，CE=2OC22，CED45，CME是等腰

34、三角形，当MEMC时，ECMCED45，CME90，M（2，2），当CECM时，MM1CM2，EM14，M1（2，4），当EMCE时，EM2EM322，M2（2，22），M3（2，22），即满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，22）或（2，22）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y=-16（x+6）（x2）=-16（x+2）2+83，D（2，83），令y0，则（x+6）（x2）0，x6或x2，点A（6，0），直线AD的解析式为y=23x+4，过点P作PQx轴于Q，过点P作PQDE于Q，EQPEQP90，由（2）知，CEDCEB45，由折叠知，EPEP，CEPCEP，P

35、QEPQE（AAS），PQPQ，EQEQ，设点P（m，n），OQm，PQn，PQn，EQQEm+2，点P（n2，2+m），点P在直线AD上，2+m=23（n2）+4，点P在抛物线上，n=-16（m+6）（m2），联立解得，m=-13-2412或m=-13+2412，即点P的横坐标为-13-2412或-13+241215（2022河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：ya（xp）（xq）ax2a（p+q）x+apq（1）若a1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a1，如图（1），A（

36、1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围【答案】（1）yx26x+5，（3，4）（2）13（3）a35或a-34【解答】解：（1）由题意抛物线的解析式为y（x1）（x5）x26x+5（x3）24，yx26x+5，抛物线的顶点坐标为（3，4）（2）如图1中，过点C作CEAB于E，过点D作DFAB于F由题

37、意抛物线C1为y（x+1）（xm）（x-m-12）2+m2+2m+14，C（m-12，m2+2m+14），抛物线C2为y（xm）（x3）（x-3+m2）2+m2-6m+94，D（3+m2，m2-6m+94），A，C，D共线，CEDF，CEAE=DFAF，m2+2m+14m-12+1=m2-6m+943+m2+1，解得m=13，经检验，m=13 是分式方程的解，m=13（3）如图21，当a0时，设抛物线的解析式为ya（x+1）（x3），当抛物线经过F（4，3）时，3a51，a=35，观察图象可知当a35时，满足条件如图22中，当a0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），把（1，3）代入ya（

38、x+1）（x3），可得a=-34，观察图象可知当a-34时，满足条件，综上所述，满足条件的a的范围为：a35或a-3416（2022玉林）如图，已知抛物线：y1x22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点为点D，若BDB90，求点B的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说

39、明理由【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对于y1x22x+3，令y10，得到x22x+30，解得x3或1，A（3，0），B（1，0），令x0，得到y13，C（0，3）（2）设平移后的抛物线的解析式为y2（xa）2+b，如图1中，过点D作DHOB于H，连接BDD是抛物线的顶点，DBDB，D（a，b），BDB90，DHBB，BHHB，DHBHHBb，a1+b，又y2（xa）2+b，经过B（1，0），b（1a）2，解得a2或1（不合题意舍弃），b1，B（3，0），y2（x2）2+1x2+4x3（3）如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或3时，存在满足条件的平行四边形对于y1x22x+3，

40、令y13，x2+2x0，解得x0或2，可得P1（2，3），令y13，则x2+2x60，解得x17，可得P2（1-7，3），P3（1+7，3），对于y2x2+4x3，令y23，方程无解，令y23，则x24x0，解得x0或4，可得P4（0，3），P5（4，3），综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，3）或（1-7，3）或（1+7，3）或（0，3）或（4，3）17（2022百色）已知抛物线ymx2和直线yx+b都经过点M（2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线yx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点（1）求m、b的值；（2）当PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）满足（

41、2）的条件时，求sinBOP的值【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将M（2，4）代入ymx2，得：44m，m1；将M（2，4）代入yx+b，得：42+b，b2（2）由（1）得：抛物线的解析式为yx2，直线AB的解析式为yx+2当y0时，x+20，解得：x2，点A的坐标为（2，0），OA2设点P的坐标为（x，x2），则PA2（2x）2+（0x2）2x4+x24x+4，PM2（2x）2+（4x2）2x47x2+4x+20PAM是以AM为底边的等腰三角形，PA2PM2，即x4+x24x+4x47x2+4x+20，整理，得：x2x20，解得：x11，x22，点P的坐标为（1，1）或（2，4）（3

42、）过点P作PNy轴，垂足为点N，如图所示当点P的坐标为（1，1）时，PN1，PO=12+12=2，sinBOP=PNPO=22；当点P的坐标为（2，4）时，PN2，PO=22+42=25，sinBOP=PNPO=55满足（2）的条件时，sinBOP的值的值为22或5518（2022梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为x元/件（x6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于24

43、0元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意（1）y（x5）（100-x-60.55）10x2+210x800故y与x的函数关系式为：y10x2+210x800（2）要使当天利润不低于240元，则y240，y10x2+210x80010（x10.5）2+302.5240解得，x18，x213100，抛物线的开口向下，当天销售单价所在的范围为8x13（3）每件文具利润不超过80%x-550.8，得x9文具的销售单价为6x9，由（1）得y10x2+210x80010（x10.5

44、）2+302.5对称轴为x10.56x9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大当x9时，取得最大值，此时y10（910.5）2+302.5280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元19（2022梧州）如图，已知A的圆心为点（3，0），抛物线yax2-376x+c过点A，与A交于B、C两点，连接AB、AC，且ABAC，B、C两点的纵坐标分别是2、1（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线ykx+1经过点B，与x轴交于点D点E（与点D不重合）在该直线上，且ADAE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线yk1x1与A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式【答案】

45、见试题解答内容【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，ABR+RAB90，RAB+CAS90，RABCAS，又ABAC，RtBRARtASC（AAS），ASBR2，ARCS1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线yax2-376x+c并解得：a=56，c11，故抛物线的表达式为：y=56x2-376x+11；（2）将点B坐标代入ykx+1并解得：y=12x+1，则点D（2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（2，0），则AB=5，AD5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，12x+1），ADAE，则52（

46、3x）2+（12x+1）2，解得：x2或6（舍去2），故点E（6，4），把x6代入y=56x2-376x+114，故点E在抛物线上；（3）当切点在x轴下方时，设直线yk1x1与A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，1），连接GA，AHAB=5，GA=10，AHKKOG90，HKAHKA，KOGKHA，KOKH=OGHA，即：KO(KO+3)2-5=15，解得：KO2或-12（舍去-12），故点K（2，0），把点K、G坐标代入yk1x1并解得：直线的表达式为：y=-12x1；当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y2x1；故满足条件的直线解析式为：y=-12x1或y2x120（202

47、2玉林）已知二次函数：yax2+（2a+1）x+2（a0）（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使PCA75？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）yax2+（2a+1）x+2（x+2）（ax+1），且a0，抛物线与x轴的交

48、点为（2，0）、（-1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，a1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（2，0）、B的坐标为（1，0），抛物线解析式为y（x+2）（x+1）x2x+2（x+12）2+94，当x0时，y2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，OAOC2，ACO45，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，PCA75，PCO120，OCE60，则OEC30，OE=OCtanOEC=233=23，则E（23，0），求得直线CE解析式为y=-33x+2，联立y=-33x+2y=-x2-x+2，解得x

49、=0y=2或x=3-33y=3+53，P（3-33，3+53）；如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，ACP75，ACO45，OCF30，则OFOCtanOCF233=233，F（233，0），求得直线PC解析式为y=-3x+2，联立y=-3x+2y=-x2-x+2，解得：x=0y=2或x=3-1y=3-1，P（3-1，3-1），综上，点P的坐标为（3-33，3+53）或（3-1，3-1）21（2022桂林）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（2，0）和B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90交抛物线于另

50、一点D，在射线AD上是否存在一点H，使CHB的周长最小若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当2t1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S最新t的函数表达式【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（2，0）和B（1，0）交点式为y（x+2）（x1）（x2+x2）抛物线的表示式为yx2x+2（2）在射线AD上存在一点H，使CHB的周长最小如图1，延长CA到C，使

51、ACAC，连接BC，BC与AD交点即为满足条件的点Hx0时，yx2x+22C（0，2）OAOC2CAO45，直线AC解析式为yx+2射线AC绕点A顺时针旋转90得射线ADCAD90OADCADCAO45直线AD解析式为yx2ACAC，ADCCC（4，2），AD垂直平分CCCHCH当C、H、B在同一直线上时，CCHBCH+BH+BCCH+BH+BCBC+BC最小设直线BC解析式为ykx+a-4k+a=-2k+a=0 解得：k=25a=-25直线BC：y=25x-25y=25x-25y=-x-2 解得：x=-87y=-67点H坐标为（-87，-67）（3）yx2x+2（x+12）2+94抛物线顶点

52、Q（-12，94）当2t-12时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F设直线AQ解析式为ymx+n-2m+n=0-12m+n=94 解得：m=32n=3直线AQ：y=32x+3点P横坐标为t，PFx轴于点EF（t，32t+3）AEt（2）t+2，FE=32t+3SSAEF=12AEEF=12（t+2）（32t+3）=34t2+3t+3当-12t0时，如图3，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QMx轴于MAM=-12-（2）=32，QM=94SAQM=12AMQM=123294=2716设直线CQ解析式为yqx+2把点Q代入：-12q+2=94，解得：q=-12直线CQ：y=-12x+2G（t，

53、-12t+2）EMt（-12）t+12，GE=-12t+2S梯形MEGQ=12（QM+GE）ME=12（94-12t+2）（t+12）=-14t2+2t+1716SSAQM+S梯形MEGQ=2716+（-14t2+2t+1716）=-14t2+2t+114当0t1时，如图4，直线l与线段BC相交于点N设直线BC解析式为yrx+2把点B代入：r+20，解得：r2直线BC：y2x+2N（t，2t+2）BE1t，NE2t+2SBEN=12BENE=12（1t）（2t+2）t22t+1S梯形MOCQ=12（QM+CO）OM=12（94+2）12=1716，SBOC=12BOCO=12121SSAQM+

54、S梯形MOCQ+SBOCSBEN=2716+1716+1（t22t+1）t2+2t+114综上所述，S=34t2+3t+3(-2t-12)-14t2+2t+114(-12t0)-t2+2t+114(0t1)22（2022广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，1）（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得ABE是直角三

55、角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S10），ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S20），令SS1+S2，观察图象，当y1y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值【答案】见试题解答内容【解答】解：由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（2，1），将A（2，1），D（6，1）代入y2ax2+x+c得 4a-2+c=-136a+6+c=-1，解得a=-14c=2，y2=-14x2+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：yx+1，若B为直角顶点，BEAB，kBEkAB1，kBE1，直线BE解析式为yx+5联立y=-x+5y=-14x2+x+2，解得x2，y3或x6，y1，E（6，1）；若A为直角顶点，AEAB，同理得AE解析式：yx3，联立y=-x-3y=-14x2+x+2，解得x2，y1或x10，y13，E（10，13）；若E为直角顶点，设E（m，-14m2+m+2）由AEBE得kBEkAE1，即-14m2+m-1m-2-14m2+m+3m+2=-1，(