最新全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题及参考答案

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1、精品文档2008 年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120 分，考试时间120 分钟，允许使用科学计算器）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，计 40 分每小题都给出代号为A、B、 C、 D 的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分）1关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的根为 2 和 3，则方程ax2 bx c 0 的根为（）（A ） 2， 3（B） 6，1（C）2， 3（D） 1，62已知动点P 在边长为2 的正方形ABCD 的边上沿着A B CD 匀速运动， x 表示点 P 由 A 点出发所经过的路程，y 表示 AP

2、D 的面积，则y 和 x 之间函数关系的图像大致为（）（A ）（B）（C）（D）3将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？（）（ A ）200（ B ） 120（C） 160（ D） 100cab，则 a、 b、c 三个数的大小关系是（4设 a、 b、 c 均为正数，若c ca b ba（ A ）c a b（ B ） bc a（C） ab c（ D） c b a5三角形的三内角A、 B、 C 的对边长分别是a、 b、 c（ a、 b、 c 都是素数），且满足 A 是最小内角则cosA

3、 的值是（）ab c 16，又设（A） 1（ B ）2（C）47（ D）条件不足，无法计算77496美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上， 肚脐是理想的黄金分割点，也就是说， 若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（）（ A ） 2.5cm（ B ） 5.1cm（C） 7.5cm（ D） 8.2cm7如图 2，一个边长分

4、别为 3cm、 4cm、 5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的AB顶点 B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、 DC 上，那么这个正方形的面积是（）5422F（A）16cm215cm23（ B ）DEC1516?2精品文档精品文档（ C） 172cm2（D） 162cm216178将抛物线 y 2x2 12x 22 绕点（ 5， 2）旋转 180o后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是（）（A ）3（B）2（C） 1（D）0二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，计 30 分）9已知两圆的圆心分别在（2， 0）、（0，2），半径都是 2则两圆公共部分的面积是_ 10如果三位数 a

5、bc 满足 a b c 或 a b c，则称这个三位数为“严格排序三位数”那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是_ 11若f (n)为 n21（n是任意正整数） 的各位数字之和， 如 142 1197，9 717，则f 14)( 17；1记 f1( n)f (n) ， f2 (n)f ( f1( n) ， ， fk 1 (n)f ( fk (n) ，k 是正整数，则 f2008 (8) _ 12已知三个正整数x， y， z 的最小公倍数是x3 y2z0x，300，并且满足3y 2z2，则此方程组的解（2x20y， z） _ 13如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、

6、 b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、 b 都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置则a2 b2 的值是 _14抛物线 y n(n 1)x2 (3n 1)x3 与直线 y nx 2 的两个交点的横坐标分别是x1、 x2 ，记 dn x1 x2则代数式 d1 d2d3 d2009 的值是 _三、解答题（共4 小题，第15、 16、 17 题每题 12 分，第 18 题 14 分，计 50 分）15已知 a1、a2 、a3、 a4、 a5、 a6、 a7 这七个实数满足下列三个方程：（ 1） a14a2 9a3 16a4 25a5 36a6 49a7 2008，（ 2） 4a1

7、9a2 16a3 25a4 36a5 49a6 64a7 208，（ 3） 9a1 16a2 25a3 36a4 49a5 64a6 81a7 28试求下列代数式的值：16a1 25a2 36a3 49a4 64a5 81a6 100a716请你利用直角坐标平面上任意两点(x1， y1)、 ( x2， y2)间的距离公式 d( x1x2 )2( y1y2 )2解答下列问题：已知：反比例函数 y2与正比例函数 y x 的图象交于 A、 B 两点（ A 在第一象限），点 F 1（ 2，x2 2） F2（ 2， 2）在直线y x 上设点 P（x0，y0）是反比例函数 y图象上的任意一点，记点P、x与

8、 F 1、F 2 两点的距离之差d PF1 PF2试比较线段AB 的长度与d 的大小，并由此归纳出双曲精品文档精品文档线的一个重要定义（用简练的语言表述）17 ABC 的内切圆分别切BC、 CA、AB 三边于 D、 E、 F ， G 是 EF 上的一点，且DG EF，求证： DG平分 BGC AFGEBDC18观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n 个图形，请探究下列问题：（ 1）设第 n 个图形和第n 1 个图形中所有三角形的个数分别为an、an1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式（ 2）请你用含n 的代数式来表示an，并证明你的结论精品文档精品文档2008 年全国初中数学竞赛

9、浙江赛区初赛模拟试题参考答案及评分标准一、选择题（共8 小题，每小题5 分，计 40 分每小题的答案中有且只有一个正确，多选、少选、不选皆不得分）1关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的根为 2 和 3，则方程ax2 bx c 0 的根是（B）A. 2，3B. 6，1C.2， 3D. 1，62已知动点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上沿着 A B CD经 过 的 路 程 ， y 表 示 APD 的 面 积 ， 则 y 和 x匀速运动， x 表示点 P 由 A 点出发所之间函数关系的图像大致为（A）ABCD3将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有

10、一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？（ D）A.200B.120C.160D.1004 设a 、 b 、 c 均 为 正 数 ， 若cab， 则 a 、 b 、 c 三 个 数 的 大 小 关 系 是bb cc aa（ A） A.c a bB.b caC.a b cD.c ba5三角形的三内角 A、 B、 C 的对边长分别是a、 b、 c(a、 b、 c 都是素数 )，且满足 a b c16，又设 A 是最小内角则cosA 的值是（C）1247A .B .C.D .条件不足，无法计算77496美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形

11、状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 0.618，就越给别人一种美的感觉如果某女士身高为 1.60m ，躯干与身高的比为 0.60 ，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（C）A 2.5cm B 5.1cmC 7.5cm D 8.2cm7如图 2，一个边长分别为3cm、4cm、 5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、 DC 上，那么这个正方形的面积是（D）162cm2152cm

12、2ABAB151617216 25Ccm2cm2416D .17F38将抛物线 y 2x2 12x22 绕点（ 5， 2）旋转DEC180o后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是? 2（ B）A .3B .2C .1D.0二、填空题（共6 小题，每小题5 分，计30 分每小题应填的正确答案唯一，多填则不给分；分数未约分或化成小数都给分 ）9已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2则两圆公共部分的面积是精品文档精品文档_ 24 _ 10如果三位数 abc 满足 a b c 或 a b c，则称这个三位数为“严格排序三位数”那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率

13、是_ 17_ 若 f (n)75，则 f (14) 17 ；11为n2（n是任意正整数） 的各位数字之和， 如1421197，9 71711记 f1( n)f(n) ， f2 (n)f ( f1 (n) ， ， fk 1( n)f ( fk (n) ，k 是正整数，则 f2008 (8)_11_ 12已知三个正整数x， y， z 的最小公倍数是 300，并且满足x3 y2z02x23y 2z2，则此方程组的解（ x，0y， z） _(20， 60，100)_ 13如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、 b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、 b 都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚

14、好互换位置则a2 b2的值是 _7361_14抛物线 y n(n 1)x2 (3n 1)x 3 与直线 y nx 2 的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记 dn x12009x2 .则代数式 d1 d2 d3 d2009 的值是 _ 2010三、解答题（共4 小题，第15、 16、 17 题每题 12 分，第 18 题 14分，计 50 分每题的得分严格按评分标准给分，不要再分步给中间分；另外的解法也同样按此标准给分）15已知 a1、 a2、 a3、 a4、a5、 a6、a7 这七个实数满足下列三个方程：（ 1）a1 4a2 9a3 16a4 25a5 36a649a7 2008，（ 2）4

15、a1 9a2 16a325a4 36a5 49a6 64a7208，（ 3）9a1 16a2 25a3 36a4 49a5 64a6 81a7 28试求下列代数式的值：16a125a2 36a3 49a4 64a5 81a6 100a7解：观察（ 1）（ 2）（3）式及所求代数式中a1、 a2、a3、 a4、 a5、 a6、a7 这七个未知数前面的系数，可以发现每个未知数前面的四个系数依次是n2、 (n 1)2、 (n 2)2、 (n 3)2，而这四个数之间有下列关系： n2 3(n 1)2 3(n2) 2 (n 3) 2（6分） 所求代数式的值（1） 3（2） 3（3） 2008 3208

16、328 1468（6 分）16.请你利用直角坐标平面上任意两点(x1，y1)、(x2，y2)间的距离公式 d( x1 x2 )2( y1 y2 )2解答下列问题：已知：反比例函数 y2yx 的图象交于 A、B 两点（ A 在第一象限）， 点 F 1（ 2，与正比例函数x2、 （ 2，2）在直线yx上设点 P（ x ，y0）是反比例函数y、2） F20图象上的任意一点，记点P与 F1xF 2两点的距离之差 d P F1 P F .试比较线段 AB 的长度与 d 的大小，并由此归纳出双曲线的一个2重要定义（用简练的语言表述）解：解由 y2和 yx 组成的方程组可得A、 B 两点的坐标分别为x（2

17、，2 ）、（2 ，2 ），线段 AB 的长度 4（2分）点P（ x0 ，y0）是反比例函数y2图象上一点 ， y0 2xx0P F1( x02) 2( 22) 2 ( x022)2 ( x01) 21 ，xox0x0P F2( x02)2(22) 2( x022) 2 ( x0 1) 21，（3 分）xox0x0精品文档精品文档 P F ( x01) 21 ( x0 1)21 ，d P F 12x0x0当 x0 0 时， d 4；当 x0 0 时， d 4（3分）因此，无论点 P 的位置如何，线段AB 的长度与 d 一定相等（ 2 分）由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（

18、轨迹）是双曲线（意思对即可，不强求表达的严密性 ）（2 分）17 ABC 的内切圆分别切BC、 CA、AB 三边于 D 、E、F，G 是 EF 上的一点，且DG EF ，求证： DG平分 BGC 证明：连结 DF 、 DE ，设 N、 K 分别是 DF 、 DE 的中点，连结 BN、CK 则：Rt BFN Rt DEG，BFFNFD(2 分)DEGE2GERt CEK Rt DFG ，CEEKED（2分）DFFG2FG BF GE 1DF DE CE FG（4 分）2BFFG ，而 BFG CEG（2 分）CEGE BFG CEG，于是 BGF CGE DG EF ， BGD CGD 即 DG

19、 平分 BGC（2 分）18观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n 个图形，请探究下列问题：（ 1）设第 n 个图形和第n 1 个图形中所有三角形的个数分别为an、an1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式精品文档精品文档（ 2）请你用含 n 的代数式来表示 an，并证明你的结论解：（ 1）按题中图形的排列规律可得：an3an 1 2（3 分）（ 2）由（ 1）得： an3an 1 2 ，an 1 3an2 2 ，两式相减得：an an 1 3（ an 1 an 2）（3 分）当 n 分别取3、 4、 5、 、 n 时，由式可得下列（n 2）个等式：a3 a2 3（ a2 a1）， a4 a3 3（ a3 a2）， a5 a43（ a4 a3）， ，n an1 3（ an1 an 2） .（2 分）a显然 an an1 0，以上（ n 2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：anan 1 3n2 2a1( a)（3 分） a2 a1 17 5 12，由 （ 1）又可知 an 1 1 （ an 2），将它们代入式即得： an 2 3n 1.（3 分）3精品文档