2010年高考数学计算试题分类汇编——圆锥曲线

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1、20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编圆锥曲线圆锥曲线（2010 上海文数）上海文数）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小小题满分题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. .已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，(0, )Ab、(0,)Bb和( ,0)Q a为的三个顶点.（1）若点M满足1()2AMAQAB ，求点M的坐标；（2）设直线11:lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线22:lyk x于点E.若2122bk

2、ka ，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ 12PPPPPQ ？令10a ，5b ，点P的坐标是（-8，-1） ，若椭圆上的点1P、2P满足12PPPPPQ ，求点1P、2P的坐标.解析：(1) ( ,)22abM；(2) 由方程组122221yk xpxyab，消 y 得方程2222222211()2()0a kbxa k pxapb，因为直线11:lyk xp交椭圆于C、D两点，所以0，即222210a kbp，设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，则2

3、12102221201022212xxa k pxa kbb pyk xpa kb ，由方程组12yk xpyk x，消 y 得方程(k2k1)xp，又因为2221bka k ，所以2102222112202221a k ppxxkka kbb pyk xya kb ，故 E 为 CD 的中点；(3) 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 内，可以求得直线 OF 的斜率k2，由12PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率2122bka k ，从而得直线 l 的方程1(1,)2F，直线 OF 的斜率212k ，直线 l 的斜率212212bk

4、a k ，解方程组22112110025yxxy，消 y：x22x480，解得 P1(6,4)、P2(8,3)（2010 湖南文数）湖南文数）19.（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 4） 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。（I）求考察区域边界曲线的方程：（II）如图 4 所示，设线段12PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察

5、区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？（2010 浙江理数）浙江理数）(21) （本题满分 15 分）已知 m1，直线2:02ml xmy，椭圆222:1xCym，1,2F F分别为椭圆C的左、右焦点. （）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（）设直线l与椭圆C交于,A B两点，12AFFV，12BFFV的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）

6、解：因为直线: l202mxmy经过22(1,0)Fm ，所以2212mm ,得22m ，又因为1m ，所以2m ，故直线l的方程为22202xy。（）解：设1122( ,), (,)A x yB xy。 由222221mxmyxym，消去x得222104mymy 则由2228(1)804mmm ，知28m ，且有212121,282mmyyy y 。由于12(,0),( ,0),FcF c，故O为12FF的中点，由2,2AGGO BHHO ，可知1121(,), (,),3333xyxyGh2221212()()99xxyyGH设M是GH的中点，则1212(,)66xxyyM，由题意可知2,

7、MOGH即222212121212()()4()() 6699xxyyxxyy即12120 x xy y而2212121212()()22mmx xy ymymyy y 221(1 ()82mm）所以21082m即24m 又因为1m 且0 所以12m。所以m的取值范围是(1,2)。（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （21） （本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C：2222100 xyabab，相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切 【命题意

8、图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.（20102010 陕西文数）陕西文数）20.（本小题满分 13 分）（）求椭圆 C 的方程； ()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （20） （本小题满分 1

9、2 分） 设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为2 3.（）求椭圆C的焦距；（）如果222AFF B ,求椭圆C的方程.解：（）设焦距为2c，由已知可得1F到直线 l 的距离32 3,2.cc故所以椭圆C的焦距为 4.（）设112212( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4 330.1yxabyb ybxyab得解得221222223(22 )3(22 ),.33babayyabab因为2212

10、2,2.AFF Byy 所以即2222223(22 )3(22 )2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy（2010 辽宁理数）辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB .(I)求椭圆 C 的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程.解：设1122( ,), (,)A x yB xy，由题意知1y0，2y0.（）直线 l 的方程为 3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yx

11、cxyab得22224(3)2 330abyb cyb解得221222223(2 )3(2 ),33b cab cayyabab因为2AFFB ，所以122yy.即 2222223(2 )3(2 )233b cab caabab得离心率 23cea. 6 分（）因为21113AByy，所以22224 315343abab.由23ca得53ba.所以51544a ，得 a=3，5b .椭圆 C 的方程为22195xy. 12 分（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （22） （本小题满分 12 分）已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C：22221(0,0)xyabab相交于 B、D 两

12、点，且 BD 的中点为 M（1.3）（） （）求 C 的离心率；（） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。【解析解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为（1 1，3 3） ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐

13、标公式找出 A,BA,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。（2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17|FA|FB|=17，用含，用含 A A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 A A，则，则 A A 点坐标可点坐标可得（得（1 1，0 0） ，由于，由于 A A 在在 X X 轴上所以，只要证明轴上所以，只要证明 2AM=BD2AM=BD 即证得。即证得。（20102010 江西理数）江西理数）21. （本小题满分 12 分）设椭圆22122:1(0)xyCabab，抛物线222:Cxbyb。（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设

14、 A（0，b） ，53 34Q，,又 M、N 为1C与2C不在 y 轴上的两个交点，若AMN的垂心为34Bb0，且QMN 的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb，由222222122,22cabccea有。(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设11111(,),( ,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有211130()()04BM ANxyb yb 。 由点11( ,)N x y在抛物线上，2211xbyb，解得：11()4byyb 或舍去

15、故1555,(,),(,)22424bbxb MbNb，得QMN重心坐标( 3, )4b. 由重心在抛物线上得：223,=24bbb所以，11(5,),( 5,)22MN，又因为M、N 在椭圆上得：2163a ，椭圆方程为2216314xy，抛物线方程为224xy。（2010 安徽文数）安徽文数）17、 （本小题满分 12 分）椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,F F在x轴上，离心率12e 。 ()求椭圆E的方程；()求12F AF的角平分线所在直线的方程。17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识

16、；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】 （1）设椭圆方程为22221xyab，把点2,3A代入椭圆方程，把离心率12e 用, a c表示，再根据222abc，求出22,a b，得椭圆方程；（2）可以设直线 l 上任一点坐标为( , )x y，根据角平分线上的点到角两边距离相等得|346|2|5xyx.解：（）设椭圆 E 的方程为22222222222222221212121.11,3,1.2243131,2,1.16123()( 2,0),(2,0),(2),43460.2.xyabcxyebaccaccAcEccxyFAFxxyAFxEAF由得将（2，3）代入，有解得：椭圆的方

17、程为由（）知F所以直线的方程为y=即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正121234625346510,280,xyAFxxyxxyAF数。设P（x, y）为F的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去。于是3x-4y+6=-5x+10, 即2x-y-1=0.所以，F的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为22221xyab，根据题目满足的条件求出22,a b，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.（2010 重庆文数）

18、 （21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ）已知以原点O为中心，( 5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e .（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点11( ,)M x y的直线1l：1144x xy y与过点22(,)N xy（其中21xx）的直线2l：2244x xy y的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OG OH 的值. （2010 浙江文数）浙江文数） （22） 、 （本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线2:2Cyps（p0）的焦点 F 在直线2:02ml xmy上。（

19、I）若 m=2，求抛物线 C 的方程（II）设直线l与抛物线 C 交于 A、B，A2A F,1BB F的重心分别为 G,H求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。（2010 重庆理数）重庆理数） （20） （本小题满分 12 分，（I）小问 5 分， （II）小问 7 分）已知以原点 O 为中心，5,0F为右焦点的双曲线 C 的离心率52e 。（I）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程；（II）如题（20）图，已知过点11,M x y的直线111:44lx xy y与过点22,N xy（其中2xx）的直线222:44lx xy y的交点 E 在

20、双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两点，求OGH的面积。（2010 山东文数）山东文数） （22） （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆22221 (0)xyabab过点.2(1,)2，离心率为22，左、右焦点分别为1F、2F.点P为直线:2l xy上且不在x轴上的任意一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线1PF、2PF的斜线分别为1k、2k.（i）证明：12132kk；（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率OAk、OBk、OCk、ODk满足0OAOBOCODkkkk

21、？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.（20102010 北京文数）北京文数） （19） （本小题共 14 分）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，( 2,0)，离心率是63，直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。（）求椭圆 C 的方程；（）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；（）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。解：（）因为63ca，且2c ，所以223,1abac所以椭圆 C 的方程为2213xy（）由题意知(0, )( 11)ptt 由2213ytxy 得23(1)

22、xt 所以圆 P 的半径为23(1)t解得32t 所以点 P 的坐标是（0，32）（）由（）知，圆 P 的方程222()3(1)xytt。因为点( , )Q x y在圆 P 上。所以2223(1)3(1)yttxtt 设cos ,(0, )t ，则23(1)cos3sin2sin()6tt当3，即12t ，且0 x ，y取最大值 2.（20102010 北京理数北京理数） （19） （本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别

23、与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点 B 与 A( 1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1, 1). 设点P的坐标为( , )x y 由题意得111113yyxx 化简得 2234(1)xyx . 故动点P的轨迹方程为2234(1)xyx （II）解法一：设点P的坐标为00(,)xy，点M，N得坐标分别为(3,)My,(3,)Ny. 则直线AP的方程为0011(1)1yyxx ，直线BP的方程为0011(1)1yyxx 令3x 得000431Myxyx，000231Nyxyx

24、.于是PMN得面积 2000020|(3)1|(3)2|1|PMNMNxyxSyyxx又直线AB的方程为0 xy，| 2 2AB ，点P到直线AB的距离00|2xyd.于是PAB的面积 001|2PABSAB dxy当PABPMNSS时，得20000020|(3)|1|xyxxyx又00| 0 xy，所以20(3)x=20|1|x，解得05|3x 。因为220034xy，所以0339y 故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533( ,)39.解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为00(,)xy 则11| |sin| |sin22PAPBAPBPMPN

25、MPN. 因为sinsinAPBMPN, 所以|PAPNPMPB 所以000|1|3|3|1|xxxx 即 2200(3)|1|xx，解得0 x53 因为220034xy，所以0339y 故存在点PS 使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533( ,)39.（2010 四川理数）四川理数） （20） （本小题满分 12 分）已知定点 A(1，0)，F(2，0)，定直线 l：x12，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线AB、AC 分别交 l 于点 M、N（）求 E 的方程；（）

26、试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设 P(x,y)，则221(2)2|2xyx化简得 x223y=1(y0)4 分(2)当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 yk(x2)(k0)与双曲线 x223y=1 联立消去 y 得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知 3k20 且0设 B(x1,y1),C(x2,y2)，则2122212243433kxxkkx xky1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(222243833kkkk

27、4) 2293kk因为 x1、x21所以直线 AB 的方程为 y111yx (x1)因此 M 点的坐标为(1131,2 2(1)yx )1133(,)2 2(1)yFMx ,同理可得2233(,)2 2(1)yFNx 因此2121293()22(1)(1)y yFM FNxx 222222814343494(1)33kkkkkk 0当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x2，则 B(2,3),C(2,3)AB 的方程为 yx1,因此 M 点的坐标为(1 3,2 2)，3 3(, )2 2FM 同理可得33(,)22FN 因此2333()()222FM FN 0综上FM FN 0，即 FMF

28、N故以线段 MN 为直径的圆经过点 F12 分（20102010 天津文数）天津文数） （21） （本小题满分 14 分）已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若4 2AB5| =，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 .求y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲

29、线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e=32ca，得2234ac.再由222cab，解得 a=2b.由题意可知12242ab，即 ab=2.解方程组2 ,2,abab得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为2214xy.()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为11( ,)x y，直线l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组22(2),1.4yk xxy消去 y 并整理，得2222(14)16(164)0kxk xk.由212164214kxk，得2122814kxk.从

30、而12414kyk.所以22222222844 1|2141414kkkABkkk .由4 2|5AB ，得224 14 2145kk.整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得 k=1.所以直线 l 的倾斜角为4或34.（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为22282,1414kkkk.以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是002,2,.QAyQBy 由4QA QB ，得y2 2 0。（2）当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk 。令0

31、 x ，解得02614kyk 。由02,QAy ，110,QBx yy ，2101022222 28646214141414kkkkQA QBxyyykkkk 42224 16151414kkk，整理得272k 。故147k 。所以02 145y 。综上，02 2y 或02 145y （20102010 天津理数）天津理数） （20） （本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0 xyabab ）的离心率32e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点,A B，已知点A的坐标为（,0a） ，点0(0,)Qy在线段AB的垂直平分线上，

32、且4QA QB ，求0y的值【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分（1）解：由3e2ca，得2234ac，再由222cab，得2ab由题意可知， 1224,22abab即解方程组22abab 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为2214xy(2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14yk xxy由方程组消去 Y 并整理，得2222(

33、14)16(164)0kxk xk由2121642,14kxk得21122284,1414kkxykk从而设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为22282(,)1414kkkk以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000( 2, y ),(2,=2QAQByQA QBy ）由4，得= 2（2）当 K0时，线段 AB 的垂直平分线方程为222218()1414kkYxkkk令 x=0，解得02614kyk由0110( 2, y ),( ,QAQBx yy ）2101022222(28)6462()14141414kkkk

34、QA QBxyyykkkk ）=42224(16151)4(14)kkk=整理得20142 1472,=75kky 故所以综上002 14=2 2=5yy或（2010 广东理数）广东理数） 21 （本小题满分 14 分）设 A(11,x y),B(22,xy)是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 p(A,B)为2121( , ) |P A Bxxyy.当且仅当1212()()0,()()0 xxxxyyyy时等号成立，即, ,A B C三点共线时等号成立.（2）当点 C(x, y) 同时满足P( ,)A C+P( , )C B= P( , )A B，P(

35、 ,)A C= P( , )C B时，点C是线段AB的中点. 1212,22xxyyxy，即存在点1212(,)22xxyyC满足条件。（2010 广东理数）广东理数）20 （本小题满分为 14 分） 一条双曲线2212xy的左、右顶点分别为 A1,A2，点11( ,)P x y，11( ,)Q xy是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； （2）若过点 H(0, h)（h1）的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且12ll ,求h 的值。故221(2)2yx ，即2212xy。（2）设1:lykxh，则由12ll知，21:lyxh

36、k 。将1:lykxh代入2212xy得22()12xkxh，即222(12)4220kxkhxh，由1l与 E 只有一个交点知，2222164(12)(22)0k hkh ，即2212kh。同理，由2l与 E 只有一个交点知，22112hk ，消去2h得221kk，即21k ，从而22123hk ，即3h 。（20102010 广东文数）广东文数）21.（本小题满分 14 分）已知曲线2:nxyCn,点),(nnnyxP)0, 0(nnyx是曲线nC上的点,.)2 , 1( n，（20102010 福建文数）福建文数）19 （本小题满分 12 分）已知抛物线 C：22(0)ypx p过点 A

37、 （1 , -2） 。（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于55？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （21）(本小题满分 12 分) 已知抛物线2:4C yx的焦点为 F，过点( 1,0)K 的直线l与C相交于A、B两点，点 A 关于x轴的对称点为 D.（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设89FA FB ，求BDK的内切圆 M 的方程 .（2010 四川文数）四川文数） （21） （本小

38、题满分 12 分）已知定点 A(1，0)，F(2，0)，定直线 l：x12，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线AB、AC 分别交 l 于点 M、N（）求 E 的方程；（）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由.（2010 湖北文数）湖北文数）20.（本小题满分 13 分）已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。（）求曲线 C 的方程（）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,

39、B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。（20102010 山东理数）山东理数） （21） （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F为顶点的三角形的周长为4( 21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明121k k ；（）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理

40、由.【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac，又22ac4( 21)，所以可解得2 2a ，2c ，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， （2010 湖南理数）湖南理数）19.（本小题满分 13 分）为了

41、考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 6）在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过6 55km 区域；在直线 x=2 的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过4 5km 区域。（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图 6 所示，设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线） ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2

42、倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。化 融区域28 3P-63，P3(8,6)已冰B（4，0）A（-4,0）x（5 3，-1）P1（2010 湖北理数）19(本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.()求曲线 C 的方程；（）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有0FA FB ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。（2010 安徽理数）19、 （本小题满分 13 分）已知椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,F F在x轴上

43、，离心率12e 。 ()求椭圆E的方程；()求12F AF的角平分线所在直线l的方程；()在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。（2010 江苏卷）江苏卷）18、 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为 A、B，右焦点为F。设过点 T（mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0, 021yy。（1）设动点 P 满足422 PBPF,求点 P 的轨迹；（2）设31, 221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点

44、（其坐标与 m 无关） 。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。由422 PBPF，得2222(2)(3)4,xyxy 化简得92x 。故所求点 P 的轨迹为直线92x 。（2）将31, 221xx分别代入椭圆方程，以及0, 021yy得：M（2，53） 、N（13，209）直线 MTA 方程为：0352303yx，即113yx，直线 NTB 方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点

45、T 的坐标为10(7,)3。（3）点 T 的坐标为(9,)m直线 MTA 方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线 NTB 方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx ，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm。（方法一）当12xx时，直线 MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm 令0y ，解得：1x 。此时必过点 D（1，0） ；当12xx时，直线 MN 方程为：1x ，与 x

46、轴交点为 D（1，0） 。所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m ，得2 10m ，此时直线 MN 的方程为1x ，过点 D（1，0） 。若12xx，则2 10m ，直线 MD 的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，直线 ND 的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线 MN 过 D 点。因此，直线 MN 必过x轴上的点（1，0） 。（20102010 福建理数）福建理数）17 （本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在平行于 OA 的直线l，使得直线l与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与l的距离等于 4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】 （1）依题意，可设椭圆 C 的方程为22221(a0,b0)xyab，且可知左焦点为