六年级上册思维体操(共87页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二、长方体和正方体(一)表面积【思维训练】例1、有一种长方体塑料落水管，截面长是10厘米，宽是6厘米，一根这样的落水管长2米，做10根这样的落水横管至少需要多大面积的塑料?(落水管厚度与接头忽略不计)思路点拨在实际生产和生活中，经常不需要计算长方体(或正方体)六个面的总面积，而是要根据实际情况，计算某几个面的面积。例如计算做落水管所需材料的面积，只需要计算落水管的侧面积(即4个面的面积)。试一试一个游泳池长50米，宽25米，深2米。这个游泳池占地多少平方米?在游泳池的四壁和底面贴上每块面积是4平方分米的瓷砖，共需多少块? 例2、有两个棱长是3厘米的正方体，从第一个正方

2、体的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，在第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体，求两个所得物体的表面积。思路点拨计算不规则的长方体或正方体的表面积，关键在于观察。例如第一个正方体的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，挖去后形成的三个小正方形的面积正好可以填补从正方体表而上挖去的面积，求该不规则物体的表面积就是求正方体的表面积；第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体，如果把小正方体当作按钮按下去，则可以看到小正方体的上面正好可以填补大正方体上面被遮挡的面积，那么求这个组合体的表面积就是求大正方体的表面积与小正方体的侧面积之和。试一试 有一个棱长足4厘米的

3、正方体，从它一个而的中央挖去一个棱长是1厘米的小正方体，所得物体的表面积是多少?如果每个面的中央都挖去这样一个小正方体，所得物体的表面积义是多少?想想做做1、一种火柴盒的长是4厘米，宽是3厘米，高是1.5厘米。如果把内盒的长、宽、高看做与外盒的长、宽、高相同来计算，做这样一个火柴盒一共需要多少平方厘米的硬纸?2、在棱长3厘米正方体的一条棱上挖去一个棱长1厘米的小正方体，所得物体的表面积是多少?例3、两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米?思路点拨在解决长方体或正方体拼接或剪切的问题时，关键在于找准减少或增加的面。两个相同的小正方体拼成一个长方体，减少的是

4、两个小正方形的面积，可以先求出两个小正方体的表面积之和，再减去两个小正方形的面积；或者先求出长方体的长、宽和高，再求出长方体的表面积。完全解答：方法一：方法二：试一试1、三个棱长是3厘米的小正方体可以拼成一个长方体，表面积减少多少平方厘米?2、至少需要多少个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是4厘米，那么这个大正方体的表面积是多少平方厘米?例4、下图表示用相同的小正方体摆成的立体图形。请你仔细观察后回答问题。(1)从上面看到的是( )；(2)从正面看到的是( )；(3)从左侧面看到的是( )。思路点拨解决观察问题的关键在于找准观察点，即从哪个方向观察。对于例题，我们可以分层观

5、察，最底层为第一层，依次往上为第二层，第三层注意从侧面观察一定要分清左右。试一试1、观察用棱长1厘米的正方体摆成的物体，从正面看到，从左侧面看到。这堆小正方体最多有( )个，最少有( )个。2、右图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形。(1)从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状?试着画一画。从上面看从前面看从左侧面看(2)这个物体的表面积是多少平方厘米?想想做做1、学校会议室门前有9级台阶，每级台阶长9米，宽O.3米，高0.2米。这9级台阶一共占地多少平方米?如果给这些台阶铺上红地毯，至少需要多少平方米的红地毯?2、如图，求这个正方体和长方体组合后的表面积。3、把两个长5厘米，宽4厘米，高

6、3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大可能是多少平方厘米?最少呢?4、某种书长20厘米，宽12厘米，厚2.5厘米，现将4本这样的书，包装成一包，请你设计最节省包装纸的一种方案，算出至少需要多少平方厘米的包装纸?5、下图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形。(1)这个物体(图)的表面积是多少平方厘米?(2)在这个物体上添加一个正方体(图)，它的表面积又是多少平方厘米?(二)展开图【知识概述】正方体的展开图有各种各样的情况，总的来说正方体相对应的两个面展开后是不可能连接在一起的。正方体展开图有以下几种情况：【思维训练】 例1、右面是正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，B面与(

7、 )面相对，( )面与E面相对。思路点拨相列的面不相连，这是正方体或长方体展开图的一个特点。在解决例题时，我们可以先确定C面为底面，固定不动，想象折起B面和D面，这样就可以很快找出相对面了。试一试1、下图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成立方体纸盒时，A点与( )点重合。2、如图有一正方体房间，在房间内的一角A处有一只小虫，它想到房间的另一角B处去吃食物，它采取怎样的行走路线最近?(画出来)一共有几条这样的路线?例2、如图，无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计，单位分米)，则盒子棱长总和是多少分米?思路点拨先补出折痕，如图，通过观察，可以知道5分米表示长与宽的和，3分米表示宽与高的和，而宽

8、是2分米，高是1分米，进而可以求出盒子的棱长总和。完全解答：试一试1、下面是一个长方体的展开图，计算它的体积和表面积。(单位：厘米)2、一张长20厘米，宽15厘米的硬纸板，在它的四个角各剪去一个正方形，把它做成一个无盖的长方体纸盒，请你设汁一个方案，并算出纸盒的容积。(接头处与纸的厚度忽略不计)1、一个长方体展开后有两个面的形状如下图。请你继续画出其他的4个面，并求出这个长方体的表面积和体积。2、一个底面是正方形的长方体纸箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长为20厘米的正方形。这个纸箱的表面积是多少平方厘米?(三)体积【思维训练】例1、把一根2米长的方木截成三段(截面是正方形)，表面积增加

9、100平方厘米，求这根方木的体积。思路点拨计算长方体或正方体的体积，还可以用底面积乘高或截面积乘长的方法。例题中的方木被截成三段后，增加4个截面，每个截面的面积是1004=25(平方厘米)，进而可以求出方木的体积，注意计量单位的统一。完全解答：试一试1、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，水深6厘米，这个容器还可以倒入多少立方厘米的水?2、如图，长方体的横截面是正方形，且正方形的对角线长3分米，求这个长方体的体积。例2、某乡要挖一条200米长的水渠，水渠截面是梯形(如图)，渠口宽2米，渠底宽1.5米，渠深1米。共需挖土多少立方米?思路点拨我们可以用截面积乘长的方法计算所需挖土的体

10、积。先算出梯形的面积，再乘以长就行了。完全解答：试一试1、你能求出下面立体图形的体积吗?2、一件工具如下图，它的体积是多少?例3、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，水面上升多少厘米?思路点拨“万变不离其宗”，这个“宗”就是指不变的量。在例题中，上升的水的体积就是铁块的体积，而上升的水的形状是一个长15分米，宽12分米的长方体，求水面上升多少厘米，就用上升的水的体积(即铁块体积)除以水箱底面积。完全解答：试一试1、学校把10.5立方米黄沙铺在一个长6米、宽3.5米的长方体沙坑里，可以铺多厚?2、如图，A的面积是25平方米，

11、B的面积是15平方米，h是4米。现在把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高，这时B处比原来升高多少米?例4、一个长方体高增加2厘米后就成为正方体，其表面积增加24平方厘米，求原来长方体的体积。思路点拨这个题目关键是要先求出长方体的底面边长，根据高增加2厘米，可以得出增加的实际上是一个2厘米高的长方体，这个长方体的侧面积就是增加的24平方厘米的表面积。将这个侧面展开成长方形，根据24平方厘米与高2厘米(长方形的宽)这两个条件可以得出长方体的底面边长。完全解答：试一试1、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且表面积减少56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少?2、一个长方体，它的前面

12、和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是素数，这个长方体的体积是多少?(答案不唯一)想想做做1、把6升橙汁倒入一个长方体容器，已知这个容器的底面积是250平方厘米，那么橙汁深多少厘米?2、一个长方体，如果长减少3厘米，体积减少60立方厘米；如果宽减少2厘米，体积减少48立方厘米。已知高是5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米?3、把一块棱长是12厘米的正方体冰块放入一个长20厘米，宽15厘米，深10厘米的长方体容器中融化，待冰完全融化后水的高度是多少厘米?(已知冰融化成水后体积减少)4、人们常用“V”来表示胜利的喜悦。你知道吗，“V”是英语单词“victory”的第一个字母，这个单

13、词的意思就是胜利。请你求出下面这个“V”的表面积和体积。(阴影部分为正方形，“V”左右相同。)练习二1、求下面长方体和正方体的表面积。2、一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。3、下图表示用相同的小正方体摆成的物体。(1)从上面看到的是( )，(2)从正面看到的是( )，(3)从左侧面看到的是( )。4、一个正方体木块，表面积是96平方厘米，最少可以把它锯成体积相等的多少个正方休小木块?每个小木块的表面积是多少?5、把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成27块大小相同的小正方体(如图)。(1)三三面涂色的小正方体有多少块?(2)两面涂色的小正方

14、体有多少块?(3)一面涂色的小正方体有多少块?6、求下面长方体和正方体的体积。7、一个底而是正方形的长方体，侧面积是72平方分米，高6分米，求长方体的体积和表面积。8、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为60厘米的正方体铁块，现在水深多少分米?9、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且体积减少50立方厘米，原来这个长方体的表面积是多少?10、下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 (1)从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状?试着画一画。(2)这个物体的体积和表面积有什么变化?11、3.05立方米=( )立方分米450平方厘米

15、=( )平方分米0.8升=( )立方厘米 7000平方米=( )公顷12、有两个棱长是6厘米的正方体，从第一个正方体的一个顶点处挖去一个榜长是2厘米的小正方体,在第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是2厘米的小正方体，哪个图形的表面积大?大多少呢?13、一个长方体无盖水箱，底面是边长2分米的正方形，高4分米，做50个这样的水箱，至少需要铁皮多少平方米?14、已知正方体小木块的表面积是24平方厘米，把27个体积相等的正方体小木块拼成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少?15、一个长方体金鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米。(1)做这个金鱼缸至少需玻璃多少平方厘米?(2)在鱼缸里注入40升

16、水，水深大约多少厘米?(玻璃厚度不计)(3)再往水里放人鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米?16、有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是25平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少?17、把一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体切分成若干个相同的小正方体，最少可以分成多少个小正方体？小正方体的体积是多少？三、分数乘法【思维训练】例1、学校要修一条长3300米的路，已经修了2100米，再修多少米正好修完这条路的?思路点拨要求还要修的米数，用要修的总米数减去已经修的米数。这条路的全长是单位“1”，一共要修的米数，就是330

17、0米的，再减去已经修的米数，就是还要再修的米数。完全解答：试一试1、苏华看一本72页的书，第一天看了全书的，再看多少页就正好看了这本书的一半?2、果品仓库有一批橘子，4天运走了它的，再运几天就正好运走它的?例2、仓库存有吨大米，第一周运走全部的，第二周运走吨。两周共运走大米多少吨?思路点拨要求两周一共运走大米的吨数，就是求吨的是多少，再用第一周运走的吨数加上第二周运走的吨数求出两周共运走的吨数。注意：“第二周运走吨”这里的是一个具体的数量，直接加上吨就可以了，不能乘。完全解答：试一试1.8吨煤，第一次用去后，第二次用去吨，第一次比第二次多用多少吨?2.有2吨煤，第一次运走，第二次又运走吨，这时

18、还剩多少吨?想想做做1.一条公路千米，已经修了千米。再修多少千米就正好修了全长的?2.修一段千米的公路，第一天修了，第二天修了千米。两天一共修了多少千米?3.甲、乙两队合挖一条水渠，甲挖了千米，乙队挖的比甲队的还多千米，这条水渠全长多少千米?4.甲堆煤42吨，乙堆煤比甲堆的少吨，乙堆煤有多少吨?例3.修路队修一条400米的路，前三天已经修了全程的，还剩多少米没有修?思路点拨要求“还剩多少米没有修”，我们首先想到的是先求出已经修了多少米，总长度减去已修的就是剩下的，除此以外，我们还可以用线段图表示他们的关系。完全解答：试一试1.一套西服原价780元，现在的价格比原来降低了，现价多少元?2.研究表

19、明：水结成冰之后，体积增加。现有132立方米的水，结成冰后的体积是多少立方米?例4.一本故事书书共100页，张明第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，剩下的第三天看完，第三天看了多少页? 思路点拨解答这道题可以先分别求出前两天看的页数，再求第三天看的页数；也可以先求出前两天一共看了全书的 + =，再求还剩下全书的1- =没有看，也就是100页的没有看，第三天要看100页的。完全解答：试一试1.某鞋店进来皮鞋600双。第一周卖出总数的，第二周卖出总数的。还剩多少双没有卖?2.甲、乙两车同时从相距540千米的A、B两地相对开出，5小时后甲车行了全程的，乙车行了全程的，这时两车相距多少千米?(画线

20、段图)例5.希望小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了。今年一共有多少个班级?思路点拨解答这一题，我们首先要找出关键句“今年的班级数比去年增加了”，即以去年的班级数为单位“1”，今年的班级数是(1+ )。完全解答：试一试1.天明小学去年有24个班级，今年的班级数比去年减少了。今年一共有多少个班级?2.草地上有90只山羊，绵羊的只数比山羊少，绵羊有多少只?例6.六年级同学给灾区的小朋友捐款。六(1)班捐了500元，六(2)班捐的是六(1)班的，六(3)班捐的是六(2)班的。六(3)班捐款多少元?思路点拨题目中有两句关键句分别说明了三个班的捐款金额关系：“六(2)班捐的是六(1)班的，六(

21、3)班捐的是六(2)班的”，这两句话的单位“1”不同，要求六(3)班，可以先求出六(2)班的，再以六(2)班为单位“1”，求出六(3)班。完全解答：试一试1.一堆沙共3吨，第一天运走它的，第二天运走第一天的，第二天运走了多少吨?2.一堆沙共3吨，第一天运走了吨，第二天运走了余下的，第二天运走了多少吨?想想做做1.甲班人数是乙班的，乙班人数是丙班的。如果丙班有70人，那么甲班有多少人?乙班有多少人？2.一条路长千米，修路队第一天修了全长的，第二天比第一天多修，第二天修了多少千米?3.甲、乙、丙三堆煤，甲堆煤重吨，乙堆煤是甲的，乙堆的等于丙堆，丙堆煤重多少吨?4.小球从高空落下，每次弹起的高度都是

22、前一次的。如果一只小球从125米的高空下落，第三次落下的高度是多少米?练习三1.甲、乙两队合挖一条水渠，甲挖了千米，乙队挖的比甲队挖的多，这条水渠全长多少千米？2.宇航员到了月球上后，体重就只有地球上的，一位宇航员在地球上的体重是72千克。他到月球上体重减少了多少千克?3.一本80页的书，第一天看了，第二天看了余下的，第三天应该从第几页看起?4.甲班人数是乙班的，丙班人数是乙班的。如果丙班有40人，那么甲班有多少人?乙班有多少人?5.六(1)班有学生40人，在学校组织的秋季运动会上每人至少参加一项运动，全班有的人参加拔河比赛，的人参加接力赛跑，这两项运动都参加的有多少人？6.六(1)班有学生4

23、0人，在学校组织的秋季运动会上，全班有的人参加拔河比赛，的人参加接力赛跑，这两项运动都参加的至少有多少人?最多有多少人?7.六(1)班全体同学共48人都参加了语数兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的占全班的，参加数学兴趣小组的人数占全班的，两种都参加的同学有多少人?8.六(1)班全体同学共48人，其中参加语文兴趣小组的占全班的，参加数学兴趣小组的人数占全班的，两种都参加的同学至少有多少人?最多有多少人?9.甲乙两个仓库，甲仓存粮30吨，如果从甲仓中取出放入乙仓，则两仓存粮数相等。两仓存粮一共多少千克?10.甲乙两仓库共有存粮30吨，甲仓调出，乙仓也调出，两仓共调出多少吨？四、分数除法【思维训练】例

24、1.加工一批零件，第一天加工300个，第二天加工350个，这两天共加工了这批零件的。这批零件共有多少个?思路点拨根据题意，把这批零件的总数看成单位“1”，两天共加工650个，650所对应的分率是。求单位“1”的量用除法计算。完全解答：试一试1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进水果的重量占超市现在所有水果的，超市现在一共有水果多少千克?2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的少300千米，这条铁路长多少千米?例2.李红三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了24页，还剩下全书的未看。这本书共有多少页?思路点拨这道题中有一个具体量“第二天看了24页”

25、，要正确找出24页所对应的分率。“还剩下全书的未看”，第一天看了全书的,第二天就看了，就可以求出这本书的总页数。完全解答：试一试1.电腑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的，再修24台正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台?2.建筑队三天修好一条马路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米?想想做做1.某厂有男工240人，比全厂人数的少20人，该厂有职工多少人?2.一辆汽车从甲地去乙地，已行，此时离中点还有200千米，已行多少千米?3.一根电话线，用去它的，又增加了3.4米，这时电话线的总长是原来没 有用时的长度的。这根电话线原有多长?4.学校图书室

26、内有一架故事书，借出总数的之后，再放上60本，这时架上的书是原来总数的。求原来书架上放着多少本书?例3.配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的，第二天又加工了余下的，这时还剩42个零件没有加工。这批零件共有多少个?思路点拨题目中，我们已知实际量“还剩42个”，只要找出实际量的对应分率，即可用对应量除以对应分率求出单位“1”。所以，我们只要求出对应分率，即还剩全部任务的几分之几没有做。完全解答：试一试1.航空公司运送一批物资，第一架飞机运送了全部的，第二架飞机运送了余下的，这时还剩下108吨没有运。这批物资共有多少吨?2.新华书店运来一批图书，第一天卖出总数的多16本，第二天卖出总数的少8本，

27、还余下67本。这批图书一共多少本?例4.配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的，第二天又加工了计划的.第二天又加工了80个，结果超过计划的。这批零件共有多少个?思路点拨题目中我们可以找到实际量“第三天又加工了80个”，要求单位1即这批零件共有多少个，只要找出80个的对应分率即可。完全解答：1.配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的，第二天又加工了计划的，结果比计划多加工了120个。这批零件共有多少个?2.一堆苹果，吃了后又买来324个，这时这堆苹果个数比原来多了。原来这堆苹果有多少个?想想做做1.一批大米，第一天吃了总数的，相当于第二天吃的，已知第二天吃了50千克。这批大米共有多少千克?2

28、.某工程队修筑一条马路。第一天修了全长的，第二天修了余下的，还剩630米没有修。这条马路仝长多少米?3.某工程队修筑一条马路。第一天修了全长的，第二天修了余下的，这时已修的比未修的多360米。这条马路全长多少米?4.一批货物，卖掉它的，又运进8925吨，这时货物的总数是原来的。这批货物原有多少吨?练习四1.学校盖一座大楼实际投资240万元，比计划节省，计划投资多少万元?2.甲乙两组人数相等，如果从乙组调出3人到甲组，这时乙组比甲组少，这两组共有多少人？3.一瓶饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重700克；如果喝掉饮料的后，则连瓶共重800克，求瓶子的重量。4.一只糖果盒内装有糖，连盒称共重5.6

29、千克，小明吃去糖后，小丽再吃去1.2千克糖，连盒共重2.6千克，求糖果盒重多少千克?5.学校四年级上学期男生人数占全年级的，本学期初转走6名男生，又转来6名女生，这时女生人数占全年级人数的，该年级共有多少男生?6.小明看一本小说，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少4页，还剩下102页。这本小说一共有多少页?7.行一段路，客车第一小时行了这段路的，第二小时行了这段路的，距终点140千米。这段路长多少于米?8.某工厂第一车间原有工人120名，现在调出给第二车间后，这时第一车间的人数比第二车间现有人数的还多3名。求第二车间原来有多少人?9.甲乙二人加工1200个零件，甲加工一个零件需2分

30、钟，乙加工一个零件需3分钟，甲乙二人合加工需多少分钟完成?10.一批零件，甲独做3小时完成，乙独做4小时完成，两队合做多少小时完成?11.甲、乙、丙三人合买一艘游艇，甲付的钱是其余两人的一半，乙付的钱是其余两人的，丙付的钱正好是5000元，一艘游艇多少钱?12.阅览室看书的同学中，女同学占，有5名女同学离开，这时看书的同学中，女同学占。原来阅览室里一共有多少名同学?13.数学兴趣小组，上学期男同学占，这学期增加了18名女生后，男生就只占了，这个小组现在有女生多少人?14.书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占，后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总数的，现在两种书各有多少包?15.有一

31、块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公顷。那么这块稻田有多少公顷?16.张师傅四天做完一批零件，第一天和第二天共做了54个，第二、第三、第四天共做了90个，已知第二天做的个数占这批零件的。这批零件一共多少个?五、比的应用【思维训练】例1.一杯盐水200克，其中盐与水的比是1：24，如果再放入4克盐，那么这时盐与水的比是多少?思路点拨先求出原来的盐与水的重量，再求出现在盐与水的比。完全解答：试一试1.有三个三角形甲、乙、丙，它们高之比依次是1：2：3，高所对应的底之比是6：9：4。已知三角形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个

32、三角的面积之和是多少平方厘米?2.一种什锦糖是由奶糖、水果糖和酥糖按3：5：2混合成的，要配制这样的什锦糖500千克需要奶糖、水果糖和酥糖各多少千克?例2.小军走的路程比小红多,而小红行走的时间却比小军多，求小军与小红的速度比。思路点拨像这样的总是，同学们可以先整理数量天系再来解答。路程时间速度小军1 1 11=1小红 1111 = 小军和小红的速度比是1： =11：8答.小军和小红的速度比是11：8。试一试1.李师傅生产一批零件，不合格的零件个数与合格零件个数的比是1：19，后来又从合格零件中挑出2个不合格的，这时合格率为94，这批零件一共有多少个?2.小明与小亮同住一幢楼，他们同时出发骑车

33、去郊外李老师家，又同时到达李老师家，但途中小明休息的时间是小亮骑车的时问的，而小亮休息时间是小明骑车的，小明和小亮骑车速度的比是多少?例3.两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3：1，而另一个瓶子中酒精与水的体积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，求混合液中洒糖与水的体积之比是多少?思路点拨这类问题可以把酒精瓶了的容量看做“1”或者设具体量(假设一个4和5的公倍数的数)来解答。完全解答：试一试1.一袋糖果平均分给兄弟两个吃，哥哥吃完时看弟弟还没有吃完于是就拿弟弟的两个，两人同时吃完了，吃完时哥哥与弟弟吃的数量比是5：4，弟弟吃了多少个?2.甲乙两人同时从A、B两地同时出发相向

34、而行，3分钟后，两个所行的路程比恰好是5：4，这时甲离中点60米，乙离中点100米，你能知道AB两地相距多远吗?例4.一个直角三角形三条高的比是20：12：15。这个三角形的周长是36厘米，三条边的长度分别是多少厘米?思路点拨本题知道三角形的周长，求三条边的长度，但不知道三条边的比是多少，它可以根据三条高的比求得。(在三角形中，底之比等于高之比的倒数比)三条高的比是20：12：15三条底的比是：=3：5：436(3+5+4)=3(厘米)33=9(厘米) 35=15(厘米) 34=12(厘米)答：三条边的长度分别是9厘米，15厘米，12厘米。试一试1.建筑工地运来水泥、黄沙、石子各4.8吨，按2

35、：3：5拌制成一种混凝土，如果要把黄沙全部用完，石子还少多少吨?2.图书馆进三种书，其中工具书140本，科技书与其他两种书的比是1：3，文艺书与其他的两种书的比是1：5。购进的三种书共多少本?想想做做1.东海小学新建教学楼，需将水泥、黄沙、石子按照2：3：5搅拌成混凝土。现在已备有黄沙6吨，还需准备水泥和石子各多少吨?2.两地相距280千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇。已知甲、乙两车速度比是4：3，相遇时两车速度各是多少千米?3.一个平行四边形与一个三角形，它们底边长的比是1：2，高的比是1：2，它们的面积比是多少?4.某厂第一车间人数的相当于第二车间人数的。已经第一车间有

36、320人，第二车间有多少人?5.六一班和六二班订少年科学的人数比是3：4，两个班共订了49份，两个班各订了多少份?6.甲乙两数的平均数是25，两数之比为2：3。求甲数与乙数各是多少?练习五1.用48厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形长和宽的比是5：3，它的面积是多少平方厘米?2.一个长方体的棱长之和是104厘米，长、宽、高的比是6：5：2，长、宽、高各是多少？3.学生人数在40到50之间，男生人数和女生人数的比是5：6，这个班的男生和女生各有多少人?4.甲、乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽之比是3：2，乙的长与宽之比是7：5，求甲与乙的面积之比。5.育英小学六年级学生分三批去参观科技

37、馆。第一批和第二批的人数比是5：4，第二批与第三批的比是3：2，已知第一批比第二批人数的总和少15人。求六年级参观的有多少人?6.小明读一本故事书，已读的页数和未读的页数之比是1：5，如果再读30页，则已经读的和未读的页数比是3：5，这本书一共有多少页?7.甲、乙两桶油共130千克，从甲桶倒出给乙桶后，甲桶与乙桶油的比是7：6，原来甲、乙两桶各有油多少千克?8.一个容器内已注满水。现有大中小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第一次的2.5倍。求三个球的体积之比

38、。9.某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14：11，会员分成三个组，甲组人数与乙丙两组人数之和一样多，各组男会员与女会员人数之比是甲：12：13、乙：5：3、丙：2：1，那么丙组有多少名男会员?10.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3。某人走这三段路所用的时间比依次是4：5：6。已知他上坡速度是每小时3千米，路程全长是50千米，问此人走完全程用了多少小时?六、分数的简便计算（一）巧用运算定律和性质思维训练例1、125 +2.6+0.625125+ 思路点拨这道题在熟练地进行分数、小数互化基础上利用了乘法分配律和加法结合律，是简便计算中常用的方法。原式

39、=125 + 125+(2.6+ )=125( + ) +3=125+3=128试一试3.644 +4.360.25例2、 46思路点拨以下两种方法分别对两个乘数进行变形之后，都利用乘法分配律使计算简便。方法一： 46=(1- )46=46-1=44方法二： 46=(45+1)=44+ =44试一试87方法一：方法二：例3、5417思路点拨运用拆分的方法，把被除数54分成一个17的倍数与另一个较小的数相加，然后分别除以17，如果把除以17改写成乘以，等于运用了乘法分配律。原式=(51+3)17=5117+ 17=3试一试16641例4、20082008思路点拨 题中的2008是除数，不能拆开，

40、但把它化成假分数时，分子可以不算出来，用两个数相乘的算式表示，这样便于约分和计算。括号里可以拆项分别相除进行简算，与原算式的结果互为倒数，所以最后需要还原。方法一：原式=2008=2008=2008=方法二：原式=1(20082008)=1(20082008+2008)=11=试一试19981998例5、91 + 95=91 + 91 + 4试一试325 +37.96想想做做14 + 341 +51 +6111( - )12(二)约分法【知识概述】本节所述题型，除了要牢记运算定律和性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数进行重新变形但不变值，从而可以通过约分简化运

41、算，这样不仅可以算得快，还不容易出错。【思维训练】例6.将分子与分母改写成两数相乘的形式，通过约分使计算简便。完全解答：试一试例7、(9 +7)( + )思路点拨题中前一括号中的每个数与后一括号中所对应的数都可以约分，使计算简便。原式=( + )( +)试一试(96 +36)(32 +12)例8、(4.8114.5)(330.80.9)思路点拨改写成分式后直接约分，使计算简便。原式=10试一试(8.5658.1)(345.22.7)例9、思路点拨本题中的分子和分母没有公有的因式可以直接约分，通过观察分子分母中数的特征，可以将分了变得和分母一样，也可以将分母变得和分子一样。原式=1试一试例10、

42、(1- )(1- )(1- )(1- )计算本题时，可以先把每个括号中的结果先计算出来，会发现前一个分数的分母和后一个分数的分子可以约分，这样结果的分子和分母就是第一个和最后一个分数的分子和分母。原式=试一试(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )想想做做( +1 + ) ( + + ) - (三)拆项法知识概述将一个分式按一定的规律拆分后，往往可以将一些复杂的运算转化成简便运算。拆分的方法如下： - = = (b-a)(ab且ab不为0) = (a不为0)思维训练例11、 + + + 思路点拨本题直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。原式=1- + + + =1- =试

43、一试1 + +- 例12、 + + + 思路点拨本题分母中两个因数相差3，所以是分数的拆分和乘法分配律的综合应用。原式=( ) +( - ) +( - ) =( - + + ) =( ) =试一试 + + + 例13、 + + + + 思路点拨该题与前两题不同，它的规律是前一个分数的大小是后一个分数的2倍，所以在拆项时，只要把每个分数转化成前一个分数减去本身的差就可以。原式=(1- )+( )+( - )+( )+( - )=1- + + - + + - =1- =试一试 + + + + 想想做做1 + 1 +1 +1 +11- + + + 1 +2 +3 +4 +5（四）其它思维训练例14、

44、 + 1思路点拨利用分数乘法的计算法则，掉换两个乘数的分子，使题目符合使用乘法分配律。原式= + (尝试自己完成)试一试29 +114例15、( + + + )( + + + )-( + + + + )( + + )思路点拨在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。设 + + + 为A， + + 为B，然后利用乘法分配律进行简算。原式=A(B+ )-(A+ ) B=AB+ A-AB- B=(A-B)=( + + + )-( + + )=试一试(1+ + + ) ( + + )-(1+ + + ) ( + )想想做做139 -13

45、7练习六计算下面各题，能简便计算的要用简便方法计算。45 3.631 +3.146448.751.01-48.751- 6.720.125+9.288 + - + + 12( ) 2 7 3.125+ 2(4.5114.8) (330.80.9)8.8(1+25%) 1-(75%+ ) + + + 7521192 397( + ) 921+131 - + - 98+ 48(2 - + )13613532 -(2 + 4)-63 + 6 + 431820063 + + + + + + - + - +14 + +341 + +514+6325%+0.2536.549+51 + + 36( - )

46、(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )1.25+ 125%- 24( + - )( + - )248( + )27+ 【知识链接】运算定律与简便计算数学知识大串联加数交换和不变，因数交换积不变，加法乘法交换律，计算符号莫混乱，此种方法可验算，注意格式和得数。先前两或先后两，和积不变结合律。只换位置无括号，加法乘法交换律，只添括号位不变，加法乘法结合律，既换位置又括号，两个定律都用了。乘法三对好朋友，交换结合常思念。一题出现两括号，少些步骤同时算。乘法还有分配律，特点规律弄分明。两数之和乘一数，分开相乘再相加，括号中间有加号，分开相乘也有加。分开相乘能口算，用此方法真方便，分开相乘不简便，何必

47、费咱纸笔砚。乘法分配可反用，两端相乘一数同，同样要求能口算，不同之和乘相同，求和再乘不简便，少走弯路原法算。乘法分配有技巧，做题反思得经验。不管怎样来简算，得数绝对不能变，否则肯定有问题，赶紧查找错根源。减法也有其性质，连减可以减去和，尾数相同可先减，减和也能变连减。除法同样有性质，连除也可除以积，除以积也可连除，前提必须能简算。定律性质有规律，掌握规律真方便，按照规律不简便，仍照原来方法算。解决问题先读题，算式算法不相干，算式一定最合理，怎样简单怎样算。一题多解动脑想，理出步骤一二三，分步解答也可以，但是不如综合算，解答之后要检验，没有问题再答案。七、解决问题的策略【知识概述】1、用替换的策

48、略解决问题可以分为几种类型：一个量比另一个量多(少)多少；一个量是另一个量的几倍(整数倍)：一个量是另一个量的几分之几(分数)；以图或形的方式呈现的题目，如例3。2、在分清量与量的关系的基础上去完成替换，先求出一个量再根据关系去求出第二个量。特别是第三种情况容易颠倒位置，造成错误，而第4种类型则要正确地理解题意。用假设的方法去解题，最关键的地方在于要学会把两种情况看作一种情况去对待，当作一种情况去处理，这样一来就会出现一个与实际情况不相符的结果。接下来最重要的事情就是理解清楚为什么会出现这种差别，理解用差量去除以假设量与现实量的差，就可以得出假设量有多少。当然，用方程的方法去解假设问题也是一种

49、很好的方法。【思维训练】例1.梨化庄小学有3块面积相等的花圃和3块而积相等的苗圃，一共是480平方水。每块花圃比每块苗圃大10平方米，每块花圃和每块苗圃各是多少平方米?思路点拨根据每块花圃比每块苗圃大10平方米的关系，可以把3块花圃替换成3块苗圃，再从总面积里减去30平方米的面积。就可以得出6块苗圃的面积是450平方米，就可以求出每块苗圃的面积，这样一来，花圃的面积就可以求出。完全解答：思考：你能用和差问题的方法来解答吗?试一试1.小明买了4本大笔记和3本小笔记，一共花了9元钱，已知一本大笔记比小笔记贵0.5元，求大笔记和小笔记各几元一本?2.淮师一附小师生一行31人去楚秀园游玩，正好租用了3

50、只大船和2只小船正好满座。已知一个只船比小船从坐2人，求每只大船、小船各可以坐几人?例2.把650毫升牛奶倒入3个大杯和2个小杯刚好倒满，已知2个大杯的容量正好等于3个小杯的容量，求：大杯和小杯的容量是多少?思路点拨根据大小杯的容量的关系，可以把3个大杯替换成4.5个小杯，这样一来就是6.5个小杯共装了650毫升的牛奶，在求出小杯的容量是100毫升后很容易就可以求出大杯的容量是150毫升。当然，此题亦可以把小杯替换成大杯。完全解答：方法一： 方法二：试一试1.33个乒乓球正好可以分装在2个大盒和5个小盒里，已知小盒能装大盒的三分之一，求每个大盒、每个小盒分别能装多少个?2.苹果和枯子共花了23

51、元，苹果7千克，桔子3千克。2千克桔子等于3千克苹果的钱。问桔子单价几元?例3.看图填空=+ =12=( ) =( )思路点拨此题最大的不同在于没有语言的表述，可以把替换成3个的和，但要想到是(+)的形式，也就是3个的平方的和是12，这样就可以推断出=2。完全解答：例4.小明家养鸡和兔一共有35只。这些鸡和兔一共有100条腿。小明家养鸡和兔各有多少只?思路点拨本题是典型的鸡兔同笼问题，应用假没法解题是很好的方法，可以先假设这35只都是鸡，那么就会有70条腿，和实际的条数会有(100-70=30)条的差距，因为实际上这35只不全是鸡，有一部分兔予被你看成了鸡，所以，有一只兔子被你看成鸡就会少算2

52、条腿，一共少算了30条腿，故有15只兔子。当然也可以全部假设成兔。完全解答：方法一： 方法二：1.有1元和5角的硬币一共40枚，有33元。1元和5角的硬币各有多少枚?2.有30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分。两种硬币各有多少枚?例5.44名学生去划船，一共乘坐1O只船，其中大船坐6人，小船坐4人，问大船小船各几只?思路点拨可以假设都是大船，也可以假设都是小船。同例4一样也会出现一个和实际情况不相符的结果，这也正是理解和解决问题的关键。动手试试吧!完全解答：方法一：方法二：试一试1.12张乒乓球桌上一共有34个同学在比赛。你知道正在单打和双打的乒乓球桌各有几张吗?2.一只小松鼠采松子。晴天

53、每天可采20个，雨天每天可采12个。如果一连几天共采了112个，平均每天采14个。这几天中有几天是晴天?有几天是雨天?例6.小明参加猜谜语比赛，共答20道题，规定猜对一道得5分，错一道倒扣3分(不猜按猜错算)，小明共得60分.他猜对几题?思路点拨这道题也是一个用假设法可以解决的问题，两种情况，一种是加5分，另一种是扣3分，可以假设都答对了，那么就可以算出可以得520=100分，和60分之间有一个40分的差距，为什么会有这个差距呢?是因为20题他并非全都答对了，也有错了，被你当成正确的了，所以有一题错的就会多算8分，所以用408=5题，这就是答错的题，答对的就是15题了，你会检查一下你的答案是不

54、是正确吗?完全解答：试一试一辆汽车装运360个花瓶，每个花瓶运费5元，如果损坏一个，不但不给运费，还要赔50元。在这次运输中，司机只拿到1250元钱。他损坏了几个花瓶?想想做做1.甲、乙两人参加知识竞赛，每答对一题得20分，答错一题扣12分，两人各答了10题，共得208分，其中甲比乙多得64分。甲、乙两人各做对了几题?2.甲、乙两堆煤共有760吨，甲堆运走四分之一，乙堆运走五分之一，两堆煤共剩下592吨，甲、乙两堆煤原来各有多少吨?练习七1.王大爷家养了2头猪和10只羊。如果1头猪的质量相当于5只羊的质量，那么，这些猪和羊的总质量相当于( )只羊的质量。2.李大娘去农贸市场卖2只母鸡和6只公鸡

55、。1只母鸡的价钱是一只公鸡的。李大娘总共卖得的钱相当于( )只公鸡的钱，或者相当于( )只母鸡的钱。3.如表中所示.小王小李小张2箱香蕉3箱桃5箱香蕉5箱桃每箱香蕉比每箱桃贵10元。小李花的钱比小王多( )元，小张花的钱比小王少( )元。4.陈老师买了2千克荔枝和2千克香蕉，每千克荔枝比每千克香蕉贵5元。如果陈老师买的4千克全是荔枝，就要多花( )元；如果买的4千克都是香蕉，就要少花( )元。5.六(1)班的50位同学和孙老师、陈老师一起去参观农科园，买门票一共用去810元。(1)如果每张学生票的价钱是每张成人票的。每张学生票多少元? 每张成人票多少元?(2)如果每张学生票的价钱比每张成人票的价钱便宜15元。每张学生票多少元?每张成人票多少元?6.鸡和