复变函数与积分变换修订版-复旦大学课后的习题答案
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1、复变函数与积分变换 (修订版)主编:马柏林(复旦大学出版社) 课后习题答案 习题一1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数.解解: 解: 解: 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)R); :设z=x+iy则,解:设z=x+iy,解:,解:,解:当时,;当时,3.求下列复数的模和共轭复数解:解:解:解:4、证明:当且仅当时,z才是实数证明:若,设,则有,从而有,即y=0z=x为实数若z=x,x,则命题成立5、设z,w,证明: 证明6、设z,w,证明下列不等式并给出最后一个等式的几何解释证明:在上面第五题的证明已经证明了下面证 从而得证几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的
2、和7.将下列复数表示为指数形式或三角形式解:其中解:其中解:解:.解:解:8.计算:(1)i的三次根;(2)-1的三次根;(3) 的平方根.i的三次根解:-1的三次根解:的平方根解:9.设. 证明:证明:,即又n2 z1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解:如图所示因为=z: =0表示通过点a且方向与b同向的直线,要使得直线在a处与圆相切,则CA过C作直线平行,则有BCD=,ACB=90故-=90所以在处切于圆周T的关于的充要条件是-=9012.指出下列各式中点z所确定的平面图形,并作出草图.解:(1)、argz=表示负实轴(2)、|z-1|=|z|表示直线z=
3、(3)、1|z+i|Imz解:表示直线y=x的右下半平面5、Imz1,且|z|2解:表示圆盘内的一弓形域。习题二1. 求映射下圆周的像.解:设则 因为,所以所以 , 所以即,表示椭圆.2. 在映射下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设或. (1); (2); (3) x=a, y=b.(a, b为实数)解:设所以(1) 记,则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即(2) 记,则映成了w平面上扇形域,即(3) 记,则将直线x=a映成了即是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y=b映成了 即是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限. (1) ;解:令,则.于是.(2) ;
4、解:设z=x+yi,则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.(3) ;解:=.(4) .解:因为所以.4. 讨论下列函数的连续性:(1) 解:因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续.(2) 解:因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导?并求其导数.(1) (n为正整数);解:因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导.(2) .解:因为f(z)为有理函数,所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解:f(z)除外处处可导,且.(4)
5、.解:因为.所以f(z)除z=0外处处可导,且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;解:在全平面上可微.所以要使得, , 只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(2) .解:在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(3) ;解:在全平面上可微.所以只有当时,才满足C-R方程.从而f(z)在处可导,在全平面不解析.(4) .解:设,则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导,处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明:因为,所以,.所以u,v为
6、常数,于是f(z)为常数.(2) 解析.证明:设在D内解析,则而f(z)为解析函数,所以所以即从而v为常数,u为常数,即f(z)为常数.(3) Ref(z)=常数.证明:因为Ref(z)为常数,即u=C1, 因为f(z)解析,C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4) Imf(z)=常数.证明:与(3)类似,由v=C1得因为f(z)解析,由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明:因为|f(z)|=C,对C进行讨论.若C=0,则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0,则f(z) 0,但,即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数,有利用C-R
7、条件,由于f(z)在D内解析,有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明:argf(z)=常数,即,于是得 C-R条件 解得,即u,v为常数,于是f(z)为常数.8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析,求m,n,l的值.解:因为f(z)解析,从而满足C-R条件.所以.9. 试证下列函数在z平面上解析,并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明:u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程,处处可导,处处解析.(2) .证明:
8、处处可微,且所以, 所以f(z)处处可导,处处解析.10. 设求证:(1) f(z)在z=0处连续(2)f(z)在z=0处满足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在证明.(1)而同理f(z)在z=0处连续(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时,z=iy,有当z沿实轴趋向于零时,z=x,有它们分别为满足C-R条件(3)当z沿y=x趋向于零时,有不存在即f(z)在z=0处不可导11. 设区域D位于上半平面,D1是D关于x轴的对称区域,若f(z)在区域D内解析,求证在区域D1内解析证明:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D内解析所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程
9、,即,得故(x,y),(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13. 计算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 设z沿通过原点的放射线趋于点,试讨论f(z)=z+ez的极限解:令z=rei,对于,z时,r故所以 15. 计算下列各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性解:显然g(z)=|z|在复平面上连续,lnz除负实轴及原点外处处连续设z=x+iy,在复平面内可微故g(z)=|z|在复平面上处处不可导从而f(x)=|z|+lnz
10、在复平面上处处不可导f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续17. 计算下列各值(1) (2)(3)18. 计算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2解:(2)解:即(3)解:即(4)解:20. 若z=x+iy,求证(1) sinz=sinxchy+icosxshy证明:(2)cosz=cosxchy-isinxshy证明:(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明:(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明:21. 证明当y时,|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大证明:而当y+时,e-y0,ey+有|sinz|当y
11、-时,e-y+,ey0有|sinz|同理得所以当y时有|cosz|习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分,其中积分路径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2,从点0到点1+i的弧段.解 (1)设. (2)设. 3. 计算积分,其中积分路径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周,从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周,从点-i到点i.解 (1)设. (2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域内解析从而故7. 计算积分,其中积分
12、路径为(1) (2) (3) (4)解:(1)在所围的区域内,只有一个奇点.(2)在所围的区域内包含三个奇点.故(3)在所围的区域内包含一个奇点,故(4)在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 计算积分,其中为(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的
13、正向圆周解:(1) 内包含了奇点(2) 内包含了奇点,19. 验证下列函数为调和函数.解(1) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. ,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明: ,从而是调和函数. ,从而是调和函数.但 不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1) (2)解 (1)因为 所以 令y=0,上式变为从而(2) 用线积分法,取(x0,y0)为(1,0),有由,得C=023.设,其中各不相同,闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的
14、零点的个数.证明: 不妨设闭路C内的零点的个数为k, 其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析,且,则其中G为C所围内部区域.证明:在D内任取一点Z,并取充分大的R,作圆CR: ,将C与Z包含在内则f(z)在以C及为边界的区域内解析,依柯西积分公式,有因为 在上解析,且所以,当Z在C外部时,有即设Z在C内,则f(z)=0,即故有:习题四1. 复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定反例: 发散但收敛发散收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1)
15、 因为发散,所以发散(2)发散 又因为所以发散(3) 发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4) 因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时, 级数化为收敛当n=2k+1时, 级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5) 其中 发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时, 所以收敛而收敛,收敛所以收敛,从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解 因为部分和,所以,不存在.当而时(即),cosn和sinn都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解: 设,则当时,级数收敛,时发散.若
16、在z=0处收敛,则若在z=3处发散, 则显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。解: 因为所以 8.证明:若幂级数的 系数满足,则(1)当时, (2) 当时, (3) 当时, 证明:考虑正项级数由于,若,由正项级数的根值判别法知,当,即,收敛。当,即,不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时
17、, ,级数收敛且.若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且9.求下列级数的收敛半径,并写出收敛圆周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收敛圆周(2) 所以收敛圆周(3) 记 由比值法,有要级数收敛,则级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周(4) 记 所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1) (2) 解: (1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质,有:所以于是有:(2) 令:故R=, 由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有:,A, B待定。所以 11.设级数收敛,而发散,证明的收敛半径为1证明:因为级数收敛设若的收敛半径为1则现用反证法证明若则,有,即收敛,与条
18、件矛盾。若则,从而在单位圆上等于,是收敛的,这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知,必有,所以12.若在点处发散,证明级数对于所有满足点都发散.证明:不妨设当时,在处收敛则对,绝对收敛,则在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是,有展开式14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)解:为的奇点,所以收敛半径又于是,在处的泰勒级数为 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数,并指出其收敛性.(1) 分别在和处 (2) 在处(3) 在处 (4) 在处 (5) 在处 解 (1)(2) (3) (4) (5)因为从
19、沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=116.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时,展开式的系数都是实数?答:因为当取实数值时,与的泰勒级数展开式是完全一致的,而在内,的展开式系数都是实数。所以在内,的幂级数展开式的系数是实数.17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为:19.在内将展开成罗朗级数.解:令则而在内展开式为所以,代入可得20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明: 用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为
20、和是的奇点,所以在内,的罗朗级数为其中其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22. 是函数的孤立奇点吗?为什么?解: 因为的奇点有所以在的任意去心邻域,总包括奇点,当时,z=0。从而不是的孤立奇点.23.用级数展开法指出函数在处零点的级.解:故z=0为f(z)的15级零点24.判断是否为下列函数的孤立奇点,并确定奇点的类型:;解: 是的孤立奇点因为所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25. 下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出其点: 解: (1)所以是奇点,是二级极点.解: (2) 是奇点,是一级极点,0是二级极点.解: (3) 是的二级零点而是的一级零点, 是的一级零点所以是的二级极
21、点, 是的一级极点.26. 判定下列各函数的什么奇点? 解: (1)当时, 所以, 是的可去奇点.(2)因为所以, 是的本性奇点.(3) 当时, 所以, 是的可去奇点.27. 函数在处有一个二级极点,但根据下面罗朗展开式:.我们得到“又是的本性奇点”,这两个结果哪一个是正确的?为什么?解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在内的罗朗展开式为28.如果C为正向圆周,求积分的值(1) (2)解:(1)先将展开为罗朗级数,得而 =3在内,,故(2)在内处处解析,罗朗展开式为而=3在内,,故习题五1. 求下列函数的留数(1)在z=0处解:在0|z|+的罗朗
22、展开式为(2)在z=1处解:在0| 1解:令 令z=ei,则得(3),a0,b0解:令,被积函数R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib故(4). ,a0解:令,则z=ai分别为R(z)的二级极点故(5) ,0,b0解:而考知,则R(z)在上半平面有z=bi一个二级极点从而(6) ,a0解:令,在上半平面有z=ai一个一级极点7. 计算下列积分(1)解:令,则R(z)在实轴上有孤立奇点z=0,作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr,使CR,-R, -r, Cr,r, R构成封闭曲线,此时闭曲线内只有一个奇点i,于是:而故:(2),其中T为直线Rez=c, c0, 0a1解:在直线z=c+iy
23、 (- y 0. 0Im(z)0, 0y0. Im(w)0. 若w=u+iv, 则因为0y0, 0Im(z)0,Im(w)0, (以(,0)为圆心、为半径的圆)3. 求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角,问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向?并作图.解:因为=2z,所以(i)=2i, |=2, 旋转角arg=.于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1,且方向垂直向上的向量.如图所示.4. 一个解析函数,所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性?映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗?答:一个解析函数所构成的映射在导数不为
24、零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零,所以在z=0处不具备这个性质.5. 求将区域0x0.解:(1) Re(z)=0是虚轴,即z=iy代入得.写成参数方程为, , .消去y得,像曲线方程为单位圆,即u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圆围,令.代入得化为参数方程. 消去得,像曲线方程为一阿波罗斯圆.即 (3) 当Im(z)0时,即,令w=u+iv得.即v0,故Im(z)0的像为Im(w)0.9. 求出一个将右半平面Re(z)0映射成单位圆|w|0,映射成|w|0, 映为单位圆|w|0).(1) 由f(i)=0得=i,又由arg,即,,得,所以.(2) 由f(1)=
25、1,得k=;由f(i)= ,得k=联立解得.12. 求将|z|1映射成|w|1的分式线性变换w=f(z),并满足条件:(1) f()=0, f(-1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解:将单位圆|z|1映成单位圆|w|1的分式线性映射,为 , |1.(1) 由f()=0,知.又由f(-1)=1,知.故.(2) 由f()=0,知,又,于是 .(3) 先求,使z=a,,且|z|1映成|1.则可知 再求w=g(),使=0w=a, ,且|1映成|w|1.先求其反函数,它使|w|1映为|1,w=a映为=0,且,则 .因此,所求w由等式给出.13. 求将顶点在0,1,i的三角形
26、式的内部映射为顶点依次为0,2,1+i的三角形的内部的分式线性映射.解:直接用交比不变性公式即可求得=.=.14. 求出将圆环域2|z|5映射为圆环域4|w|2映为|w|10.又w=f(z)将|z|=5映为|w|=4,将z=2映为w=-10,所以将|z|4,由此确认,此函数合乎要求.15.映射将z平面上的曲线映射到w平面上的什么曲线?解:略.16. 映射w=ez将下列区域映为什么图形.(1) 直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2) 带形区域;(3) 半带形区域.解:(1) 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,则z=x+iC2故将直线Re(z)映成
27、圆周;直线Im(z)=C2映为射线.(2) 令z=x+iy,,则故将带形区域映为的张角为的角形区域.(3) 令z=x+iy,x0,0y0,0Im(z)1, ().17. 求将单位圆的外部|z|1保形映射为全平面除去线段-1Re(w)1映为|w1|1,再用分式线性映射.将|w1|0, 然后用幂函数映为有割痕为正实轴的全平面,最后用分式线性映射将区域映为有割痕-1,1的全平面.故.18. 求出将割去负实轴,Im(z)=0的带形区域映射为半带形区域,Re(w)0的映射.解:用将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0;再用将半平面映为有割痕(-,-1的单位圆外域;又用将区域映为去上半单位圆内
28、部的上半平面;再用将区域映为半带形0Im(w4)0;最后用映为所求区域,故.19. 求将Im(z)1去掉单位圆|z|0的映射.解:略.20. 映射将半带形区域0Re(z)0保形映射为平面上的什么区域.解:因为 可以分解为w1=iz ,由于在所给区域单叶解析,所以(1) w1=iz将半带域旋转,映为0Im(w1),Re(w1)0.(2) 将区域映为单位圆的上半圆内部|w2|0.(3) 将区域映为下半平面Im(w)0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明:10.设,证明:以及证明:同理:11.设计算.解:当时,若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数,求下列
29、函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1), (2), (3)(4), (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函数的拉普拉斯变换.(1) (2)解: (1) (2) 3.设函数,其中函数为阶跃函数, 求的拉普拉斯变换.解: 4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解:5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1) (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)6.记,对常数,若,证明证明: 7 记,证明:证明:当n=1时,所以,当n=1时, 显然成立。假设,当n=k-1时, 有现证当n=k时8. 记,
30、如果a为常数,证明:证明:设,由定义9. 记,证明:,即证明:10.计算下列函数的卷积(1) (2) (3) (4) (5) (6 解:(1) (2) (3) (4)(5) (6)11.设函数f, g, h均满足当t0时恒为零,证明以及证明:12.利用卷积定理证明证明:设,则,则,所以13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解:(1)(2)(3故(4)因为所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷积定理证明证明:又因为所以,根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明:因为所以,根据卷积定理有16. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1) (2) (3)(4)解:(
31、1) 故(2):(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)设方程两边取拉氏变换,得为Y(s)的三个一级极点,则(2) 方程两边同时取拉氏变换,得(3)方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知,若Lf(t)=F(s),则即因为所以故有(4)方程两边取拉氏变换,设Ly(t)=Y(s),得故(5)设Ly(t)=Y(s),则方程两边取拉氏变换,得故18.求下列微分方程组的解(1) (2) 解:(1) 设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得(2)代入(1),得(3)代入(1),得(2)设 方程两边取拉氏变换,得(3)代入(1):所以故19.求下列方程的解(1) (2) 解:(1)设Lx(t)=X(s), 方程两边取拉氏变换,得(2)设Ly(t)=Y(s), 方程两边取拉氏变换,得
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