排列组合难题二十一种方法

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1、排列组合难题二十一种方法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共

2、有 C31然后排首位共有 C41131C4A 4C3最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22480 种不同的排法甲乙丙丁练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪

3、连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少种解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A55 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 46 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有A55 A 46种练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四 . 定序问题倍缩空位插入策略例人

4、排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：A77 / A33( 空位法 ) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A 47 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有A47 种方法。思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗（插入法 ) 先排甲乙丙三个人, 共有1 种排法 , 再把其余4 四人依次插入共有方法练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法

5、.C105五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有 76 种不同的排法练习题：1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法 78六. 环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的

6、不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A 44 并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有（ 8-1 ）！种排法即 7 ！CDBEAABCDEFGHAFHG练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈. 120七. 多排问题直排策略例人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有 A 24 种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A55种, 则共有 A24A14A55 种前排后排练习题：有两排座位，

7、前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是346八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法.解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法 . 再把 4 个元素 ( 包含一个复合元素 ) 装入 4 个不同的盒内有 A 44 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52 A 44练习题：一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 , 每人完成一种任务 ,

8、 且正副班长有且只有 1 人参加 , 则不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个解：把 , , , 当作一个小集团与排队共有A22 种排法，再排小集团内部共有22种排法，由分步计数原理共有22215243A2 A2A 2A2A2种排法 .练习题：. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 ,排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22 A55 A442. 5 男生和女生站成一

9、排照像 , 男生相邻 , 女生也相邻的排法有 A 22 A 55 A 55 种十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96 种分法。一二三四五六七班班班班班班班练习题：个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法C942. x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数C1033十一 . 正难则反总体淘汰策略例 11. 从 0,1,2,3,4,5,

10、6,7,8,9这十个数字中取出三个数， 使其和为不小于 10 的偶数 ,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C53 , 只含有 1 个偶数的取法有 C15C52 , 和为偶数的取法共有 C51C52 C53 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有 C15C52 C53 9练习题：我们班里有 43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二 . 平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均分成3

11、 堆, 每堆 2 本共有多少分法解 :分三步取书得C62C42C22 种方法 , 但这里出现重复计数的现象, 不妨记6 本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则C62 C42C22 中还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A33 种取法 , 而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法 , 故共有 C62C42C 22 / A 33 种分法。练习题：1. 将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队 , 有多少分法（ C1

12、35C84C 44 / A 22 ）名学生分成 3 组, 其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 , 有多少种不同的分组方法 （1540）3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_（ C42 C22 A 26 / A2290 ）十三 .合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准

13、进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C51C31C42 种, 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种，由分类计数原理共有C32C32C51C31C42C52C52 种。练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有342. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船 , 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 .

14、 （27）本题还有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四 . 构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满足条件的关灯方法有多少种解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C53 种练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种（ 120）十五

15、 . 实际操作穷举策略例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 , 有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法， 如果剩下 3,4,5 号球 , 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数原理有 2C52 种5343号盒4号盒5号盒练习题：1. 同一寝室 4 人, 每

16、人写一张贺年卡集中起来 , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 (9)2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 则不同的着色方法有 72种13245十六 .分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030 分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113 依题意可知偶因数必先取2, 再从其余5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C51C52C53C54C55练习 : 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C84 1258

17、 , 每个四面体有3 对异面直线 , 正方体中的 8 个顶点可连成 3 58174 对异面直线十七 . 化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵 , 现从中选 3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多少种解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵 , 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后 , 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去 . 从 33 方队中选 3 人的方法有 C31C21C11 种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题 . 从 55 方队中选取 3 行 3

18、列有 C53C53 选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有 C53C53 C31C12C11 选法。练习题 : 某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B 的最短路径有多少种 ( C7335 )BA十八 . 数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数解: N 2A552 A44A33A22A11297练习 : 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来 , 第 71 个数是 3140十九 . 树图策略例 193 人相互传球 , 由甲

19、开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 _ N 10练习 :分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中i 号人不坐 i 号椅（ i1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少种N44二十 . 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只, 分别标有 A、B、C、D、E 五个字母 , 现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法解:红111223黄123121兰321211取法C51C41C51C42C51C43C52C31C52 C32C53C21二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解 .例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得75种.