因式分解讲义(十字相乘、分组分解)

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1、因式分解十字相乘法与分组分解法【学习要求】1. 理解十字相乘法与分组分解法；2. 会运用十字相乘法与分组分解法分解因式。【知识内容】1. 十字相乘法分解因式：(1) 首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即x a x b =x2 亠 ja bx ab将上式反过来，2erex 亠 iab x ab = x a x b得到了因式分解的一种方法一一十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定2上式中的a和b,例如，为了分解因式 x px q，就需要找到满足下列条件的a、b；a 亠 b = pab = q(2 )二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax2 bx c中

2、，当a =1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳. - 2为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2x -7x - 6 ,首先要把二次项系数 2分成1X 2,常数项6分成一2占，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。:X：右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1 _3 2 -2 = -7，正好是一次项系数，从而得2x -八-2 2x-3。(3)含有两个字母的二次三项式的因式分解2 2如果是形如2a b -7ab 6的形式，则把ab看作一个整体，相当于 x,如果是形如2丄22丄22x y 6y，则先写成2x 一 x 6y，把y看作已知数，写成十字相乘的形式2 2 . .所以2x 一 7xy

3、6y hx_2y 2x3y，即右边十字上都要带上字母y，分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。2. 分组分解法分解因式：我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式 法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最 后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项 式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多 项式转化为可以应用基本方法

4、分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当 地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组 的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分 组的技巧。【典型例题】1 x2 +4 x +7例1.分解因式： 33分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。4x 7解:4x -21：x;72 2例2.分解因式：x 29 xy 100 y分析：含两个字

5、母的二次三项式,把其中一个字母如y看成是常数。2 2解：x 亠 29 xy 亠 100 y2=x 29 y 2x 100 y=x 4y x25 y例3.分解因式:23x -11x101 X 3,常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且其中符合对角两数之积的和为-11的只有第三个。分析：首项系数为3应分解为应与一次项系数 -11的符号相同，用十字相乘法尝试如下:-13 101. -103-13 ( -1) 1( -10 ) = -131 ( -1)3 ( _10) = -311 . -23-51 -53-21( -5)3(-2-111(2) 3(5) = -172刁解:3x -11x10 =

6、x -2 3x -5._ 2例4.因式分解：x 6x - 7分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当 的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一2 2x 6x7=x 6x9972=ix3-16=x34 x3 - 4=X7X方法二：2x ，6x 7 = x ： 7 x 1小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1 （如果二次项系数不是 1,则提取这个系数，使二次项系数转化为1 ）;其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一

7、半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次 三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例5.分解因式：2 .（1）2 x 2xy-3x-3y2 2（2）a b 4a4b2 2 2（3）4x - 9y -24yz-16z32（4）x x x 亠 1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式 -3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式 x y，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。解（一）：2x2 2xy - 3x - 3y. 2=2x2xy j i3x 3y= 2xx y - 3 x y二 x y 2x -3解（二）：2/ -

8、 2xy3x3y2=2x 3x 亠2xy3y二x 2x -3i 亠 y 2x -3=2 x - 3 x y说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:1和2: （-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。（2）分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即2 2a 4a = a a 4，含有 b 的项一组即b -4b =_b b 4，那 a a 4 与-b b 4 再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2 _b2 组应用平方差公式，再提出因式。”22解: a b 4a - 4b2 2=a b 亠4a4b= a、b a

9、- bi 亠 4a - b= a- b a 亠b 亠 42 2（3） 若将此题应用（2）题方法分组将 4x -9y 组应用平方差公式，或者将4x2 -16z2 组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。2 2 2解：4x - 9y - 24 yz - 16z22 口“2=4x - 9y 24 yz 16 z2 2=2x i：3y 4z=2x 3y 4z 2x - 3y - 4z（4）分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。32法（一）： x x x 1f 32、=x - x -

10、 x - 1 I=乂2乂_1_X_1=x -1 x2 -1hx -1 x 1 x -12=x 1 x -13 2法（二）：原式二 X -X - x - 12=X 1 X -1说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启 示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两 项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因 式可提，如例5（ 1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之 间的公因式。如例 5的（2）题、（4）题。若分组后

11、可应用公式还可将四项式中进行三项 和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5中的（3）题。2 2 2 2例6.分解因式:ab c - d K cd a b分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。2 2 . 2 2解:ab c d 亠 cd a b2 2 2 2=abc abd a cd b cd2922=abc 亠 a cd j 亠abd 亠 b cd=ac be 亠 ad i 亠 bd ad 亠 bc=be ad ac bd例 7已知 4x +4xy +y 4x2y+1=0，求证：2x +3xy+y xy=分析：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式

12、分解因式。若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，可知2x23xy .y2-x_y二x y 2x 1，若x y或2x 1为零，则原多项式的值为零。为达此目的，就要从条件入手。证明：因为 4 / 4xy y2-4x-2y1=0，所以222x y -10所以2x y 02 2又因为 2x 3xy y 一 x 一 y hx y 2x y 一 1而2x y _1 =02 2所以 2x 3xy y -x-y=02 2例8.已知3x -4xy -7y T3x-37y能分解成两个一次因式的乘积，求m的值。并将此多项式分解因式。分析：根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的

13、两个因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为3x -7y x y ，于是可设原多项式分解为3x -7y a x y b，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。2 2解: 设 3x 4xy 7y 亠 13x37y 亠m-丨 3x -7y i 亠 a .1 丨 x y i 亠 b .122=3x - 4 xy - 7y 亠a 亠 3b x 亠a -7b y 亠 ab3 + 3b =13a 7b = 37对应项系数相等，所以Fb =m由 解得：a-2，b = 5将 a = -2， b = 5代入 ，得：m - -102 2 ,所以 3x 4xy 7 y 1337 y m2 2=3

14、x 4xy 7y 13x 37y 10=3x -7y a x y b= 3x7y-2 x y 52 2例9.已知x_3y_1+x +4y =4xy，求x与y的值。分析：在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件 F又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负数，即卩x -3y -1，而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。2 2解：因为 X3y+x +4y =4xy，所以2 2x_3y_1+x 4xy+4y =02即 x _3y _1 +(x _2y ) =0x 3y 1 = 0 所以x -2y解这个方程组，得：x ，y=T【

15、模拟试题】（答题时间：40分钟）选择题。1.用分组分解法分解多项式2x-mx 一 nx亠mn分组正确的是（）A (x? - mx -nx )+mnB.x2 -mx - nx 亠 mn)2C (x +mn(mx + nx)D.x2 -nx - mx - mn)2 2 1a - - b b _A.(a22-br、14丿2f21a-b-b +C.V4丿2.用分组分解法分解多项式(21j2a -(b-bB.k4丿2f2、1 1a -b+ b D.k4丿4，分组正确的是（）2 2 2 23.将多项式a b -a -b 1分解因式，其中正确的是（）A. (ab +1 (ab 1 )B.2 2a -1 b

16、-1C.D.-1 a -1 b -1 b -14.下列因式分解中，不正确的是（A.44x 16 y 2 2 t= x-2yx2yx - 4 yB.ax ay bx byC.2b - 2abD.1 -x22-2xy - y二 x y T x y15.把多项式2xy1分解因式的结果是A. x -yy xB. x y-1y xC. x y-1d. x -yx y二.填空题。1.2x - 2xy-35 y2 =X 7y2.2x2 -7x一53.y 20 y4.-3xy -i: ix y x -4y5.2 .-28y= x 7y x -4y6.2kx 5x 6二 3x -227 18 x _19x+5=

17、(9x+m(2x+ n )贝廿 m _三.分解因式。2(1) 2x -5x 3(2) 5x2 -21 x 182 2(3) a -5ab -24b2(4) x y 2 x y -244 2(5) 3x 6x -92 2(6) x 2xy y -12 2 2(7) a b a2ab 12 2 2a - b y：；C 2b - c(8) x y _z 2xy(9) a b3(10) x 5x 6四解答题。2 21已知 x -2xy -3y二5，求整数x和y的值。2.已知A =1 x 2 x - 3 x 4 x -5 - 49 （x为整数），求证：A为一个完全平方 数。（10）【试题答案】选择题。1

18、. D2. C1.填空题。3. D4. D5. A1.2 2x -2xy 35y= x 7y |X 5y22 2x _7x_15 =（x_5） （2x +3 ）3.2-1 y 20y 5y -1 4y 14.-3xy _4y2= x y x - 4y5.2 2x 3xy-28y x 7y x-4y（10）（10）26 kx +5x-6=（3x2 （2x + 3 ） k = 627 18 x -19x+5 = （9x+m2x+m）贝 y m三.分解因式。（10）（10）（1） 2x 1 x -3（10）（3） a 3b a -8b（4） xy 6 xy _42（5）3 x 3 x 1 x -1（

19、6）xy1xy-1（7）ab 1aab1 - a（8）xyzxy_z（9）ab-ca-bcx -1 x2 x 6四解答题。1.解：2 2x -2xy -3y5 (x 3y)( x y) =5又 x、y为整数x _3y =1 则有x=5或.x -3y、x y都为整数x _3y = 1x _3y =5x -3y = 5jy或x+y=1 或x+y1x = 4x - -4x 二& ，g，y y 一1y 二解: A 二x 2 x_3 x解以上方程组得:2.2-1亠 4 x - 5 亠 49. 2 . 2=x x 6 x x 20 !亠 492 2 2hx -x -26 x - x 1692 2二 x -x -13/x为整数. 2- x _x -13必为整数A是一个完全平方数（10）