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1、.椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：一两个重要结论命题 1 如图：已知 F1, F2 为椭圆x2y21(a b0)22abY的两个焦点 ,P 为椭圆上任意一点 ,则当点 P 为椭圆短轴的端点时 ,PF1 PF2 最大。P0分析：F1PF2(0, ) ，而 ycos x 在 (0,F1OF2X) 为减函数，只要求 ycosx 的最小值，又知 | PF1 |PF2|2a,| F1
2、F2 |2c ，利用余弦定理可得。证明： 如图，由已知： | PF1 |PF2|2a,| F1F2 | 2c ，所以 | PF1|PF2 | (|PF1 | |PF2 |22，（当 | PF1 | | PF2| 时取等号）)a2由余弦定理得： cos| PF1 |2| PF2 |2| F1F2 |2F1 PF22 | PF1 | PF2|(| PF1 | | PF2 |)22 | PF1 | PF2 | | F1F2 |22|PF1 |PF2 |4a24c24b212b21（当 |PF1| PF2 | 时取等号），12| PF1 |PF2 |a22 | PF1PF2 |所以当 | PF1| |
3、 PF2 |时， cos F1PF2 的值最小， 因为F1PF2(0, ) ，所以此时 F1PF2最大。即点 P 为椭圆短轴的端点时F1PF2 最大。命题 2 如图：已知 A, B 为椭圆 x2y21(ab0) 长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上a2b21 / 5.任意一点 ,则当点 Q 为椭圆短轴的端点时 ,AQB 最大。Y分析： 当 AQB 最大时，AQB 一定是钝角，Q0Q而 ytan x 在 (, ) 上是增函数，利用点Q 的坐标，AOPBX2表示出 tanAQB ，再求 tanAQB 的最大值。证明：如图，不妨设 Q( x, y)(0xa,0yb) ，则 APax, BPax, PQy，
4、所以 tanAQPax , tanBQPax ，yy2a则 tantanAQPtanBQPy2ay，AQBtan AQP tanBQPa2x2x2y211a2y2又 x2a2a2 y2 ，所以 tanAQB2a，因为1a20 ，AQB (, ) ，b2a2b22(12 ) yb所以当 yb 时， tanAQB 取得最大值， 此时AQB 最大，所以当点 Q 为椭圆短轴的端点时 ,AQB 最大。二两个结论的应用利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例 1已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使得F1PF260 ，求椭圆离心率的取值范围。分析：因为存在F1PF260 ，
5、所以只要最大角 F1P0F260 ，即12 30，即 tanF1P0O3c3e 的范围。F1P0F3，也就是3，从而求出2b解析： 由结论1知：当点 P0 为椭圆短轴的端点时,F1 P0 F2 最大，因此要最大角2 / 5.1 02，即130，即 tan F1 P0O3，也就是 c3，FPF 60F1 P0 F23b32解不等式a2cc23 ，得 e1，故椭圆的离心率e1,1) 。322例 2设 F1, F2 为椭圆x2y21的两个焦点 , P 为椭圆上任意一点， 已知 P, F1 , F294是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2 |，求 |PF1 | 的值。|PF2 |分析： 由结
6、论1 知：当点 P0 为椭圆短轴的端点时,F1 P0 F2 最大，且最大角为钝角，所以本题有两种情况：P90或F290 。解析：由已知可得， 当点 P0 为椭圆短轴的端点时,F1 P0 F2 最大且F1 P0 F2 为钝角，由结论1 知，椭圆上存在一点P ，使F1 PF2 为直角，又PF2 F1 也可为直角，所以本题有两解；由已知有|PF |PF |6,|FF |2 51212（ 1）若PF2 F1 为直角，则| PF1|2 | PF2 |2| F1F2 |2 ，所以 | PF1 |2(6| PF1 |)220 ，得|PF1|142 |4|PF1|7,| PF，故；33|PF2|2（ 2）若F
7、1 PF2 为直角，则 | F1F2 |2| PF1 |2| PF2 |2，所以20| PF1 |2(6 | PF1 |)2，得|PF1|4,| PF22 |，故| PF1|2 。|PF2 |评注： 利用最大角知道，F1PF2 可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况。例 3 已知椭圆 x2y21(ab0) ,长轴两端点为A, B ，如果椭圆上求这个椭a2b2圆的离心率的取值范围。3 / 5.分析： 由结论 2 知：当点 P0 为椭圆短轴的端点时, AP0 B 最大，因此只要最大角不小于 120即可。解析：由结论 2 知：当点 P0为椭圆短轴的端点时,AP0B 最大，因此只要
8、AP0 B120 ，则一定存在点 Q ，使 AQB 120160 ，即 APO 60，AQB2所以a3 ,得 e6a2，c23故椭圆的离心率的取值范围是e 6 ,1)。3三巩固练习：x2y21(b 0)， F1 , F2 是它的两个焦点，若椭圆上1已知焦点在 x 轴上的椭圆b24存在点 P ，使得 PF1PF20 ，求 b 的取值范围。x2y21， F1 , F2 是它的两个焦点， 点 P 为其上的动点， 当F1PF2 为2已知椭圆49钝角时，求点 P 横坐标的取值范围。答案：1解：由结论 1 知，当点 P 为椭圆短轴的端点时,F1PF2 最大，若此时 PF1PF2 0，则有： bc ，又 a2 ，所以 b2 ，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以b 的取值范围为：0b2。2解：由结论 1 知，当点 P 越接近短轴的端点时，F1 PF2 越大，所以只要求F1 PF2为直角时点P 的横坐标的值，因为c5 ，所以当F1 PF2 为直角时，点P 在圆x2y 25 上，解方程组：4 / 5.x2y21，得： x3 53 53 594，所以点 P 横坐标的取值范围是：x。x2y255555 / 5
椭圆中两个最大张角
