全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理

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1、2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国I,理7文7) 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=( )ABCD4【答案】C.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为.本题中|PF1|=,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF2|=4-.2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范

2、围是（ ）A-,B-2,2C-1,1D-4,4【答案】C.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想.Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程，消去y整理得：k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由=(4k2-8)2-4k24k2=64(1-k2)0,解得 -1k1.3.(2004全国III、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=x,则该双曲线的离心率e=( )A5 BCD【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=x,=,即a=2b,c=b,故该双曲线的离心率e=.4

3、.(2004全国IV,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为( )A.B.C.D.【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.抛物线焦点为(-1,0),c=1,又e=，a=2,b2=a2-c2=3,故椭圆方程为.5.(2004江苏,5)若双曲线的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为()A. B.2 C.4 D.4【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.抛物线y2=8x的准线方程为x=2,双曲线的一条准线方程为x=,2=,解得b2=8,c=e=.6.(2004

4、天津,理4文5)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( )A. 1或5B. 6C. 7D. 9【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质.双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,a2=4.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=4,|PF1|=3,|PF2|=7.7.(2004广东,8)若双曲线2x2-y2=k(k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k= （ ） A.6 B. 8 C. 1 D.4【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标

5、准方程为,a2=,b2=k,c2=.焦点到准线的距离2=c-,即2=,解得k=6.8.(2004福建,理4文4)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.B.C.D.【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为,则过F1且与椭圆长轴垂直的统弦AB=.若ABF2是正三角形,则2c= ,即a2-2ac-c2=0,(a-c)(a-c)=0,e=.BAQPCM东北EGHD9.(2004福建,理12)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的

6、沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元 B.5a万元C. (2+1)a万元 D.(2+3)a万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则y=aMB+2aMC河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂

7、足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.y= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)2aCE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2=.y5a(万元).BAQPCM东北10.(2004福建,文12)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(+1)a万元B.(2-2)a万

8、元C.2a万元 D.( -1)a万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y万元,则y=a(MB+MC)河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.由双曲线第一定义,得MA-MB=2a,即MB=MA-2,y= a(MA+MC-2)aAC.以直线AB为x轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0),C(3,).AC=,故y(2-2)a(万元).11.(2004湖北,理6)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直

9、角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为( )AB3CD【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P为直角顶点，则PF12PF22=F1F22,即PF12PF22=(2)2,又PF1PF2=2a=8,PF1PF2=18.在RtPF1F2中,P到x轴的距离h=,但b=3,不合题意，舍去.由对称性，F1、F2之一为直角顶点（不妨设F2为直角），则PF2=.12.(2004浙江,文6理4)曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A.y2=8-4xB.y2=4x-8C.y2=16-4xD.y2=4x-16【答案

10、】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(x,y),其关于x=2对称的点的坐标为Q(4-x,y),把它代入y2=4x并化简,得y2=16-4x13.(2004浙江,理9)若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段,则此椭圆的离心率为( )A.B. C.D.【答案】D.【解析】抛物线y2=2bx的焦点为F(,0),F1(c,0),F2(c,0),|F1F|：|FF2|=5：3,化简,得c=2b,即,两边平方并化简得4a25c2,14.(2004年浙江,文11)若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被点(,0)分成53

11、的两段,则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】见上题15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是( )AB13C5D【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算解：=,由双曲线的第二定义,得,d=.16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为( )ABCD【答案】A【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2a,m=4n,m=a,n=a,又m-n2cm+n,即2a2ca,1e=,所以e的最大值为17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)

12、、B(3,0),动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【解析】=(x+2,y),=(x-3,y),=(x+2)(x-3)+y2=x2,化简,得y2=x+6.18.(2004辽宁,9)已知点、,动点P满足. 当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是( )ABCD2【答案】A【解析】由题意知,P点的轨迹是双曲线的左支,c=,a=1,b=1,双曲线的方程为x2-y2=1,把y=代入双曲线方程,得x2=1+=,|OP|2=x2+y2=+=,|OP|=.二、填空题19.(2004全国II,理15文15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且

13、它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线2x2-2y2=1中a2=,b2=,c2=1,则其焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),离心率e1=.所以椭圆的离心率为,c=1,a=,则b=a2-c2=1.故椭圆的方程是.BxyPFAO20.(2004全国III、广西,理16)设P是曲线y2=4(x-1)上的一个动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为.【答案】.【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.抛物线的顶点为A(1,0),p=2,准线方程为x=0,焦点F坐

14、标为(2,0), 所以点P到点B(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和等于|PB|+|PF|,如图, |PB|+|PF|BF|,当B、P、F三点共线时取得最小值,此时|BF|=.21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.【答案】(-,-).【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线AB的方程是x+y=a,由，得x2-x-3-a=0.若直线AB与该抛物线没有交点，则=(-1)2-4(-3-a)=13+4a0,故a0时,|FP1|1,|FPn|1,d=,n21,同理,当d0时,故d2

15、6.(2004湖南,文15) F1,F2是椭圆C：的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为_.【答案】2【解析】,设P,则|PF1|=+,|PF2|= -,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即()2(-)2=16,解得=0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使PF1PF227.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：与椭圆：恒有公共点,则b取值范围是.【答案】-1,3【解析】直线过定点(0,b),所以对任意的实数k,它与椭圆1恒有公共点的充要条件是(0,b)在椭圆上或其内部,解得.28.(2004北京春,理文14)若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公

16、共点,则m,n满足的关系式为_;以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆的公共点有_个.【答案】0m2+n2,解得0m2+n20)的准线方程为x=-.30.(2004上海春,4)过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是_.【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径,其长度等于2p.抛物线的焦点F的坐标为(1,0),因为AB为抛物线的通径,所以AB4,即圆的半径

17、为2,故圆的方程是(x-1)2+y2=4.31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与轴、轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是_.【答案】.【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆与轴、轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y轴上,下顶点在x轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为.三、解答题32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C：(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线

18、C的离心率e的取值范围;(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 双曲线的离心率（II）设由于x1+x2都是方程的根，且1-a20,33.(2004全国II,理21文22)给定抛物线C：y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(I)设l的斜率为1,求与的夹角的大小；(II)设,若l4,9,求l在y轴上截距的变化范围.【解析】本题主要考查抛物线的性质,直

19、线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,解：(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=6,x1x2=1.故与夹角的大小为p-arccos.(II)由题设 得(x2-1,y2)=l(1-x1,-y1),即由得y22=l2y12,y12=4x1,y22=4x2,x2=l2x1, 联立、解得x2=l,依题意有l0,B(l,2),或(l,-2).故直线l的方程为(l-1)y=2(x-1)或(l-1)=-2(x-1).当l4,9时,直线l在

20、y轴上的截距为或-.由 =,可知在4,9上是递减的,直线l在y轴上截距的变化范围为34.(2004全国III、广西,理21文22)设椭圆的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0)(c0),且椭圆上存在点P,使得直线PF2与直线PF2垂直.(I)求实数m的取值范围；(II)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q.若,求直线PF2的方程.【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.解:(I)由题设有m0,c=.设点P的坐标为(x0,y0),由PF1PF2,得化简得 x02+y02=m. 将与联立,解得 由所以m的取值范围是m1.(II)准线L的方程为设点Q的坐

21、标为(x1,y1),则将 代入,化简得由题设,得, 无解.将 代入，化简得由题设,得.解得m=2. 从而,得到PF2的方程35.(2004全国IV,理21文22)双曲线的焦点距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和sc,求双曲线的离心率e的取值范围【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.解：直线l的方程为,即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l的距离,同理得到点(-1,0)到直线l的距离由 即 于是得 解不等式,得 由于e1所以e的取值范围是36.(200

22、4江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).(I)求椭圆的方程；(II)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若,求直线的斜率.【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l的斜率,要充分利用条件“”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k,用k、m表示出Q点的坐标；最后由Q点在椭圆上,列方程即可求解.解：(I)设所求椭圆方程为(ab0).由已知中,得c=m, ,所以a=2m, b

23、=m,故所求椭圆方程是.(II)设Q(x0,y0),直线l:y=k(x+m),则点M(0,km).当时,由于F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得x0=, y0=.又点Q在椭圆上,解得k=2.当时,x0=, y0=.于是 ,解得k=0.故直线l的斜率是0或2.37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1.y1),B(x2,y2).(I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.【解析】本题主要考查直线、抛物

24、线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.解:(I)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知即,所以,故.设直线AB的斜率为kAB,由,相减得,所以.将代入得,所以kAB是非零常数.38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II）当PA与PB的斜率存在且

25、倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px.点P(1,2)在抛物线上,22=2p1,得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=1.(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则,PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,kPA=kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得（1）， （2）由(1)(2)得直线AB的斜率:.39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)

26、(c0)的准线与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若,求直线PQ的方程；(3)(理科做,文科不做)设(),过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为.由已知得,解得.所以椭圆的方程为,离心率.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组得,依题意,得.设,则由直线PQ的方程得,于是.,.由得5k2=1,从而.所以直线

27、PQ的方程为或.(3)(理科)证明:.由已知得方程组注意l1,解得.因,故.而,所以.xyOCPAABN40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(1020

28、,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|PA|=3404=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402,故双曲线方程为.用y=x代入上式,得x=680,|PB|PA|,x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680m处.yxOABDCl41.(2004广东,22

29、)设直线l与椭圆相交于A、B两点，l又与双曲线x2y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB. 求直线l的方程.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力.解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).依题意有,由,得(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0x1+x2=-.由,得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0若k=1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k1.x3+x4=,由x3-x1=x2-x4

30、x1+x2=x3+x4-=bk=0k=0或b=0.(i)当k=0时,由得x1,2=,由得x3,4=,由x2-x1=3(x4-x3),即b=,故l的方程为y=.(ii)当b=0时,由得x1,2=,由得x3,4=,由x2-x1=3(x4-x3),即k=,故l的方程为y=x.再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1,2=,y3,4=,由|=3|y2-y1|=3|y4-y3|,即c=,故l的方程为x=.综上所述,故l的方程为y=、y=x和x=.42.(2004福建,理22)如图,P是抛物线C：y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另xyOPlSTMQ

31、一点Q(I)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程；(II)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x10,y10,y20.由y=x2, 得y=x.过点P的切线的斜率k切=x1,直线l的斜率kl=-,直线l的方程为y-x12=-(x-x1). 方法1：联立消去y,得x2+x-x12-2=0.M为PQ的中点，,消去x1,得y0=x02+1(x00),PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1

32、(x0).方法2：由y1=x12, y2=x22,x0=,得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),则x0=kl=-,x1=-,将上式代入并整理,得y0=x02+1(x00),xyOPlSTMQPQPQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).(II)设直线l:y=kx+b,依题意k0,b0,则T(0,b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q.则.由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0 则,方法1:=|b|()2|b| =2|b|=2.y1,y2可取一切不相等的正数，的取值范围是(2,+).方法2:=|b|.当b0时,=b;当b0,于是

33、k2+2b0，即k2-2b,所以=2.当b0时,可取一切正数，的取值范围是(2,+).方法3：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即,则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=,=2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是(2,+).43.(2004福建,文21)如图，P是抛物线C：y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q(I)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；xyOPlMQ(II)当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式

34、等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)把x=2代入y=x2,得y=2,点P坐标为(2,2).由y=x2, 得y=x.过点P的切线的斜率k切=2,直线l的斜率kl=-,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.(II)设P(x0,y0),则y0=x02.过点P的切线斜率k切=x0,当x0时不合意，x00,直线l的斜率kl=-,直线l的方程为y-x02=-(x-x0). 方法1：联立消去y,得x2+x-x02-2=0.设Q(x1,y1),M(x,y),M为PQ的中点，,消去x0,得y=x2+1(x0),就是所求轨迹方程.由x0知x20,y=x2+1

35、2+1+1.上式等号仅当x2=,即x=时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.方法2：设Q(x1,y1),M(x,y),则y0=x02, y1=x12,x=,得y0-y1=x02-x12=(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1),x=kl=-,x0=-,将上式代入并整理,得y=x2+1(x0),就是所求轨迹方程.由x0知x20,y=x2+12+1+1.上式等号仅当x2=,即x=时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.44.(2004湖北,理20文20)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段A

36、B为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.解：（）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得： 依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故（）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),则由式得假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FAFB得：整理得把式及c=代入式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(

37、1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,若直线AP的斜率为k,且|k|, 求实数m的取值范围；当m=+1时,APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.【解析】解: ()由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1,即.解得+1m3或-1m1-.m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,(不妨设P在第一象限)直线PQ方程为.直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得,所以所求双曲线方程为即46.(2004

38、上海,文20) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点. (1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.【解析】解:解方程组,得或,即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2).令y=5, 得x=5,Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,x24).点P到直线OQ的距离d=,SOPQ.P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或440)作直线与抛物线交于A,B两

39、点,点Q是点P关于原点的对称点. (I)设点P分有向线段所成的比为,证明:；(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程【解析】解：()依题意,可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P(0,m)分有向线段所成的比为,得又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,m),从而.=所以 ()由 得点A、B的坐标分别是(6,9)、(4,4).由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 ,所以圆C的方程是即48.(2004重庆,文理21) 设是一常数,过点的直

40、线与抛物线交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.【解析】解法一：由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为：.又设,则其坐标满足 消去x得 ,由此得,因此.即OAOB故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H()是AB的中点,故,由前已证,OH应是圆H的半径,且.从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.此时,直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为：ky=x2p,则其坐标满足,分别消去x,y得故得A、B所在圆的方程明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,

41、又知A、B中点H的坐标为故 ,而前面圆的方程可表示为,故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0).又,故当k=0时,R2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上,又直径|AB|=上式当时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求： (1)动点P的轨迹方程； (2)的最小值与最大值.【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力(1)解法一：直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解. 将代入并化简得,所以于是设点P的坐标为则消去参数k得当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以得,所以当时,有,并且 将代入并整理得 当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,2),这时点P的坐标为(0,0)也满足,所以点P的轨迹方程为(2)解：由点P的轨迹方程知所以,故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为内容总结