可信性测度能扮演概率测度的角色吗

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1、6可信性测度能扮演概率测度的角色吗町信性测度能扮演概率测度的角色吗？董玉振陈焕(河北工程大学，河北 邯郸056038)摘要：本文以简单的实例，说明模糊集理论敲人失谋是用映射泄义模糊了集，这样定义的 “模糊集介”的方式存在着“不能表达”和不能确切农达”部分屈于、部分不属于的模 糊信息的问題.在此基础上,通过对可能性测度三条公理的讨论,指出了可能性测度公理 的不正确性。同时对F文中“庄一个给左的可能性空间屮的任个事件A,总有 0S尸这 结论.本文用模糊数学知识来说明此结论的错误。可佶件测度绘建立 久町能性测度的卑础上，模糊集理论中可信性测度扮演了療率测度的角色,通过实例指 可信性测度与概率测度的不

2、平行性!因比要解决模糊数学存在的问题应当从模糊子 集的定义这个根本问题入手，而不是在现仃的理论上进行修补或者是通过建工公理化体系 來解决。关键词：模糊集：清晰集；映射；可能性测度：可信性测度Can the Credibility Measure Play the Role ofthe Probability Measure?Dong Yu-Zhen Chen Huan(Hebei University of Engineering. Handan. 056038)Abstract:This paper gives some simple examples to explain the bigg

3、est mistake of fuzzy sets is that deiinition of fuzzy sets with mapping, but that the definition of Membership Function0 ccan not express and can not express accurately the problems of the fuzzy infomiation. On this basis, through discussion of three possibility measure axioms, it points out that th

4、e possibility measure is nol correct. At the same time, to this conclusion of the references 2 In a given the possibility space of any event A. there is always 0 Pos A. this conclusion established0, this paper uses fuzzy mathematics knowledge to illustrate its mislake. Credibility measure plays lhe

5、role of probability measure which is based on possibility measure in fuzzy sei theory. And it gives examples to point out the unparallelism of the credibility measure and lhe possibility measure Therefore, to solve the problems of fuzzy mathematics should start from the definition of fuzzy subsets o

6、f this fundamental problems ralher lhan repair lhe existing theory or establish the axiom systemKey words: Fuzzy Sets; Clear Sets; Mapping; Possibility Measure; Credibility Measure1.引言美国控制学家L.A.Zadeh J- 1965年通过隶属度函数建立了模糊集合的概念，它是用 來农达和处理然界中部分属于部分不属于的模糊现次的一门学科，在许多的实际领域屮 得到了应用。为了处理模糊事件,Zadeh于1978年和1979

7、年提出了可能性测度和必要性 测度叫 之后,Liu在2002年提出了可信性测度叫由中介数学系统的建立看来，模糊数学似乎已冇了严恪的公理族础和配套的逻辑系统, 再也不可能出现車人问题，更不会出现危机。然而随着模糊数学理论与应用的不断发展， 一些学者也日益发现了模糊数学中的一些问题。其中昊和琴教授、叶洪东教授等一些学者从2004年以来发表了模糊集运算讨论、第阿 次数学危机、模糊数学危机狼烟四起、模糊模型识别错的别人离谐等多篇论文，指出了槌糊集中的包仟相等都何病，模糊矩阵介成公式仃谋等还0Jxl- gfr（x） = （x = O黑红）同样仃人问o M黑圆吗?回答应是卜半圆部分屈于黑圆，上半圆部分不属黑

8、BI.即得:u存 tojv It 刚（ v） =占（x = 0鮒）畸和它们的定义域U相同，H函数值也相同，故20% （x） = %（X） （X =），而 H 咗=1 一 孑=U红，人,=1 一 3 = A职即加和互为补集.按照模糊集的理论仃：1 一工21=H2叭1H/=|a1=|0即排中律不成立这里虽然片=円!是一个，但从它们的背景看，衣示的含意绝不能相同.从而用來衣 达和处理部分屈于部分不屈于的模糊集4和它的隶属函数并罪是互相唯确定的，山町 以是若I：个模糊集A的共同的隶属因数。实际上模糊集的定义中仅有卩人，即仅竹一个称 作隶属两数的曲数哪冇什么另外的模糊集。因此根本无所谓证明从人和A是互相

9、唯一确 定的。文|6|屮的证明过程显然是就错证错，亳无盘义。关于清晰集,从论域U = O,rtl = Ojjj ,O. 中，t/中的唯一元素O,vt = O. ,Ot,。黑是0乂红的一部分是黑半圆，O釘是0仙的一部分是红半岡。由这两部分得两个U的淸 晰子集：A = AOju红=。红和B = O仙=o J。若问。限釘属于A和B吗?则显然是 部分属于部分不属于，即有模糊子集的早本待性.aub=aow UAO 畅卜。册=G，oJ討根据淸晰集理论：（夕、 t tf，即推中律成立.41 B = AO,n I AO,|）=0 ,且人=4从而知作为经典子集推广而得的淸晰集保留经典子集的排中律成立这个性质.淸

10、晰集子集A和，它们的隶属度函数也足定义或U ,取值在0.1中的1/2,这里淸 楚看出，在清晰集中的两个淸晰集冇共同的一个隶屈怖数。以消晰集來看Zadeh在建立用來农达和处理模糊性问題时，虽是受1904年，谓诃逻松 的创始人GFrege的禽糊（徳文Vague） 一词的影响，但提出模糊集时由于受经典集珅论中 的子集和其隶属函数Z间的关系是互相唯一确定的影响,他不适当地将模糊集定义为映射, 他又按经典集介屮并集和交集的隶属函数等其取人、取小就错溟的照搬。真是差Z毫厘，错至千里。模糊集用吟和叫定义，消晰集用A和8定义。如今在世 界上出现了两大学术界的对，一方面是以模糊数学创始人Zadeh和中科院院十刘

11、应明等 为一方的模糊数学界。他们称申请人（申讷国家口然科学垄金的叶洪东教授）对模糊集理 论的理解存在偏差，像糊集理论虽然在理论和应用（尤英在理论）方而存在不足。但从过 去的发展来看应该是非常成功的，在理论方而已经非常成熟并获得了数学界的广泛认 从申请看不出小请人仃任何具仃说册力的例了來说切淸晰集理论比模糊集更优秀，所以 不建议赞助。真是横刀立马挡了消晰集发展的去路！另一方而，足淸晰集理论的研究者和支持打，这方而蔭木上全而否定模糊集理论、应 用理论和W用方法，具体的在淸晰集及其应用一马和淸晰数学及其应用一书稿屮（现为河北工程大学渚晰数学方而的讲义，尚无出版）给出。消晰集理论的研究从2004年开始

12、至今不足6年，但得到国内外数十家仃关机构媒体的 支持和向国内外传播。他们支持称，消晰集的仃关理论为其仃很高的学术理论价值，最新 的学术观点.最先进的学术思想，解决了世界性的学术难题，填补了本学术领域的相关空 白等。实质上Zadeh不当地把模糊集定义为映射，且将其并交运算定义为取人取小其实模 糊界也早知取大取小冇问趣，所以给出了很冬篦子，特别是乂给;II 1范数和s范数的槪念. T文4中的第/曲和第匕章是门论述I-范数和s-范数祁不对以作为模糊集的并交运乩 从而得出至今模糊集没冇解决并交运算的介理定义的结论。关于这部分爲庆狮院七在文|7中指出：由于Zadeh及其同僚，没自认貞承认缺点，而 足采用

13、没仃统指导的算子拼盘來掩盖缺点，便得缺乏科学性更严重，结果不仅缺点没仃 克服，反而增加了一个缺点。系统混乱，缺乏统一的科学卑础，不淸楚什么时候用什么算 了。把错谋缺点说成为对传统的挑战，摆脱传统的约柬的先进成果。结果谋导人们以为模 糊集合理论必然与常规思维、逻轿和概念相悖.3. 吴华英难题2010年2月28日吴和琴与女儿吴华英讨论清晰集和模糊集的槪念时，我说：一个岡 O其圆心为黑色的,其他部分是红色的,若问这个圆O属于红圆吗?答案只能是部分（除 岡心Z外）属于红圆,部分（岡心）不属于红圆.那么按照模糊集理论，应有映射:红：t/T0,lA l- pn（X）0Jh （X 三 |同O）而弘（X）该等

14、于什么呢？华英觉得：m.（A）= l不行，因为圆不全是红的，进而6尹8（x） = 0.9.HtI （x） = 0.99L L，血（x） = 0.9L 9 都 不行， 若无限 卜 去，,（x） = 0.9L 9L =0.9 = 1也不行，于是无法确定r（.v）,实实当岡O中黑点的个数为冇 限个或可列无穷个也一样。肉此从这里看出Zadeh泄义的模糊f集理论连这样简单的部分属部分不屈的模糊 件问题都不能衷达和处理，怎能作为模糊理论的廉础发展卜去？这样看來，Zadeh由模糊 集的隶屈度国数给出的町能性分布就缺乏根也进而町以知道由可能性分布定义的吋能性 测度也足没右意义的。在模糊系统9模糊控制教程目,3

15、16屮吗道：町能性的厲观方法源于模糊约束的概 念.以U为论域，x为在U上取值的一个变昴:，A为D上的一个模糊集。则命题“X为A ” 可以解释为对x的取值起种约束的作用，这种约束用隶屈度函数心來描述。换育乙也 可以把跌(“)解释为x = “时的可能件的用度。例如，设x农示人的年龄，A表示模糊集“ !- 轻”。假设已知“一个人是年轻的”(x为A，则卩八(30)可以看做此人的年龄是30的町能 性程度.为规范起见，给出如下定义。泄义31给泄“上模糊集A和命题“x为A”，処仃关联的对能性分布，记为匚， 可在数值上定义为等于A的隶属度函数，即(“) =山(31.1)举个例子，将模糊集“小整数”定义为小整数

16、=1/1+ 1/2 + 0.8/3 + 0.6/4 4- 0.4/5 + 0.2/6(31.2)則命题“ x是小整数”就使得x与如卜的可能性分布联系在一起7tx= 1/1 +1/2 + 0.8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + 0.2/6(31.3)其中任-项，例如0.8/3,农明“ x址3”确定命题“是小整数”的可能性为0.8。现在，令耳表示一个人的年龄，人表示模糊集“年轻”。给定“x为人”时，可知x = 30 的可能性等J：或许仃人问：“已知一个人足年轻的，那么这个人的年龄在25和35 Z间的可能性是多少呢？ ”。对该问题一个合适的答案是sup兀人(“)推广这个例子就(2535)可以

17、得到可能性测度的槪念.定义31.2设C为U上的一个浦晰子集，是与x冇关联的可能性分布.则x屈于C的可能性测度，记为Posx(C),可定义为尸7(C) = sup7t m)。(31.4)M6C例如考虑由式(31.2)所宦义的模糊集“小整数”和命题“ X是小整数”，若C = 3,4.5, 則x等于3.4或5的可能性测度为：Posx(C) = sup n r(w) = max|0.8.0.6.0.4 = 0.8 o”3AS注：在宦义31.2 |*的町能性测度Posx(C).当C = U时，叭是与x仃关联的町能 性分布，为模糊集A,则几叫(C)即成为模糊集A的町能性测度，H记为PosA.4. 冇关可能

18、性测度某些结论的错误指出在文2 5指出：设(G，P(0).尸是一个可能性空间，则仃(a)对于任意Aw p(0),总仃现在我们以例1來说明此结论和证明的错谋性。在文的证明过程中有0 = AVAC可知Fo$AvFo$ = Po$8 = 1 ,从而|1红：t/TO,lPosA 在例1中有：,因此按照模糊集的理论有：x It片心)右(2朋)U|1/ =lvi = l ,得到0Up/ 即所以无法得到Pp54 =supPosAt定义1(习 设0为非空集合，p(0)是0的泵集。如果尸满足三条公理，则称Z为诃 能性测度。定义2 设为非空集介，p(0)是的显集如果是可能性测度，则三元组 (0, p(0), Po

19、s)称为可能性空间.为了方便，本文以一个简取的实例和文引冬6的s范数的实中一个范数育和的定义来 分析可能性测度的三条公理。a h = 0直和：Sd$(ab)= b = 01其他设论域U =a.b.c 记二U p（ 0 y的任意两个集纽成的集族记为人=12假设两个模糊子集4, =0.1/a+0.1/b + 0.1/c, A2 = 0.2/a+0.2/+0.2/c） . RlJ： 由于 U = 0 = /a + /b + 1/c 月f 以 Poj0 = inaxl J = 1 由于Q=0/d + 0/b + 0/c，所以 P50 = max（O,O,O = Oo 再来看公理3。公理3的左边，Pos

20、UAi = PosAlUA.9按照s范数中上和的定i义，AU%（03）+ $d2Z2）+ $W02）=1 + 1 + 丄，所以 abca b cPosAl UA2 = maxlJJ = l 因此，公理 3 的左边.PosVAt = PosAUA2 = .24又因为 PosAx = max().1 .0.1 ,0.1 = 0.1 , Pos A2 = max|0.2 .0.2 .0.2 = 0.2 .所以公理 3 的右边,sup Pos Aj = maxPosA. Pos A2 = max0.1,0.2 = 0.2 因此按照给出的s范数得到：Pos UA* niaxPA.P5A2，即公理3不成

21、立。从一个简虹的实例得出：作为模糊理论的公理3是不成立的。既然按照Zadch的直观 意义卜的可能性测度公理3是不成立的，乂如何作为町能性测度的公理呢？文8中竹巧中提到：HZadch1978以來，关于可能性理论的研究很多对可能性理论 的处理仃两种方法：M -是由Zadeh|1978|提出來的，是将可能性理论作为模糊集理论的一 个扩展而引入的:英二是Kiir和Folger1988以及其他的一-些学者在Dempster-Shafer证据 理论框架中提出来的，是将町能性理论建立在公理的垂础h,何助于对可能性理论进行深 入的研究。对于处理可能性理论的一种方法是将可能性理论作为模糊集理论的一个扩展，在前而

22、 的分析屮指UZadeh不适当地将模糊集宦义为映射，既然模糊集的过义仃谋，那么可能性 理论也-定会存在错误。对于处理可能性理论的另-种方法是将可能性理论建立在公理的 JE础上,面的分析中指岀公理3是不成立的,是不该作为公理也不能作为公理的，在 公理上存在问题，那么町能性理论也-定会存在问题，因此没仃必耍來研究可能性测度。6. 可信性测度9概率测度的不平行性n先介绍两个定义。定义 押】假设(0, p(0), Pos)是可能性空何,A是需集p(O)中的一个元素,则 琢NecA = 1 - Pos为爭件A的必要杵测度。定义4,21 (Liu和Liu1841)设(0, p(0). Po$)是可能性空间

23、,集合A时幕集p(0) 中的个元索，则称CrA=-(PosA + NecA)为車件A的可信性测度。2在模糊理论中，一个模糊事件的可信性定义为可能性和必要性的平均值。可借性测度 扮演了类似概率测度的角色。但是爭实上通过分析与迁明，我们得到了这样的结论：、彳论 威U屮的元素个数为大于1的奇数时，论域U中的任一真子集(非0和非U),即毎个事 件的可信性测度12挪不等亍此事件的山典型慨率测度。现在以论域U=a.b.c, U中的真 子集A = a,b, B = a为例给出说明.在经典集介中，Ac=c , Bc =b,c 按照模糊集理论，A = l/“ + l/b + 0/c ,Ac = G/a + 0/

24、b + /c , B = l/“ + 0/b + 0/c, B( = 0/ + /b + 1/c ,则仃：PosA = max|1.1.0 = 1 , Pos A1 = max0.0.1 = 1 , PosB = maxl .0.0J = 1 ,PosBc = max0= 所以，NecA = l-l=0 , Nec = 1 一 1 = 0 ,于是得到25CrA=-(1 + 0) =CrB = -(1 + 0) = -2 2 2 22I按照占典概型知识，事件A的概率测度为：p(A) = j，= y通过计算这两个真子集的叫信件测度和山败概率得到：论域U中的元素个数为大于1 的奇数时，论域/中的任一

25、貞子集，即毎个事件的町信性测度都不等于此事件的占典型概 率测度，而H.无论克子集电冇儿个元素，可能件测度始终为I，可信性测度始终为丄，那2 实上占典概率会因其子集中元索个数的不同而不同。模糊集合是经典集合的一个推广，可信性测度与概率测度在数值上W是一致的，然而 通过分析.对以得到可信性测度与概率测度圧不平行的，如何能说町信性测度扮演了概率 测度的角色？因此，研究可能件测度和可信性测度是没冇价値，也没冇意义的.7. 结束语本文通过简单的实例指出了町能性测度理论族础错就错在用映射定义模糊集介，同时 冇人又将$U A = sup PosA,作为公理，更是错上加错.以经典集介为例得到了论域中的九素个数

26、为人JT的奇数时，U屮的任一真子集的 可信件测度都不等此集介的肯典型概率测度，可信件测度是扮演不了概率测度的角色的!参考文献111 Zadeh L.A. Fuzzy Sets.Informalion and Contn)l.1965.8(3):338-353(21刘宝碇，彭锦，不确定理论教程，消华人学出版社，2005|3)吴和琴,吴华英，叶洪东，高志强,差之亳厘,错至千里卩,管理观察,2002. 2, P139-1414吴华英，吴和琴，清晰集及其应用M,香港新闻出版社，2007. 6|5|叶洪东，吴和琴，高志强，陈继强，张志海，再论第四次数学危机，模糊系统与 数学,2010, P124-127(6邹开其,徐扬,模糊系统与专家系统M，西南交通大学出版社,1989. 6. P2|7J高庆卿，新模糊集合论基础M|,北京机械工业出版社，2006 , 38王立新著，王迎军译.模糊系统与模糊控制教程M,淸华大学出版社，2003, 626