课时跟踪检测四十七　抛物线

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1、课时跟踪检测（四十七）抛 物 线第I卷：夯基保分卷1. （2014-沈阳模拟）抛物线的焦点F到其准线/的距离是（）A. 2B. 1c 1D 1242. 已知抛物线=2px（p0）的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为（）A. 2B. 1c 1D 1侦243. （2014-辽宁高考）已知点人（一2,3）在抛物线C： y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点3,记C的焦点为F,则直线的斜率为（）A. gB.|c 3D44口34. 已知抛物线/ = 2px（p0）9过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A, B两点，若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）A.

2、1B 1C. x=2D. x= 2?25. （2014-嘉兴期中）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线.一奇=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K点A在抛物线上，AK=y2AF9则的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 326. 过抛物线/=4x的焦点F的直线交该抛物线于A, 8两点，。为坐标原点.若|AF|=3,则ZVIOB的面积为（）A. 2B. C.D. 2皿7. （2014-辽宁五校联考）设抛物线j=12y的焦点为尸，经过点P（2,l）的直线/与抛物线相交于A, B两点,又知点P恰为AB的中点，则AF-BF=.8. （2014-武汉调研）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦

3、点为F（l,0）,直线/与抛物线C相交于A, B两点.若的中点的坐标为（2,2）,则直线/的方程为=(42p)24 + 2p(2 2p)= 12(1p),.由yo=呼屠4)#=|人8|2,即 4p(3p)=12(lp),即 p26p+3=0,.p=3顿却1,舍去p=3+6),此时M的横坐标为Xl+%2尤0 = 2p=y6 1,9. (2013-江西高考)抛物线/=2力。0)的焦点为其准线与双曲线专一普=1相交于A, 8两点，若左ABF为等边三角形，贝5=.10. (2014-湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(l,0)的距离和到直线x=1的距离相等.若机器人接触不到过点P(1,0)

4、且斜率为R的直线，则k的取值范围是11. (2014-江西高考)如图，己知抛物线C： j=4y,过点 M(0,2)y任作一直线与C相交于A, B两点，过点B作y轴的平行线与直线1AO相交于点。(。为坐标原点).(1)证明：动点。在定直线上;(2)作C的任意一条切线/(不含工轴),与直线y=2相交于点Ni，与(1)中的定直线相交于点M .证明：|MM|2 |MNi|2为定值，并求此定值.12. (2014-全国大纲卷)己知抛物线C： y2=2K(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为0 且|QF|=jpQ|.(1) 求C的方程；(2) 过g的直线/与C相交于A, B两点，若出

5、？的垂直平分线与C相交于N两点，且A, M, B, N四点在同一圆上，求/的方程.第II卷：提能增分卷1. (2014-淄博模拟)在平面直角坐标系xQy中，直线/与抛物线y2=4x相交于不同的A,8两点.(1) 如果直线/过抛物线的焦点，求汤而 的值；(2) 如果OA OB = 4,证明直线/必过一定点，并求出该定点.2. (2014-珠海模拟)在平面直角坐标系杞y中，设点凡5，0直线/上移动，R是线段 所与轴的交点，RQLFP, PQLL(1) 求动点。的轨迹方程G(2) 设圆M过A(l,0),且圆心M在曲线C上，T5是圆M在轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.3.

6、 (2014-杭州七校调研)在直角坐标系工0)，中，点 乂2, 点F为抛物线C： y=的焦点，线段恰被抛物线C平分.(1)求m的值；(2)过点M作直线/交抛物线C于*, B两点、,设直线硝，FM,邛的斜率分别为妇，k2, k3,问k,灯，心能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线/的方程；若不能，请说明理由.4. (2014-福州质检)已知抛物线y2=2px(pQ)在第一象限内与圆普+尸一4工+1=0交于不同的两点A, B.(1) 求的取值范围；(2) 如果在尤轴上只有一个点使MALMB,求p的值及M的坐标.答案第I卷：夯基保分卷1. 选D 因为2p=, p=,所以由抛物线的定义可知所求的距离

7、为+2. 选A 注意到抛物线y2=2px的准线方程是x=y 曲线x2+26x7=0,即(x-3)2+/=16是圆心为(3,0),半径为4的圆.于是依题意有圣+3 =4.又p0,因此有乌+3=4,解得p=2,故选A.3. 选D VA(-2,3)在抛物线.y2=2px的准线上,一竟=2,=4,.，)2=8尤，设直线AB的方程为尤=必，一3) 2 ，fx=(y3)2,将与/=8x联立，即9顷=Sx得尸一8坏,+244+16=0 ，则，=(一龈尸一4(24妇16)=0,即 2好一342=0,解得k=2或k=万(舍去)，jc8将化=2代入解得板=8即 3(8, 8),又 F(2,0),z 8-0 4kB

8、F=iy故选D.4.选B设 A(xi, yi), Bg N2),由题知抛物线的焦点坐标为裾，0)所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x2,即尤=+宣，将其代入抛物线方程得2 = 2犬=2()，+宣)= 2py+p2,所以尸一2pyp2 = 0,所以12=p = 2,所以抛物线的方程为y2=4x9准线方程为x=-l,故选B.5. 选D 由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0).过点A作直线/IV垂直于抛物线的准线，垂足为根据抛物线定义知，AAf = AF9在A4X中，AK=y2AAr9故/K44=45。,所以直线AK的倾斜角为45,直线AK的方程为 =尤+4,代入抛物线方程/= I6x得尸=16。一

9、4),即寸一 16y+64=0,解得y=8.所以 AFK为直角三角形，故 AFK的面积为;x8x8= 32.6. 选C 由题意，抛物线j2=4x的焦点为F(1,O),准线方程为/:工=一1,可得A点的横坐标为2,不妨设A(2, 2V2),则直线AB的方程为=2皿31),与y2=4x联立得2/7. 解析：分别过点A, B, F作准税的垂线，垂足分别为N, Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF| + BF = AM + BN=2PQ = 8.答案：8=奴+(22幻,8. 解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0),所以抛物线的方程为y2=4x.显然当直线的斜率不存在或为零时不

10、满足题意，故设直线/的方程为y-2 = k(x2),其中 好联立方程消去y得以？+4灯1一幻一4工+4(1好=0,显然一系一=2,解得k=l.故直线/的方程为y=x答案：y=x9. 解析：由x2=2py(p0)得焦点 犬，号)，准线/为=一 所以可求得抛物线的准线与双曲线专一十=1的交点a(也季云，一q,所以AB= 12+p2,则AF = AB= y/12+p2,所以j=sin即慵尹=平解得=6答案：610. 解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为/=4x,过点P(I,o)且斜率为k的直线方程为y=R3+l),由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y得好/+(2号一4)氏+好=0,

11、则=(2号一4)24炉0,所以好1,得k或k2),则有 xix2=8,直线A。的方程为BD的方程为x=%2.X=X29解得交点D的坐标为彳注意到XX2 = 8及好=4yi,8yi4yi=一2,因此。点在定直线y=2(了尹0)上.(2)依题设，切线/的斜率存在且不等于0,设切线/的方程为y=ax+b(aQ代入=4y 得 x2=4(6zx+Z?),即 %24or4/?=0,由 J=0 得(4a)2+16Z?=0,化简整理得h=-a2.故切线/的方程可写为y=axa2.分别令 y=2, y=2 得 M, M 的坐标为 Ni|+z,2, N-+a, -2则 |初V2|2|MNi|2 = (|q)2+4

12、2(|+q)2=8,即|初V?/F 为定值 8.12. 解:设0瓦4),代入2=2双|跖=护0=始由题设磴+3=2,解得p=2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x(2)依题意知/与坐标轴不垂直,故可设/的方程为x=my+l(m0).代入 y2 = 4x 得 y24my4 = 0.设 A(xi, yi), Bg 2),则 yi+y2=4m9 yiy2=4.故 AB 的中点为 Z)(2/n2+l,2m),AB =/m2+l|yi y2=V m2 + 1 寸 31 +，2)2 _ 4y i,2=4(m2+l).又/的斜率为m,所以r的方程为x= )?+2m2+3.将上式代入y2=4x94并整理

13、得/+-4(2m2+3) = 0.设 A/g、3), Ng *),4则 %+方=_扁,3*=4(2/必+3).故MN的中点为A+2m2 + 3,号MN= 1+右加3-园= 1 +/33+4)2_令344(/n2 + 1) yhrr-1= m2由于初V垂直平分AB,故A, M, B, N四点在同一圆上等价于AE = BE=MN,从而 |AB|2+|DE|2=|M2,即4（如）2+伉+新+-也心5m4化简得m2 1 =0,解得m= 1或m= 1.所求直线/的方程为xy=Q或x+y1=0.第II卷：提能增分卷1. 解：（1）由题意知抛物线焦点为（1,0）,设/: x=ty+ 1,代入抛物线y2=4x

14、,消去尤得寸一4邛一4 = 0,设 A（xi, yi）, Bg 弗），则 yi+y2=4f, yi2=4,OA OB =xX2-yy2=(yi + i)(m+ i)+yiX2=?2yiy2+?(,i +*)+1 +yij2=_4户+4户+1_4=_3.(2)证明：设/: x=ty-b代入抛物线y2=4尤，消去x得y24ty4b=0,设 A(xi, yi), Bg2),则 yi+y2=4l, yiy2=4b9OA - OB =xX2+yyi= (yi+0)(/2+b)+yiy2=产i y 2+所(y i + y 2)+屏+ i y 2=-4bt2-4bt2-b24b=b24b.令 b2-4b=-

15、4,.。2_4。+4=0, ：.b=2.直线/过定点(2,0).若OA OB=-49则直线/必过一定点(2,0).2. 解：(1)依题意知，点R是线段FF的中点，且RQ_LFF,:.RQ是线段FP的垂直平分线.VPQ是点。到直线/的距离，点。在线段砰的垂直平分线上，.|PQI = IQH.故动点Q的轨迹是以F为焦点，/为准线的抛物线，其方程为/=2x(x0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下：取曲线C上一点M(xo,其)，M到y轴的距离为刁=|&| =%o,圆的半径 r= MA =/(x0l)2+yo,则 ITS | = 2源= 2崩 _2&+l,因为点M在曲线C上，所以x0=2，所以时|

16、= 2寸况一疏+1=2,是定值.3. 解：(1)由题得抛物线C的焦点尸的坐标为(0,线段以尸的中点1,抛物线C上,A8m_4=8/7?2 + 2m 1 =0,舍去).(2)由(1)知抛物线 C: x2=4y9 F(O,1).设直线/的方程为y+=k(x-2)9A(xi, yi), B(x2, V2),f 12 = 2),史=4y得 x24 奴+8*+2=0,1=16 好一4(84+2)0,.*孝或Q芋%1+x2 = 4A：,且、西尤2=8*+2,假设比i, fo,灯能成公差不为零的等差数列，则ki+k3=2k2., yi 1 , V2 1而化1+妇=+X X2尤2，1+工1，2一尤2一尤1XX

17、2工招.JV1射2= 2_0 =_彳，4号一k31a.不百=一万，源+104+3 = 0,解得k=_手符合题意)或化=一永不合题意，舍去).直线/的方程为y+|=-|(x-2),即x+2y-l=0.:k,处，灯能成公差不为零的等差数列，此时直线/的方程为Jv+2y-l=0.4. 解：(1)据题意知，p0, x0.设 A(xi, 2pxi), B(X2, V2/7X2).把 y1=2px 代入必+)，24x+l=o 得，/+2(p2)x+1 =0,VX!,松是该方程的两不相等的正根,身=4一 2)240,xi+%2= 2(p2)0劣1尤2= 1 0,pVl 或 p3,即pV2,:.p的取值范围是

18、(0,1).(2)法一：设M的坐标为(2,0),则 MA =(xm,，2pxi),MB =(X2m, 2px2),把 XX2= 1 , Xl+l2 = 4 2p 代入，得= m2(42p)m+2p+l,9：MA-LMB,m2 (42p)m+2p +1 =0,据题意该方程只有一个根，=(42p)24(2p+l)=0,即 p26p+3=0,.p=3W(,pVl,舍去 p=3+y/),l (42/7) r此时 m=yj61,即M的坐标为(6-1,0).法二：设A8的中点坐标为(xo,刘).据题意，以线段A3为直径的圆恰好与尤轴相切，即)。=嶂(此时M的横坐标为xo). 2/7X1+2/7X2*)=O|AB|2=(X|X2)2+(y/2px ylpx2)2