函数的单调性1

《函数的单调性1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性1（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1.3 1.3 函数的单调性函数的单调性1412108642-10-5510观察下列函数图象,体会它们的特点:函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质单调性.如何描述函数图象的“上升”，“下降”呢?x -4 -3 -2 -1 01234f(x)=x2 16941014916 对比左图和上表,可以发现什么规律?图象在图象在y轴左侧轴左侧“下降下降”,也就是也就是,在区间在区间(-,0上随着上随着x的的增大增大,相应的相应的f(x)反而随着反而随着减小减小;图象在图象在y轴右侧轴右侧“上升上升”,也就是也就是,在区间在区间0,+)上随着上随着x的的增大增大,相应的相应的f(x)也随着也随

2、着增大增大.以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表:练习:利用刚才利用刚才的方法描的方法描述一下左述一下左侧四个函侧四个函数图象的数图象的“上升上升”“下降下降”的的情况情况.思考思考如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)=x2描述描述“随着随着x的增大的增大,相应的相应的f(x)反而随着减小反而随着减小.”“随着随着x的增大的增大,相应的相应的f(x)也随着增大也随着增大.”?对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述：在区间(0,+) 任意两个自变量的值x1,x2,得f(x1)=x12, f(x2)=x22,当x1x2时,都有x12 x22即随着x的增大,相应的f

3、(x)也随着增大，称函数f(x)=x2 在(0,+) 上是增函数。试一试:你能仿照这样的描述你能仿照这样的描述,说明函数说明函数f(x)=x2在区间在区间(-,0上是减函数吗上是减函数吗?函数的单调性定义:如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意两个上的任意两个自变量的值自变量的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那那么就说函数么就说函数f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意两个上的任意两个自变量的值自变量的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那那么就

4、说函数么就说函数f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数注意比较这两句话的不同之处和共同之处注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个想一想为了说明一个函数在某个区间上是增函数还是减函数函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些我们应该重点说明哪些要素要素?xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)例1 下图是定义在区间-5,5的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2,-2,1,1,3,3,5.其中其中

5、y=f(x)在区间在区间-5,-2 ,1,3上是减函数上是减函数,在区间在区间-2,1, 3,5上是增函数上是增函数. 课堂演练课堂演练yxo2-24引申： 写出函数y=|4-x2|的单调区间 课堂演练课堂演练 解解:函数函数y=|4-x2|的图像如上图所示，单调区间有的图像如上图所示，单调区间有 (-,-2， -2，0, 0，2, 2,+).其中其中y=|4-x2|在区间在区间 (-,-2 ,0，2上是减函数上是减函数,在区间在区间-2，0, 2,+)上是增上是增函数函数. 能不能不通过观察函数的图能不能不通过观察函数的图象就能知道函数的单调性呢？象就能知道函数的单调性呢？思考思考120(

6、)( ,).f xx例例 、证证明明函函数数在在上上是是减减函函数数121221121212121212211212011000010,( ,), ()().,( ,),()()()()( )( ,).x xxxxxf xf xxxx xx xx xxxxxf xf xf xf xf xx证证明明：设设是是上上的的任任意意两两个个实实数数 且且则则 由由得得 又又由由得得 即即函函数数在在上上是是减减函函数数12341.设设(自变量自变量);2.比比(函数值函数值);3.判判(函数值大小关系函数值大小关系);4.结结(论论) 课堂演练课堂演练10( )( ,).f xx函函数数在在上上是是减减

7、函函数数10( )(, )f xx函函数数在在上上是是什什么么函函数数? ?100( )(, )( ,)f xx问问：能能不不能能说说函函数数在在上上是是减减函函数数? ?思考思考yxo1( )f xx1( )xf xx引引申申：讨讨论论函函数数的的单单调调性性。111111 ,(, )(,).xyxx 解解：由由图图可可知知在在上上为为单单调调增增函函数数 在在上上为为单单调调增增函函数数 证证明明用用定定义义同同例例2 2. .yxo1 ( )f xxyxo(-1,1)1( )xf xx331 ( )f xxR例例 、证证明明函函数数在在 上上是是减减函函数数121233221221212

8、1121221222212112211222112210302403024, ()()()(),()() x xRxxf xf xxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxx证证明明：设设是是 上上的的任任意意两两个个实实数数 且且 由由得得， 又又 当当且且仅仅当当时时等等号号成成立立， 由由知知1231201 ()()()()( )f xf xf xf xf xxR 即即函函数数在在 上上是是减减函函数数. .1.作出函数图象找单调区间的方法.2.利用定义证明单调性的步骤 (1)设（自变量值） (2)比（函数值） (3)判（函数值大小关系） (4)结（论） 小结小结 作业作业121.( ) ,).f xxx用用定定义义证证明明函函数数在在上上是是增增函函数数1.1.做出函数做出函数y=|x2+2x-3|的图像，找出对应的单调区间。的图像，找出对应的单调区间。30.( )().af xxax讨讨论论：函函数数的的单单调调性性，并并加加以以证证明明24211.( ) , ().f xxxaa思思考考：函函数数在在上上单单调调性性， 并并求求单单调调区区间间 （提提示示：根根据据图图像像考考虑虑）