高考数学 第五章 第三节等比数列及其前n项和课件 理

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1、第三节 等比数列及其前n项和1.1.等比数列的定义等比数列的定义(1)(1)条件：一个数列从第二项起条件：一个数列从第二项起_等于等于同一个常数同一个常数. .(2)(2)公比：公比：_._.(3)(3)定义表达式定义表达式: .: .每一项与它前一项的比每一项与它前一项的比常数，通常用字母常数，通常用字母q q表示表示(q0)(q0)*n 1naq(nN ,q0)a【即时应用即时应用】判断下列数列是否为等比数列判断下列数列是否为等比数列( (请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”).).(1)(1)数列数列0,0,0,0,0, ( )0,0,0,0,0, ( )(2)(2)数列数列1,

2、1,2,4,8,16,32, ( )1,1,2,4,8,16,32, ( )(3)(3)数列数列a,a,a,a,a, ( )a,a,a,a,a, ( )(4)(4)数列数列1,-1,1,-1,1, ( )1,-1,1,-1,1, ( )【解析解析】(1)(1)不是不是. .等比数列中的项不能为等比数列中的项不能为0.0.(2)(2)第二项与第一项的比值不等于常数第二项与第一项的比值不等于常数2,2,故不是等比数列故不是等比数列. .(3)(3)当当a=0a=0时时, ,不满足等比数列的概念不满足等比数列的概念, ,故不一定是等比数列故不一定是等比数列. .(4)(4)是等比数列是等比数列. .

3、答案答案: :(1)(1)否否 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式若等比数列若等比数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公比是公比是q,q,则其通项公式为则其通项公式为_._.a an n=a=a1 1q qn-1n-1(nN(nN* *) )【即时应用即时应用】(1)(1)等比数列等比数列 ,的第的第1111项为项为_._.(2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中，若中，若a a3 3=2,a=2,a6 6=16=16，则数列的通项公式为，则数列的通项公式为_._.【解析解析】(1)(1)4 2,4,2 212

4、22a4 2,q,42101122a4 2().28(2)(2)设等比数列的公比为设等比数列的公比为q q，则，则 解得解得答案答案: :(1) (2)a(1) (2)an n=2=2n-2n-22151a q2a q1611a2q2n 1n 2n1a22.2283.3.等比中项等比中项如果如果_成等比数列，那么成等比数列，那么G G叫做叫做a a与与b b的等比中项的等比中项. .即：即：G G是是a a与与b b的等比中项的等比中项a a，G G，b b成等比数列成等比数列_. .a,G,ba,G,bG G2 2=ab=ab【即时应用即时应用】(1)b(1)b2 2=ac=ac是是a a、

5、b b、c c成等比数列的成等比数列的_条件条件. .(2)(2)若等比数列若等比数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a-1,a+1,a+4a-1,a+1,a+4，则它的第，则它的第5 5项为项为_._.【解析解析】(1)(1)当当a=0,b=0,c=1a=0,b=0,c=1时，满足时，满足b b2 2=ac,=ac,但但a a、b b、c c不成等不成等比数列比数列, ,反之，若反之，若a a、b b、c c成等比数列，则必有成等比数列，则必有b b2 2=ac,=ac,故故b b2 2=ac=ac是是a a、b b、c c成等比数列的必要不充分条件成等比数列的必要不充分条件. .(

6、2)(2)由题意知由题意知(a+1)(a+1)2 2=(a-1)(a+4),=(a-1)(a+4),解得解得a=5,a=5,aa1 1=4,q= ,=4,q= ,答案答案: :(1)(1)必要不充分必要不充分 (2) (2) 3245381a4 ( ).248144.4.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)当公比当公比q=1q=1时时,S,Sn n=_=_(2)(2)当公比当公比q1q1时时,S,Sn n= = =nana1 1n1a 1 q1 q1naa q1 q【即时应用即时应用】(1)(1)在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1=2.4,q=-1.5,

7、n=5=2.4,q=-1.5,n=5，则，则S Sn n=_.=_.(2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1=8,q= =8,q= ，a an n= = ，则，则S Sn n=_.=_.(3)(3)设等比数列设等比数列aan n 的公比的公比q=2,q=2,前前n n项和为项和为S Sn n，则，则 =_.=_.121242Sa【解析解析】(1)(1)答案答案: :5n1na 1 q2.4 11.533S.1 q1 1.54 1nn444121118aa q31222 S.11 q212Sa (1 q )112153.aa q1 q212 3331151 2 3422热

8、点考向热点考向 1 1 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【方法点睛方法点睛】1.1.等比数列运算的通性通法等比数列运算的通性通法等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前项公式或前n n项和公式转化为方程组求解项和公式转化为方程组求解. .2.2.等比数列前等比数列前n n项和公式的应用项和公式的应用在使用等比数列的前在使用等比数列的前n n项和公式时，应首先判断公比项和公式时，应首先判断公比q q能否为能否为1 1，若能，应分若能，应分q=1q=1与与q1q1两种情况求解两种情况求解. .【提醒提醒】在运算过程中

9、，应善于运用整体代换的思想简化运算在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程的过程. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012浙江高考浙江高考) )设公比为设公比为q(qq(q0)0)的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n. .若若S S2 2=3a=3a2 2+2+2，S S4 4=3a=3a4 4+2+2，则，则q=_.q=_.(2)(2)设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a a2 2=6,6a=6,6a1 1+a+a3 3=30,=30,求求a an n和和S Sn n. .【规范解答规范解

10、答】(1)(1)由由S S2 2=3a=3a2 2+2+2，S S4 4=3a=3a4 4+2+2相减可得相减可得. .a a3 3+a+a4 4=3a=3a4 4-3a-3a2 2，同除以，同除以a a2 2可得可得2q2q2 2-q-3=0-q-3=0，解得，解得 或或q=-1.q=-1.因为因为q q0 0，所以，所以答案：答案：3q,23q232(2)(2)设设aan n 的公比为的公比为q q，由题意得，由题意得解得解得当当a a1 1=3,q=2=3,q=2时，时，a an n=3=32 2n-1n-1,S,Sn n=3=3(2(2n n-1)-1)；当当a a1 1=2,q=3=

11、2,q=3时，时，a an n=2=23 3n-1n-1,S,Sn n=3=3n n-1.-1.1211a q66aa q3011a3a2,q2q3或【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中中, ,若将若将“a a2 2=6,6a=6,6a1 1+a+a3 3=30=30”改为改为“a a1 1+a+a2 2=12,a=12,a2 2a a4 4=1=1”，试求，试求a an n和和S Sn n. .【解析解析】设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，由题意知，由题意知1241112211a 1q12a q1a 1q12a 1q12a q1a q1 或解得解得当当a a1 1

12、=9,q= =9,q= 时时,a,an n=9=9( )( )n-1n-1=3=33-n3-n, ,S Sn n= (27-3= (27-33-n3-n).).当当a a1 1=16,q= =16,q= 时时,a,an n=16=16( )( )n-1n-1=(-1)=(-1)n-1n-14 43-n3-n, ,S Sn n= = 64-(-1)64-(-1)n n4 43-n3-n. .11a9a16,11qq34 或131312141415【变式备选变式备选】(1)(1)已知已知S Sn n为等比数列为等比数列aan n 的前的前n n项和，项和，S Sn n=93=93，a an n=4

13、8=48，公比，公比q=2q=2，则项数，则项数n=_.n=_.(2)(2)已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为列，首末两数之和为3737，中间两数之和为，中间两数之和为3636，求这四个数，求这四个数. .【解析解析】(1)(1)由由S Sn n=93=93，a an n=48=48，公比，公比q=2q=2，根据等比数列的前，根据等比数列的前n n项项和公式和通项公式可得和公式和通项公式可得答案答案: :5 5n1nn 11a2193232n5.a 248(2)(2)方法一：设前方法一：设前2 2个数分别为个数

14、分别为a a，b,b,则第则第3 3、4 4个数分别为个数分别为36-b,37-a36-b,37-a，则，则 ，解得，解得所以这四个数分别为所以这四个数分别为12,16,20,2512,16,20,25或者或者22b36ba36bb(37a)99aa124b1681b4或；99 81 63 49,.4444方法二：设第方法二：设第2 2、3 3个数分别为个数分别为b,cb,c，则第，则第1 1个数为个数为2b-c2b-c，第，第4 4个数个数为为 ，则，则或或所以这四个数分别为所以这四个数分别为12,16,20,2512,16,20,25或者或者2cb2cb162bc37bc20bc36 81

15、b463c4；99 81 63 49,.4444方法三：设第方法三：设第1 1、3 3个数分别为个数分别为a,ca,c，则第，则第2 2、4 4个数分别为个数分别为 ，然后根据题意可知，然后根据题意可知解得解得 或者或者 , ,从而解得这四个数分别为从而解得这四个数分别为12,16,20,2512,16,20,25或者或者 2ac2c,2ac22ca37ac,acc36299 81 63 49,.4444a12c2099a463c4热点考向热点考向 2 2 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【方法点睛方法点睛】等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)(1)定义法：若定义法：若 (q(q

16、为非零常数为非零常数,nN,nN* *) )或或 (q(q为非零为非零常数且常数且n2,nNn2,nN* *) )，则，则aan n 是等比数列是等比数列. . (2)(2)中项公式法：若数列中项公式法：若数列aan n 中，中，a an n00且且a an+1n+12 2=a=an na an n+2+2(nN(nN* *) )，则数列，则数列aan n 是等比数列是等比数列. .n 1naqann 1aqa(3)(3)通项公式法：若数列通项公式可写成通项公式法：若数列通项公式可写成a an n=cq=cqn n(c(c，q q均是不为均是不为0 0的常数，的常数，nNnN* *) )，则，

17、则aan n 是等比数列是等比数列. .(4)(4)前前n n项和公式法：若数列项和公式法：若数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=kq=kqn n-k(k-k(k为常数为常数且且k0k0，q0,1)q0,1)，则，则aan n 是等比数列是等比数列. .【提醒提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定而后两种方法常用于选择、填空题中的判定. . 【例例2 2】设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知a a1 1=1,S=1,Sn n+1+1=4a

18、=4an n+2.+2.(1)(1)设设b bn n=a=an n+1+1-2a-2an n，证明数列，证明数列bbn n 是等比数列是等比数列. .(2)(2)在在(1)(1)的条件下证明的条件下证明 是等差数列是等差数列, ,并求并求a an n. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用S Sn n+1+1=4a=4an n+2+2，寻找，寻找b bn n与与b bn-1n-1的关系的关系. .(2)(2)先求先求b bn n，再证明数列，再证明数列 是等差数列，最后求是等差数列，最后求a an n. .nna2nna2【规范解答规范解答】(1)(1)由由a a1 1=1,=1,及及S

19、 Sn n+1+1=4a=4an n+2,+2,有有a a1 1+a+a2 2=4a=4a1 1+2,a+2,a2 2=3a=3a1 1+2=5,+2=5,bb1 1=a=a2 2-2a-2a1 1=3.=3.由由S Sn n+1+1=4a=4an n+2 +2 知当知当n2n2时，有时，有S Sn n=4a=4an n-1-1+2 +2 - -得得a an n+1+1=4a=4an n-4a-4an n-1-1，a an n+1+1-2a-2an n=2(a=2(an n-2a-2an n-1-1) )又又b bn n=a=an n+1+1-2a-2an n，b bn n=2b=2bn-1n

20、-1, ,bbn n 是首项是首项b b1 1=3,=3,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得b bn n=a=an n+1+1-2a-2an n=3=32 2n-1n-1, ,数列数列 是首项为是首项为 ，公差为，公差为 的等差数列的等差数列. .a an n=(3n-1)=(3n-1)2 2n-2n-2. .n 1nn 1naa3,224nna21234nna1331n1n,22444【反思反思感悟感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把在证明本题时，首先利用转化的思想，把S Sn n+1+1=4a=4an n+2+2转化为转化为a an n+

21、1+1与与a an n的关系，然后作商的关系，然后作商 或或 ，在作，在作商时，无论使用商时，无论使用 ，还是，还是 ，都要考虑比值中是否包含了，都要考虑比值中是否包含了 这一项，这是很容易被忽视的地方这一项，这是很容易被忽视的地方. .n 1nbbnn 1bbn 1nbbnn 1bb21bb【变式训练变式训练】数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若a an n+S+Sn n=n,c=n,cn n=a=an n-1-1，求证求证: :数列数列ccn n 是等比数列是等比数列. .【证明证明】aan n+S+Sn n=n,=n,aa1 1+S+S1 1=1,=1,得得

22、c c1 1=a=a1 1-1=-1=又又a an n+1+1+S+Sn n+1+1=n+1,=n+1,11a2，1.22a2an n+1+1-a-an n=1,=1,即即2(a2(an n+1+1-1)=a-1)=an n-1.-1.又又a a1 1-1=-1= , ,即即数列数列ccn n 是以是以 为首项，以为首项，以 为公比的等比数列为公比的等比数列. .1,2n 1na11a12n 1nc1,c21212热点考向热点考向 3 3 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用【方法点睛方法点睛】等比数列的常见性质等比数列的常见性质(1)(1)若若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kNm

23、+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN* *),),则则a am maan n=a=ap paaq q=a=ak k2 2；(2)(2)通项公式的推广：通项公式的推广：a an n=a=am mqqn-mn-m(m,nN(m,nN* *) )；(3)(3)若数列若数列aan n,b,bn n(项数相同项数相同) )是等比数列，则是等比数列，则aan n, ,a ,an n2 2,a,an nbbn n, (0), (0)仍然是等比数列；仍然是等比数列；n1annab(4)(4)在等比数列在等比数列aan n 中，等距离取出若干项也构成一个等比数中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即列，即

24、a an n,a,an n+k+k,a,an n+2k+2k,a,an n+3k+3k,为等比数列，公比为为等比数列，公比为q qk k；(5)(5)若公比不为若公比不为-1-1的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n, ,S S3n3n-S-S2n2n成等比数列，其公比为成等比数列，其公比为q qn n，而当公比为，而当公比为-1-1时，则时，则S Sn n, ,S S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n不一定构成等比数列不一定构成等比数列. . 【例例3 3】(1)(1)已知各项均为正数的等

25、比数列已知各项均为正数的等比数列aan n 中中, ,a a1 1aa2 2aa3 3=5,a=5,a7 7aa8 8aa9 9=10=10，则，则a a4 4aa5 5aa6 6=( )=( )(A) (B)7 (C)6 (D)(A) (B)7 (C)6 (D)(2)(2)已知等比数列已知等比数列aan n 满足满足a an n0 0，n=1,2,n=1,2,且且a a5 5aa2n-52n-5= =2 22n2n(n3)(n3)，则，则loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2n-12n-1等于等于( )( )(A)n(2n-1) (B)

26、(n+1)(A)n(2n-1) (B)(n+1)2 2(C)n(C)n2 2 (D)(n-1)(D)(n-1)2 25 24 2【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用a a1 1a a2 2a a3 3,a,a4 4a a5 5a a6 6,a,a7 7a a8 8a a9 9成等比成等比数列求解数列求解. .(2)(2)根据根据a a5 5a a2n-52n-5=a=an n2 2先求先求a an n，再代入求解，再代入求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.aA.a1 1a a2 2a a3 3,a,a4 4a a5 5a a6 6,a,a7 7a a8 8a a9 9成等成等

27、比数列比数列, ,(a(a4 4a a5 5a a6 6) )2 2=(a=(a1 1a a2 2a a3 3)(a)(a7 7a a8 8a a9 9)=50,)=50,又又a an n0,0,aa4 4a a5 5a a6 6= =5 2.(2)(2)选选C.aC.a5 5a a2n-52n-5=a=an n2 2=2=22n2n且且a an n0,0,aan n=2=2n n, ,aa2n-12n-1=2=22n-12n-1, ,loglog2 2a a2n-12n-1=2n-1,=2n-1,loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+ +log+log2 2a a

28、2n-12n-1=1+3+5+=1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2. .【反思反思感悟感悟】1.1.解答本例解答本例(1)(1)时时, ,也可用整体代入的方法求解也可用整体代入的方法求解, ,但不如用等比数列的性质简单但不如用等比数列的性质简单. .2.2.利用等比数列的性质解决问题时利用等比数列的性质解决问题时, ,一定要注意每一项的下标一定要注意每一项的下标, ,不要犯不要犯a a2 2a a5 5=a=a7 7的错误的错误. .【变式备选变式备选】在等比数列在等比数列aan n 中，中，a an n0,0,若若(2a(2a4 4+a+a2 2+a+a6 6)a)a4 4

29、=36=36，则则a a3 3+a+a5 5=_.=_.【解析解析】aan n 是等比数列是等比数列,a,an n0,0,(2a(2a4 4+a+a2 2+a+a6 6)a)a4 4=2a=2a4 42 2+a+a2 2a a4 4+a+a6 6a a4 4=a=a3 32 2+a+a5 52 2+2a+2a3 3a a5 5=(a=(a3 3+a+a5 5) )2 2=36,=36,aa3 3+a+a5 5=6.=6.答案答案: :6 6 1.(20121.(2012新课标全国卷新课标全国卷) )已知已知aan n 为等比数列，为等比数列，a a4 4+a+a7 7=2=2，a a5 5a

30、a6 6=-8=-8，则，则a a1 1+a+a1010=( )=( )(A)7 (B)5 (A)7 (B)5 (C)-5 (C)-5 (D)-7(D)-7【解析解析】选选D.aD.an n 为等比数列，为等比数列，a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7=-8=-8，联立，联立 解得解得 或或 或或q q3 3=-2=-2，故故a a1 1+a+a1010= =4747aa2,a a8, 47a4,a2 47a2,a4, 31q2 3473aaq7.q 2.(20122.(2012湖北高考湖北高考) )定义在定义在(-(-，0)(00)(0，+)+)上的函数上的函数f(x)f(x)

31、，如果对于任意给定的等比数列如果对于任意给定的等比数列aan n ，f(af(an n)仍是等比数列，则仍是等比数列，则称称f(x)f(x)为为“保等比数列函数保等比数列函数”. .现有定义在现有定义在(-(-，0)(00)(0，+)+)上的如下函数：上的如下函数：f(x)=xf(x)=x2 2；f(x)=2f(x)=2x x；f(x)= f(x)= f(x)=ln|x|.f(x)=ln|x|.则其中是则其中是“保等比数列函数保等比数列函数”的的f(x)f(x)的序号为的序号为( )( )(A)(A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)x；【解析解析】选选C. C. 则对于则对于可

32、知符合题意可知符合题意; ;对于对于: :结果不能保证是定值结果不能保证是定值; ;对于对于: :可知也符合题意可知也符合题意. .此时可知结果此时可知结果. .n 1naq,a2n 12n 12nnf aa:q ,f aan 1n 1nnan 1aaanf a22f a2n 1n 1nnf aa|q|,f aa3.(20133.(2013福州模拟福州模拟) )已知等比数列已知等比数列aan n 中，中，a a1 1=2,=2,且有且有a a4 4a a6 6=4a=4a7 72 2, ,则则a a3 3=( )=( )(A) (B)1 (C)2 (D)(A) (B)1 (C)2 (D)【解析

33、解析】选选B.B.因为因为aan n 为等比数列，且为等比数列，且a a4 4a a6 6=4a=4a7 72 2, ,所以所以a a5 52 2=4a=4a7 72 2, ,即即求得求得q q2 2= = 所以所以a a3 3=a=a1 1q q2 2=2=2 =1. =1.故选故选B.B.1214121,2275a1()a4，4.(20124.(2012辽宁高考辽宁高考) )已知等比数列已知等比数列aan n 为递增数列，且为递增数列，且a a5 52 2= =a a1010，2(a2(an n+a+an+2n+2)=5a)=5an+1n+1, ,则数列则数列aan n 的通项公式的通项公

34、式a an n=_.=_.【解析解析】由于由于aan n 为等比数列，设其公比为等比数列，设其公比q q，由由2(a2(an n+a+an+2n+2)=5a)=5an+1n+1得得2(a2(a1 1q qn-1n-1+a+a1 1q qn+1n+1)=5a)=5a1 1q qn n，解得，解得 或或q=2.q=2.又由又由a a5 52 2=a=a1010(a(a1 1q q4 4) )2 2=a=a1 1q q9 9a a1 1=q=q，则，则a a1 10,0,由于等比数列由于等比数列aan n 为递增数列且为递增数列且a a1 10 0，所以，所以q=2q=2，且，且a a1 1=2.=2.故故a an n=a=a1 1q qn-1n-1=2=2n n. .答案：答案：2 2n n1q2