奥数知识点解析之抽屉原理



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1、 奥数知识点解析之抽屉原理 第一步:初步理解该知识点的定理及性质 1、提出疑问:什么是抽屉原理? 2、抽屉原理有哪些内容呢? 【抽屉原理1】:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件; 【逆抽屉原理】:从n个抽屉中拿出多于n件的物品,那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。 【抽屉原理2】:将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。 第二步:学习最具有代表性的题目 【例1】证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。 【例2】对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和
2、能被3整除。 【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。 第三步:找出解决此类问题的关键 【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。 【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12。 【例5】从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。 {1,2,4,8,16} {3,6,12},{5,10,20} {7,14},{9,18}
3、{11},{13},{15},{17},{19}。 【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。 推荐精选 第四步:重点解决该类型的拓展难题 我们先来做一个简单的铺垫题: 【铺垫】请说明,任意3个自然数,总有2个数的和是偶数。 【例6】请说明,对于任意的11个正整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除。 【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”,都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。 什么是抽屉原理? (1)举例 桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以
4、放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 (2)定义 一般情况下,把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 (一)、利用公式进行解题 苹果÷抽屉=商……余数 余数:(1)余数=1, 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数=, 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里 (3)余数=0, 结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
5、(二)、利用最值原理解题 推荐精选 将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法. 举个例子:把3个苹果任意放到2个抽屉里,必有一个抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简单的道理,在数学上就叫做抽屉原理。 应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题,当然在实际问题中,“抽屉”和“物体”的表述是不明确的,解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”,哪个概念对应的是“物体”,精心制造“抽屉”是解决此类问题的关键。 【题目1】: 至少在多少个人中,才能找到两个同月份出生的人? 【解析】: 每年都有12个不同的月
6、份,可以看着是12个抽屉。人就看着苹果。 原题就相当于:多少个苹果放到12个抽屉里,可以保证至少有一个抽屉里有2个苹果? 12+1=13(人) 所以至少在13个人中,才能找到两个同月份出生的人。 【题目2】: 在任意3个自然数中,是否其中必然有两个数,它们的和为偶数?为什么? 【解析】: 我们先把奇数看作一个抽屉,把偶数看作一个抽屉。 自然数不是奇数就是偶数,那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数,把这3个数放到上面奇、偶数两个抽屉里,至少有一个抽屉里有两个数,即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。 假如3个数中有两个奇数,这两个奇数的和一定是偶数;假如3个数中有两个偶数
7、,这两个偶数的和也一定是偶数。 所以在任意3个自然数中,其中必然有两个数,它们的和为偶数。 推荐精选 【题目3】: 班上有50名小朋友,老师至少要拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书? 【解析】: “保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是:保证至少有一个小朋友最少得到两本书。 我们把50个小朋友看着50个抽屉,至少要多少本书放到50个抽屉里,能保证至少有一个抽屉里最少有两本书呢:50+1=51(本)。 【题目4】: 在1,2,3,…,99,100这100个整数中,选出一些数,使得任意两数的差都不等于1,2,6,那么,从中最多能
8、选出几个数? 【解析】: 第一步:先从1开始列一列。 ①先选1;②至少加3(差不能为1、2)选4;③至少要加4(差也不能为6)选8;④接着再加3选11;⑤加4选15……可列举如下: 1、4、8、11、15、18、22、25.29…… 第二步:观察上面的数列,找规律。 从1到7七个数中可以选2个数;从8到14七个数中又可以选2个数;从15到21七个数中又可以选2个数…… 即每7个数一组可以选出2个数,这2个数可以选7个数中的第1个和第4个。 100÷7=14(组)……2(个) 共有14组,每组选2个数,还剩下2个数,即第十五组的第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选的。所以从
9、中最多可以选出数: 14×2+1=29(个)。 【题目5】: 推荐精选 泡泡糖出售机内有各种颜色的糖,有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。如果投入1元钱钱币可得到1颗糖,那么至少投入多少元钱,就可以保证得到5颗颜色相同的糖? 【解析】: 这里共有4种颜色的糖果,除了蓝色糖果3颗,其它颜色糖果都不少于5颗。从最糟糕的情况考虑:投币先得到蓝色糖3颗,其它颜色糖每种4颗。 这时候再买一颗糖,无论是哪种颜色的糖,就得到了这种颜色的糖5颗。 一元钱一颗糖,买这些糖至少要投入钱币:3×4+3+1=16(颗)。 本题依据抽屉原理2:把多于mn个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 【题目6】: 2行5列共10个小方格,将每个小方格涂上红色或蓝色。试论:无论如何涂法,其中至少有两列,它们的涂色方式是一样的。 【解析】: 2行5列的小方格,每列有2个小方格竖排,每个小方格涂上红色或蓝色,共有如下4种涂法(看着4个抽屉): 红 红 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!) 推荐精选
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