奥数知识点解析之抽屉原理

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1、 奥数知识点解析之抽屉原理 第一步：初步理解该知识点的定理及性质 　　1、提出疑问：什么是抽屉原理？ 　　2、抽屉原理有哪些内容呢？ 　　【抽屉原理1】：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件； 　　【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品，那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。 　　【抽屉原理2】：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 　　第二步：学习最具有代表性的题目 　　【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 　　【例2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和

2、能被3整除。 　　【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。 　　第三步：找出解决此类问题的关键 　　【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 　　【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。 　　【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 　　｛1，2，4，8，16｝ 　　｛3，6，12｝，｛5，10，20｝ 　　｛7，14｝，｛9，18｝ 　　

3、｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 　　【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。 推荐精选 　　第四步：重点解决该类型的拓展难题 　　我们先来做一个简单的铺垫题： 　　【铺垫】请说明，任意3个自然数，总有2个数的和是偶数。 　　【例6】请说明，对于任意的11个正整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。 　　【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。 什么是抽屉原理？ （1）举例 　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以

4、放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 　　（2）定义 　　一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 （一）、利用公式进行解题 　　苹果÷抽屉＝商……余数 　　余数：（1）余数＝1，                 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 　　（2）余数＝，  结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 　　（3）余数＝0，                          结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 　　

5、（二）、利用最值原理解题 推荐精选 　　将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 举个例子：把3个苹果任意放到2个抽屉里，必有一个抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简单的道理，在数学上就叫做抽屉原理。 应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题，当然在实际问题中，“抽屉”和“物体”的表述是不明确的，解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”，哪个概念对应的是“物体”，精心制造“抽屉”是解决此类问题的关键。 【题目1】： 至少在多少个人中，才能找到两个同月份出生的人？ 【解析】： 每年都有12个不同的月

6、份，可以看着是12个抽屉。人就看着苹果。 原题就相当于：多少个苹果放到12个抽屉里，可以保证至少有一个抽屉里有2个苹果? 12+1=13（人） 所以至少在13个人中，才能找到两个同月份出生的人。 【题目2】： 在任意3个自然数中，是否其中必然有两个数，它们的和为偶数？为什么？ 【解析】： 我们先把奇数看作一个抽屉，把偶数看作一个抽屉。 自然数不是奇数就是偶数，那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数，把这3个数放到上面奇、偶数两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两个数，即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。 假如3个数中有两个奇数，这两个奇数的和一定是偶数；假如3个数中有两个偶数

7、，这两个偶数的和也一定是偶数。 所以在任意3个自然数中，其中必然有两个数，它们的和为偶数。 推荐精选 【题目3】： 班上有50名小朋友，老师至少要拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书？ 【解析】： “保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是：保证至少有一个小朋友最少得到两本书。 我们把50个小朋友看着50个抽屉，至少要多少本书放到50个抽屉里，能保证至少有一个抽屉里最少有两本书呢：50+1=51（本）。 【题目4】： 在1，2，3，…，99，100这100个整数中，选出一些数，使得任意两数的差都不等于1，2，6，那么，从中最多能

8、选出几个数？ 【解析】： 第一步：先从1开始列一列。 ①先选1；②至少加3（差不能为1、2）选4；③至少要加4（差也不能为6）选8；④接着再加3选11；⑤加4选15……可列举如下： 1、4、8、11、15、18、22、25.29…… 第二步：观察上面的数列，找规律。 从1到7七个数中可以选2个数；从8到14七个数中又可以选2个数；从15到21七个数中又可以选2个数…… 即每7个数一组可以选出2个数，这2个数可以选7个数中的第1个和第4个。 100÷7=14（组）……2（个） 共有14组，每组选2个数，还剩下2个数，即第十五组的第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选的。所以从

9、中最多可以选出数： 14×2＋1=29（个）。 【题目5】： 推荐精选 泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？ 【解析】： 这里共有4种颜色的糖果，除了蓝色糖果3颗，其它颜色糖果都不少于5颗。从最糟糕的情况考虑：投币先得到蓝色糖3颗，其它颜色糖每种4颗。 这时候再买一颗糖，无论是哪种颜色的糖，就得到了这种颜色的糖5颗。 一元钱一颗糖，买这些糖至少要投入钱币：3×4＋3＋1=16（颗）。 本题依据抽屉原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 【题目6】： 2行5列共10个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色。试论：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式是一样的。 【解析】： 2行5列的小方格，每列有2个小方格竖排，每个小方格涂上红色或蓝色，共有如下4种涂法（看着4个抽屉）： 红         红           蓝          蓝 红         蓝           蓝          红 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选