五t分布与总体均数的估计

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1、t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计哥塞特(W.S. GossetW.S. Gosset，18761937)1908年，哥塞特首次以“学生”(StudentStudent)为笔名，在生物计量学杂志上发表了“平均数的概率误差”。由于这篇文章提供了“学生t检验”的基础，为此，许多统计学家把1908年看作是统计推断理论发展史上的里程碑。 t 分布o 戈塞特：t分布与小样本o 由于“有些实验不能多次地进行”，从而“必须根据少数的事例（小样本）来判断实验结果的正确性” 小样本思想：t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总

2、体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计vt分布曲线是单峰分布，以0为中心，左右两侧对称，v曲线的中间比标准正态曲线（u分布曲线）低，两侧翘得比标准正态曲线略高。vt分布曲线随自由度而变化，当样本含量越小（严格地说是自由度 =n-1越小），t分布与u分布差别越大；当逐渐增大时，t分布逐渐逼近于u分布，当 =时，t分布就完全成正态分布 。vt分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。vt分布下面积分布规律：查t分布表。 t分布曲线的特征 t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t

3、t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计t 分布t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计总体均数的估计 统计学中的统计推断包括两个重要的方面：一是利用样本统计统计学中的统计推断包括两个重要的方面：一是利用样本统计量的信息对相应总体参数值做出推断，如用样本均数估计总体量的信息对相应总体参数值做出推断，如用样本均数估计总体均数，用样本标准差均数，用样本标准差S S估计总体标准差等，称之为估计。另一个估计总体标准差等，称之为估计。另一个是利用样本统计量来推断我们是否接受一个事先的假设，

4、称之是利用样本统计量来推断我们是否接受一个事先的假设，称之为假设检验。本章只讨论参数估计，假设检验将在下一章中讨为假设检验。本章只讨论参数估计，假设检验将在下一章中讨论。而参数估计又分为论。而参数估计又分为点估计与区间估计。点估计与区间估计。t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计 点估计点估计 总体均数的点估计总体均数的点估计(point estimation)(point estimation)就是用样本均数来直就是用样本均数来直接地估计总体均数，即。这种方法比较简单，由于没有考虑到抽样误差，接地估计总体均数，即。这种方法比

5、较简单，由于没有考虑到抽样误差，只适合大样本资料的统计推断。只适合大样本资料的统计推断。 区间估计区间估计 总体均数的区间估计总体均数的区间估计(interval estimation)(interval estimation)是利用样本信是利用样本信息给出一个区间，并同时给出重复试验时该区间包含总体均数的概率。即息给出一个区间，并同时给出重复试验时该区间包含总体均数的概率。即按预先给定的概率（按预先给定的概率（1-1-）估计包含未知总体参数的范围。该范围通常称）估计包含未知总体参数的范围。该范围通常称为参数的可信区间（为参数的可信区间（confidence internalconfidenc

6、e internal，CICI）。可信区间的确切含义）。可信区间的确切含义是指：有是指：有1-1-（如（如95%95%）的可能可信区间包含总体参数。可信区间通常由）的可能可信区间包含总体参数。可信区间通常由两个数值即可信限（两个数值即可信限（confidence limitconfidence limit）构成。其中较小值称为下限（）构成。其中较小值称为下限（lower limitlower limit），较大的值称为上限（），较大的值称为上限（upper limitupper limit）。）。 总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计 总体标准差未知时总体标准差未知时

7、用样本标准差用样本标准差S S作为的估计值计算标准误，按作为的估计值计算标准误，按t t分布原理分布原理根据 t 分布的原理： P（- ,2tt ,2t)1- 因xsxt 则 ,2txsx ,2t 解之得：x,2x,2stxstx 按概率为 1-估计总体均数可信区间的计算公式为：x,2stx 总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计 总体标准差未知但总体标准差未知但n n足够大时，用正态分布原理估计：足够大时，用正态分布原理估计：总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计 总体标准差已知时，用正态分布原理估计：总体标准差已知时，用正态分布原理估计：标准误愈

8、小标准误愈小，估计总体均数可信区间的范围也愈窄，说明样本均数，估计总体均数可信区间的范围也愈窄，说明样本均数与总体均数愈接近，对总体均数的估计也愈精确；与总体均数愈接近，对总体均数的估计也愈精确；反之，标准误愈大反之，标准误愈大，估计总体均数可信区间的范围也愈宽，说明样，估计总体均数可信区间的范围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远，对总体均数的估计也愈差。本均数距总体均数愈远，对总体均数的估计也愈差。总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计（1 1）统计意义：从总体中作大数次随机抽样，有统计意义：从总体中作大数次随机抽样，有95%95%求得的可信区间包含总体均求得的可信区间

9、包含总体均数。并不是做一次抽样求得可信区间包括数。并不是做一次抽样求得可信区间包括的概率是的概率是0.950.95，对一次抽样而言只，对一次抽样而言只有两种可能，要么可信区间包含有两种可能，要么可信区间包含，要么不包含，要么不包含，即可信区间一旦形成，它，即可信区间一旦形成，它要么包含总体参数，要么不包含总体参数，二者必居其一，无概率可言。所谓要么包含总体参数，要么不包含总体参数，二者必居其一，无概率可言。所谓9595的可信度是针对可信区间的构建方法而言的。其涵义是：如果重复的可信度是针对可信区间的构建方法而言的。其涵义是：如果重复100100次次抽样，每次样本含量均为抽样，每次样本含量均为n

10、 n，每个样本均构建可信区间，则在此，每个样本均构建可信区间，则在此100100个可信区间个可信区间内，理论上有内，理论上有9595个包含总体均数，而有个包含总体均数，而有5 5个不包含总体均数。个不包含总体均数。 （2 2）两个要素：准确度（）两个要素：准确度（accuracyaccuracy）即）即1- 1- ， 即 可 信 区 间 包 含 的 概 率 的 大 小 ， 一 般 而 言 概 率 越 大 越 好即 可 信 区 间 包 含 的 概 率 的 大 小 ， 一 般 而 言 概 率 越 大 越 好 。精密度（精密度（precisionprecision），），反映区间的长度，区间的长度越

11、窄，估计的精密度越反映区间的长度，区间的长度越窄，估计的精密度越好，反之越差。好，反之越差。 ，即区间的长度。，即区间的长度。（3 3）与医学正常值范围不同）与医学正常值范围不同总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计 在样本含量一定的情况下，二者是相互矛盾的，若考虑提高准确在样本含量一定的情况下，二者是相互矛盾的，若考虑提高准确度（即减小度（即减小 ，增大或），则区间变宽，精密度下降。因而在实际中，增大或），则区间变宽，精密度下降。因而在实际中不能笼统地认为不能笼统地认为99%99%的可信区间好于的可信区间好于95%95%的可信区间，而是需要兼顾二的可信区间，而是需要兼顾二个要素。在通常情况中，以个要素。在通常情况中，以95%95%的可信区间较为常用。在可信度固定的可信区间较为常用。在可信度固定的前提下，要提高精密度的唯一方法是扩大样本含量。的前提下，要提高精密度的唯一方法是扩大样本含量。 准确度与精密度的矛盾关系：总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计（3）可信度与可信区间：总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计（3）可信度与可信区间：总体均数的估计t t分布与总体均数的估计分布与总体均数的估计（4）可信区间与医学参考值的区别：总体均数的估计