换元积分法和分部积分法幻灯片

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1、2021/8/614.2 4.2 换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法 第四章第四章 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法三、分部积分法三、分部积分法（Integration by Substitution and Integration by Parts ）二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法2021/8/62第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有基本思路基本思路 2021/8/63在上次课中，我们学习了

2、在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质” 给出了给出了“基本积分公式表基本积分公式表” 。但是，但是，对于形如对于形如2sin2 d ;x x21d ;xx这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。我们就无能为力了。为此，为此，2021/8/64一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法定理定理4.2.1 ,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()()d( )( )xfx( )duf u)(xu(也称配元法配元法 , 凑微分法凑微分法)证明过程请看书!2021/8/6512d .xa

3、xx例例4.2.1 1 1）求求111( )lnxxaa dCxa2）求1d(1)xxx12d2arctan(1)xCxx补充例题补充例题1 求() d(1 . )maxbmx 解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC2021/8/6622 exxdx补充例题补充例题2 2求求答案：答案：2exC补充例题补充例题3 3 求求22d.xax答案：答案：1arctanxCaa例例4.2.4 求求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例4.2.5 求求22d.xxa答

4、案：答案：1ln2xaCaxa2021/8/67xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常用的几种配元形式常用的几种配元形式: : 2021/8/68xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式

5、 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21补充例题补充例题4 4 求自主学习课本自主学习课本P141P141例例4.2.64.2.6、例例4.2.74.2.7、例例4.2.84.2.82021/8/69例例4.2.9 求tan dcot dx xx x和解解:xdxdxxxxdxsinsin1sincoscotCx + sin ln=类似可求得xdxtanCx cos ln . dsec xx求xxxxxxxxdtansec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxfxxfxf | )(|lnd)()( :一般

6、有例例4.2.10 解解:2021/8/610解法解法2 （与课本解法不一样）（与课本解法不一样）xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln212021/8/611补充例题补充例题5 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC补充例题补充例题6 6求35cossindxxx4681111coscoscos438xxxC或或68211sinsin.68xxC2021/8/612解 .

7、 d)ln(ln1 2xxxx计算xxxxxxxxxd)ln1 (ln1d)ln(ln1222 dln1d ln1 2，故，则令xxxuxxu dd)ln(ln122uuxxxx 1Cu . lnCxxx补充例题补充例题7 72021/8/613 . )0( d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsin22Cxaaxa补充例题补充例题8 8解解:2021/8/614 . d)1 ( arctan xxxx计算，故，则令xxuxu2dd uuuxxxxd1arctan2d)1 ( arcta

8、n2，从而，则令21dd arctan uuvuv d2d)1 ( arctanvvxxxxCv 2. ) (arctan)(arctan22CxCu 换元法可以连续使用补充例题补充例题9 9解解:2021/8/615)2cos2cos21 (241xx 4cosd .x x求求解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C补充例题补充例题10 10 自主学习课本

9、自主学习课本P141P141例例4.2.114.2.11例例4.2.134.2.132021/8/616二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则用第二类换元积分法第二类换元积分法 .难求，uufd)(2021/8/617)()()(ttft( )xt是单调可导函数 , 且( )0,t ( )( )ftt具有原函数 ,1( )( )d ( )( )dtxf xxfttt证明略证明略, 详细过程可参见课本详细过程可参见课本P142则有换元公式定理定理4.2.2 设设1( )( )txxt其其

10、中中是是的的反函数反函数2021/8/618d1xx . . 1+1+d2 dtxxtt令令，故故 1+ 1+ dd211xtttx 1+1+tttd111 2ttd) 111 ( 2Ctt) | 1|ln ( 222ln(1).xxC1 1+ +1 1+ + 例例4.2.14 计算1）解解:2021/8/619掉根式。积分，原则上是设法去对于含有根式的函数的分。的不含根式的函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的 2021/8/620 . d 3xxx计算 . 6 , ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx , 0 , 61txt令 ,d 6d

11、 , 56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd) 111 (62Ctttt | 1|ln6 6 3 223 . ) 1ln(6632663Cxxxx补充例题补充例题1111解解:2021/8/621 . , , , , . , , , , , 2111的最小公倍数为分母其中可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来nkqpqpqqqkxtxxxnn2021/8/622. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2tta

12、x22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22补充例题补充例题12 12 求求自主学习课本自主学习课本P142例例4.2.14 2）2021/8/623. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C补充例题补充例题1313 求求自主学习课本自主学习课本P142例例4.2.152021/8/624. )0(d22aaxx解解:,时当

13、ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa补充例题补充例题1414 求求2021/8/625,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln自主学习课本自主学习课本P143例例4.2.162021/8/62622(1) axtaxsin或或taxcos

14、22(2) axtaxtan22(3)xataxsec从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换 可作代换可作代换可作代换可作代换2021/8/627解解 于是于是222d()xxa2422secd(tan1)attat 231cosdtta311(sin2 )24ttCa311(sin cos )22tttCa32221arctan22()xxCaaaxa2021/8/628第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(2

15、2xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch第三节讲第三节讲2021/8/629xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat 2. 2. 常用基本积分公式的常用基本积分公式的补充补充 2021/8/630 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22C

16、axaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln2021/8/631前面，我们利用复合函数的求到法则得到了前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法换元积分法” 。但是，但是，对于形如对于形如e d ;xxxln d ;xx xsin d ;xx x的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算. 注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的

17、积分方法：这就是另一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，2021/8/632vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu由导数乘法公式：2021/8/633 第四章第四章 （Integration by Parts）sind .求 xx x补充例题补充例题1616解解: 令,xu sin ,vx 则, 1 ucosvx 原式( cos )xx( cos )

18、 dxxcossinxxxC 另解另解: 令sin ,ux,vx 则cos ,ux 22xv 原式2sin2xx2cosd2xx x三、分部积分法三、分部积分法答案答案sincosxxxC2021/8/634一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 ,两个函数的乘积 .2021/8/635:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后

19、者为u.v补充例题补充例题18 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数解题技巧解题技巧: :自主学习课本自主学习课本P144-P145例例4.2.18与例与例4.2.192021/8/636答案：答案： 11(31)cos3sin333xxxC2e2 e2exxxxxC. .答案：答案： ln d .xx x求求补充例题补充

20、例题2222答案：答案： 2211ln24xxxC补充例题补充例题2323答案：答案： 2arcsin1xxxC2021/8/637.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21补充例题补充例题24242021/8/638.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 补充例题补充例题2626自主学习课本自主学习课本P145-P146P145-P146例例4.2.20-4.2.20-例例4.2.244.2.24