9第一类曲线积分

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1、1 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral2问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分3一、问题的提出实例实例sM 匀质匀质之质量之质量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取极限取极限M取近似取近似曲线形构件的质量

2、曲线形构件的质量近似值近似值精确值精确值对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM4二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,is 为为又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函数函数作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值,0时时 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第

3、设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nM MM5曲线形构件的质量曲线形构件的质量 LsyxMd),( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(这和的极限存在这和的极限存在, 则称此极限为则称此极限为),(yxf函数函数在曲线弧在曲线弧 L 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分. . 积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作 niiiisf1),( niiiisf1),( 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分0lim 注意

4、: 被积表达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程.62. 存在条件存在条件上上在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当Lyxf),(3. 推广推广上上在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分连续连续, ,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分为iniiiisf 10),(lim对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分7注意注意,)()1(是是分分段段光光滑滑的的或或若若 L 21d),(LLsyxf在在函函数数),()2(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf闭曲线闭曲线L L上上对弧

5、长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作(对路径具有可加性对路径具有可加性)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分84. 性质性质 Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)( 为常数为常数kk(3) 与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关,即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分9 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上关于关于x 的奇函数的奇函数 Lsyxfd),(是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 ,d),(21 LsyxfL1是曲线是曲线L落在落

6、在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于x=0 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, ),(yxf设函数设函数则则, 0当当),(yxf(或或y)(或或y)当当),(yxf(或或y=0)(或或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时计算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与积与积分曲线分曲线L的对称性的对称性.),(yxf对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 10例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圆周是圆周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx对对因因积

7、分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上0d Lsx Lsy,d3对对被积函数被积函数0d3 Lsy因因积分曲线积分曲线L关于关于3y222Ryx 对称性对称性, ,计算计算得得0 是是L上上 x=0对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数 y=0对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xyO11三、对弧长曲线积分的计算定理定理),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为上上在在曲曲线线弧弧设设Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )( 有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数, Lsyxfd),

8、( 解法解法 化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注意注意对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求0d s(1)化为定积分的下限化为定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限 22( )( )dttt(2) 积分值与曲线方向无关积分值与曲线方向无关.12特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d

9、2 yy d)(12 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt13 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分),()()( ttytxL的参数方程为的参数方程为特殊情形特殊情形)()(),(),(: ttztytx推广推广 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt14 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程中中某某

10、一一个个选选择择zyx,(再按上述方法计算再按上述方法计算.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分为参数为参数),L如果积分路径 是两个曲面的交线15例例1解解例例2)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原点点到到为为其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka yy d12 对对x积分积分?)2 , 2( 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分xy22 xyO16例例3).0(222 xRyxABCL解解xysd1d

11、2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|0 22R 的的如图如图半圆周半圆周由曲线由曲线)(ABCL ABsy d| BCsy d|对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分得得xyO|d ,LysL计算其中 是右半圆周 即222,xyR方程17即即是右半圆周是右半圆周其中其中计算计算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此题时也可用解此题时也可用,轴轴对对称称关关于于xL故故 Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函数的偶函数为为yy Ry02对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对称性质对称性质ABCLxyO18例例4 . 0,d22222zyxazyx

12、sxI为圆周为圆周其中其中求求 解解 由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球面大圆周长球面大圆周长 sa有有 szyxd)(22231对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全对称对称, 19例例5 曲线曲线是中心在是中心在( ,0),R半径为R的上半圆周的上半圆周.求求22()xyds对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分提示提示:用极坐标用极坐标20,1),(时时当当 yxf( , )f x yL当表示位于 上的 SsL),(yxfz 几何意义几何意义 Lsd(1)(2),),(处的高时处的高时柱面在点柱面在点yx对

13、弧长的曲线积分对弧长的曲线积分四、几何四、几何意义与物理意义与物理意义意义 Lsyxfd),(柱面面积柱面面积弧长弧长 L21则则为为下下半半圆圆周周设设平平面面曲曲线线,12xyL ).(d)(22 syxL曲线积分曲线积分 解解 设下半圆周的参数方程设下半圆周的参数方程 sin,cos yx则则syxLd)(22 )sin(cos22 d)(cos)sin(22 2对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分通过几何直观通过几何直观,还有更简单的方法吗还有更简单的方法吗?22例例6 求椭圆柱面求椭圆柱面22221, (0,0)xyxyab介于介于xoy平面与空间曲面平面与空间曲面xyzc之间部分的面积

14、之间部分的面积.提示提示:2222:1LxyxyAdsLcab23轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx)2(,d2 LxsyI 曲曲线线弧弧的的质质心心坐坐标标)3(,dd LLssxx 的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx),()( 1 LsyxMd),( 物理意义物理意义 LysxId2 LLssyydd 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分24例例6 已知螺旋形弹簧一圈已知螺旋形弹簧一圈的方程的方程:cossin ,02xatyattzbt 弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求求(1) 它的质量它的质量;(2) 它的重

15、心它的重心;(3) 它关于它关于z轴的转动惯量轴的转动惯量.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分25对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、质心、转动惯量曲线的质量、质心、转动惯量、引力、引力)26思考题思考题 是非题是非题 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为当利用参数方程化为定积分计算时定积分计算时,不管起点还是终点不管起点还是终点,其下限为较其下限为较小端点的参数值小端点的参数值,上限为较大端点的参数值上限为较大端点的参数值.是是对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分27作作 业业 习题习题9.1 (1709.1 (170页页) )(A)2.(4) 4. (B)1. 2. 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分