高一数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3课件 新人教A版必修1

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1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三1.对于在区间对于在区间a,b上连续不间断且上连续不间断且f(a)f(b)0的的函数函数y=f(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区的零点所在的区间间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做进而得到零点近似值的方法叫做 .2.给定精确度给定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)零点近似值的零点近似值的步骤如下：步骤如下：（1）确定区间）确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确，给定精确度度;（2）求区间）求区间(a,b)的中点的中点c;（3）计算）计

2、算f(c):一分为二一分为二二分法二分法返回返回 若若 ，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；若若 ，则令则令b=c（此时零点（此时零点x0(a,c)）;若若f(c)f(b)0,则则令令 (此时零点此时零点x0(c,b).（4）判断是否达到精确度）判断是否达到精确度:即若即若 ，则得到零，则得到零点近似值点近似值a(或或b)；否则重复（；否则重复（2）（4）.3.判断二次函数判断二次函数f(x)在区间在区间m,n(mn)上的零点个数上的零点个数时，通常考虑判别式、对称轴、时，通常考虑判别式、对称轴、 ，这一问题，这一问题叫叫 .f(c)=0f(a)f(c)0a=c|a-b|端点端点值根的分

3、布问题值根的分布问题返回返回 学点一学点一 用二分法求零点的近似值用二分法求零点的近似值求函数求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到的一个正零点（精确到0.01）.【分析【分析】要求函数的一个正零点，首先需要确定正零点要求函数的一个正零点，首先需要确定正零点所在的大致区间，然后借助计算器，利用二分法求出零所在的大致区间，然后借助计算器，利用二分法求出零点近似解点近似解.【解析【解析】由于由于f(1)=-20，因此，可取区间，因此，可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表.返回返回 端点（中点）坐标端点（中点）坐标计算中点函数值计算

4、中点函数值取值区间取值区间x1= =1.5221 1.25221x21.375211x35.25.1.4375211x45.375.1.46875211x55.4375.1.463125211x646875.4375.4453125.17xf(1)=-20f(x1)=0.3750f(x2)=-1.046 00f(x3)=-0.400 40f(x4)=-0.029 50f(x6)0f(x7)01,21,1.51.25,1.51.375,1.51.437 5,1.51.437 5,1.468 751.437 5,1.463 1251.437 5,1.445 312 5返回返回 1.445 312

5、5-1.437 5=0.007 812 50.01, 1.44为函数的一个为函数的一个近似解近似解.25 312 1.4455 1.437【评析】此类问题的求解，首先是大致区间的【评析】此类问题的求解，首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量运算量.虽然此类题要求用计算器运算，但也应虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性注意运算的准确性.另外在计算到第另外在计算到第n步时，区间步时，区间an,bn的长度应小于精确度，此时区间中点的长度应小于精确度，此时区间中点 才是零点近似解；若才是零点近似解；若|an-bn|2,则区间

6、则区间 an， , 和和 ,bn 的长度都小于的长度都小于（且（且 经过四舍五入的近似计算以后，与零点的真实经过四舍五入的近似计算以后，与零点的真实值误差就会超过值误差就会超过）,所以在计算此类问题时应注所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求意对精确度的要求.2nnba2bann2nnba2nnba返回返回 求方程求方程2x3+3x-3=0的一个实数解（精确到的一个实数解（精确到0.01）.考查函数考查函数f(x)=2x3+3x-3，从一个两端函数值反号的区间，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经试算，经试算，f(

7、0)=-30，所以函数，所以函数f(x)=2x3+3x-3在在0,2内存在零点，即方程内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在在0,2内内有解有解.取取0,2的中点的中点1，经计算，经计算，f(1)=20,又因为又因为f(0)0,所所以方程以方程2x3+3x-3=0在在0,1内有解内有解.如此下去，得到方程如此下去，得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间的表：实数解所在区间的表：返回返回 左端点左端点右端点右端点第第1次次02第第2次次01第第3次次0.51第第4次次0.50.75第第5次次0.6250.75第第6次次0.68750.75第第7次次0.718750.75第第8次次0.734

8、 3750.75第第9次次0.742 18750.75第第10次次0.742 18750.746 093 75第第11次次0.742 18750.744 140 675返回返回 可以看出区间可以看出区间0.742 187 5,0.744 140 675内的内的所有值，若精确到所有值，若精确到0.01，都是，都是0.74，所以，所以0.74是是方程方程2x3+3x-3=0精确到精确到0.01的实数解的实数解.返回返回 学点二学点二 二分法的应用二分法的应用如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房到如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障防洪指挥部的电话

9、线路发生了故障.这是一条这是一条10 km长的长的线路，如何迅速查出故障所在？线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点每查一个点要爬一次电线杆子，要爬一次电线杆子，10 km长，大约有长，大约有200多根电线杆子多根电线杆子.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到障可能发生的范围缩小到50 m100 m左右，即一两根电左右，即一两根电线杆附近，要

10、查多少次？线杆附近，要查多少次？【分析【分析】根据二分法原理求解根据二分法原理求解.返回返回 【解析【解析】（1）如图，他首先从中点）如图，他首先从中点C查查.用随身带的话用随身带的话机向两端测试时，发现机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在段正常，断定故障在BC段，段，再到再到BC段中点段中点D查，这次发现查，这次发现BD段正常，可见故障在段正常，可见故障在CD段，再到段，再到CD中点中点E来查，依次查下去来查，依次查下去（2）每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因）每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此，只要此，只要7次就够了次就够了.【评析】此方案应该说方便、迅速、准确，而

11、且很科学，在实际生活中【评析】此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题时多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，处处有数学，碰到问题时多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养更具有数学素养.返回返回 中央电视台有一档娱乐节目中央电视台有一档娱乐节目“幸运幸运52”，主持人李咏给选，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会手在限定时间内猜某一物品的售价的机会.如果猜中，就如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的某次猜一种品牌的手机，手机价格在手机，手机价格在5001 000元之间，选手

12、开始报价：元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了，紧接着报价元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；元，高了；700元，低了；元，低了；880元，高了；元，高了；850元，低了；元，低了；851元，恭喜你，元，恭喜你，猜中了猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了上，游戏报价过程体现了“逼近逼近”的数学思想，你能设的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？价格区间价格区间500,1 000的中点的中点750,如果主持人说低了，就如果主持人说低了，就再取再取

13、750,1 000的中点的中点875；否则取另一个区间；否则取另一个区间500,750的中点，若遇到小数，则取整数，照这种方的中点，若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过，经过6次可以猜中价格次可以猜中价格.返回返回 学点三学点三 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布（1）关于）关于x的方程的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且有两实根，且一个大于一个大于1，一个小于，一个小于1，求，求m的取值范围的取值范围;（2）关于）关于x的方程的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，一

14、有两实根，一根小于根小于1，另一根大于，另一根大于3，求，求m的取值范围；的取值范围；（3）关于）关于x的方程的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且有两实根，且一个大于一个大于4，一个小于，一个小于4，求，求m的取值范围的取值范围.【分析【分析】一元二次方程根的分布问题通常转化为一元二一元二次方程根的分布问题通常转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质和图象来解决次函数，利用一元二次函数的性质和图象来解决.返回返回 【解析】（【解析】（1）令令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14.对应抛物线开口向上，对应抛物线开口向上，方程有两实根，且一个大于方程有两实根，且一个大于

15、1，一个小于，一个小于1等价于等价于f(1)0,即即m .（2）令令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14.由图知原命题等价于由图知原命题等价于 f(1)0 m f(3)0 m ,即即m0 m0 g(4)0, 解得解得 - m0 0 0,解得解得7m9或或m25. 2ab0161-m0,7)-32(m-1)-(m0,7-m2返回返回 （2）当方程有一正根一负根时，当方程有一正根一负根时，f(0)0,m7.（3）方程两根均大于方程两根均大于1时，满足时，满足即即12ab001f）（1161-m0,7)-32(m-1)-(m0,7-m1m-82解得解得m25.返回返回 1.1.用二分法求函数的

16、近似零点需注意什么问题？用二分法求函数的近似零点需注意什么问题？ 2.2.在解决一元二次方程根的分布问题时，应注意哪几个方面？在解决一元二次方程根的分布问题时，应注意哪几个方面？（1 1）首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算）首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量次数和运算量. .虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性的准确性. . （2 2）在计算）在计算到第到第n n步时，区间步时，区间a an n,b,bn n的两个端点的两个端点a an n与与b bn n按照给定的精确度按照给定的精确度所取的近

17、似值相同时，这个相同的近似值才是函数所取的近似值相同时，这个相同的近似值才是函数y=f(xy=f(x) )的近的近似零点，所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求似零点，所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求. .在解决一元二次方程根的分布问题时，函数的零点在什么区间在解决一元二次方程根的分布问题时，函数的零点在什么区间内，我们主要是利用二次函数、二次方程和二次不等式之间的内，我们主要是利用二次函数、二次方程和二次不等式之间的关系进行研究的，注意考虑函数在所给区间的端点值，二次函关系进行研究的，注意考虑函数在所给区间的端点值，二次函数的开口方向与对称轴位置以及判别式大小数的开口方向与对称轴位

18、置以及判别式大小. .返回返回 1.1.用二分法求方程近似解要注意：用二分法求方程近似解要注意：（1 1）要看清题目要求的精确度；）要看清题目要求的精确度；（2 2）初始区间的限定；）初始区间的限定；（3 3）要按步骤进行）要按步骤进行. .2.2.用二分法求函数零点的近似解用二分法求函数零点的近似解x x0 0，要求精确度为，要求精确度为，即零点的近似，即零点的近似解解x x0 0与零点的真值与零点的真值的误差不超过的误差不超过.零点近似解零点近似解x0 x0的选取方法如下：的选取方法如下：（1 1）若区间）若区间(a,b(a,b) )使使|a-b|,|a-b|,则因零点值则因零点值(a,b(a,b),),所以所以a(a(或或b)b)与与真值真值满足满足|a-|a-|或或|b-|b-|，所以只需取零点近似解，所以只需取零点近似解x x0 0=a=a或或(b).(b).（2 2）若在区间）若在区间a an n,b,bn n上，上，|a|an n-b-bn n|2|2，取零点近似解，取零点近似解x x0 0= = ，则，则|x|x0 0-a| |a-a| |an n-b-bn n|.|.2nnba21返回返回