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1、1第一章第一章 几何空间中的向量几何空间中的向量第二节 向量的积n 向量的数量积n 向量积n 混合积2 cos|sFW 启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.SF3向向量量a与与b的的数数量量积积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义ab cos|baba 取值范围呢？取值范围呢？4Prcosj定义：定义： 向量向量在非零向量在非零向量 的的投影投影其中为, ,之间的夹角提示：提示： 1、投影是一个向量还是标量？、投影是一个向量还是标量？ 2、图形上怎样描绘投影（我们称为向量分解）、图形上怎样描绘投影（我们称为
2、向量分解）bkaaab a5数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和模和另一个向量在这向量另一个向量在这向量的的方向上的方向上的投影投影的的乘积乘积. .因此，内积也可以表示为|Pr. |Praba baj bbj a6投影性质投影性质（1 1）2121PrPr)(Prjjj1221（2 2）Pr j 7内积的性质：内积的性质：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aa
3、aaa 证证证证 ,2 ,2 8内积运算规律：内积运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 91 1若若a = =，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b= =02 2若若a ，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a ，a b b = =0，则，则b= =4 4若若a b= =0，则，则a, ,b中至少有一个为中至少有一个为 5 5若若a ，a b= = b c，则，则a=c例：概念判断题：例：概念判断题：10
4、数量积注意点：数量积注意点：（1 1）有没有所谓的消去率？）有没有所谓的消去率？;a ba cbc 成立吗成立吗?（2 2）有没有所谓的结合率？）有没有所谓的结合率？()()a bcab c有这样的式子吗？有这样的式子吗？11证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(几何关系代数表达几何关系代数表达12).,cos( ,3 ,32,3),(1,2, BABA求设例例13|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、二、 两向量的向量积两向量的向量积L
5、FPQO 14 sin|bac 定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.c的方向既的方向既垂直于垂直于a，又垂直于又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .“右手法则右手法则” ),(15向量积的性质：向量积的性质：(1). 0aa)0sin0( )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin 0,)(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba问题：问题：1、平行我们以前怎么判断？、平行我们以前怎么判断？ 2、平行两个向量坐标间有什么关系？、平行两个向量坐标间有什么关系？16向量积运算规律：向量积运算规律
6、：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa 3,11,30, 设求例例反交换反交换17几何意义及应用几何意义及应用abbac 18定义定义三、三、 向量的混合积向量的混合积提示：提示：1、混合积的计算结果是标量还是向量、混合积的计算结果是标量还是向量2、顺序能不能改成先内积再外积？、顺序能不能改成先内积再外积？19（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：20(2) ( , , )a b c()abcacb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面( , , )0.a b c acb cba .bac “右手法则右手法则”21解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例
12内积外积混合积
