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1、第一讲第一讲 函数与方程思想函数与方程思想函数与方程都是中学数学中最为重要的内容而函数与方程函数与方程都是中学数学中最为重要的内容而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点重点1函数的思想函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题
2、、转化问题，从而使问题获得解决函数思想质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题经常利用的性质是知识或函数观点观察、分析和解决问题经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等2方程的思想方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者方程或方程组，或者构造方程，通
3、过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系研究运动中的等量关系3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，方程问题来解决；方程问
4、题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程如解方程f(x)0，就是求函数，就是求函数yf(x)的零点，解不等式的零点，解不等式f(x)0(或或f(x)0)，就是求函数，就是求函数yf(x)的正负区间，再如方程的正负区间，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数的解的问题可以转化为函数yf(x)与与yg(x)的交点问的交点问题，也可以转化为函数题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与与x轴的交点问题，方程轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当有解，当且仅当a属于函数属于函数f(x)的值域，函数与方程的的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要这种相互转化关系十分重要4函数与方程思想解
5、决的相关问题函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：借助有关初等函数的性质，解有关求值、解借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证证)不等式、不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；解方程以及讨论参数的取值范围等问题；在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的简的目的(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：方程思想在解题中的应用主要表现
6、在四个方面：解方程或解不等式；解方程或解不等式；带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；用；需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；构造方程或不等式求解问题构造方程或不等式求解问题.若若a、b是正数，且满足是正数，且满足abab3，求，求ab的取值范围的取值范围运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题运用函数与方程思想解决求值（或最值、范围）的问题函数与方程思想方法解决范围问题
7、的技巧函数与方程思想方法解决范围问题的技巧1此类题型在高考题中占较大的比重，且考查的知识范围此类题型在高考题中占较大的比重，且考查的知识范围广，通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量，列广，通常是某一个条件等式或某一个公式中含有未知量，列出函数、不等式或方程出函数、不等式或方程(组组)，求解即可，求解即可2在解决此类型的问题时，一般会用到代数式的变形，消在解决此类型的问题时，一般会用到代数式的变形，消元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法元、换元、解方程、解不等式等基础知识和基本方法3此类问题通常可以转化为函数的值域问题，方程的解的此类问题通常可以转化为函数的值域问题，方程的解的
8、问题或不等式的解集问题问题或不等式的解集问题1已知已知a，b，cR，abc0，abc10，求，求a的取的取值范围值范围对于满足对于满足0p4的实数的实数p，使，使x2px4xp3恒成立的恒成立的x的的取值范围是取值范围是_构造函数解决函数、不等式、方程问题构造函数解决函数、不等式、方程问题【答案】(，1)(3，)首先明确本题是求首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量的取值范围，这里注意另一个变量p，不，不等式的左边恰是关于等式的左边恰是关于p的一次函数，因此依据一次函数的特的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决在含有多个字母变量的问题中，选准性得到解决在含有多个字母变量的问题中，
9、选准“主元主元”往往是解题的关键往往是解题的关键2(2011苏州模拟苏州模拟)若关于若关于x的方程的方程cos 2x2cos xm0有有实数根，则实数实数根，则实数m的取值范围是的取值范围是_(5分分)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知(a21)32 009(a21)1，(a2 0081)32 009(a2 0081)1，则下列结论正，则下列结论正确的是确的是AS2 0092 009，a2 008a2BS2 0092 009，a2 008a2CS2 0092 008，a2 008a2DS2 0092 008，a2 008a2运用函数与方程思想解决数列问题运用函数与方程思想解决数列问题【解题切点】【解题切点】依据两个条件等式的结构特点依据两个条件等式的结构特点构造函数构造函数f(x)x32 009x依据依据f(x)的性质的性质知知an与与a2 008的关系的关系【答案】【答案】A由于数列是一类特殊的函数，因此数列问题常借助于函数知由于数列是一类特殊的函数，因此数列问题常借助于函数知识来处理根据数列的有关公式列出方程，不等式，这是常识来处理根据数列的有关公式列出方程，不等式，这是常见题型，进而转化为函数问题解决见题型，进而转化为函数问题解决答案10；9
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