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1、第一讲第一讲 几何证明选讲几何证明选讲1平行截割定理平行截割定理(1)平行线等分线段平行线等分线段4定理及其推论定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ，那么在任一条那么在任一条(与这组平行线相交的与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相直线上截得的线段也相等等推论：经过梯形一腰的中点且平行于底边的直线推论：经过梯形一腰的中点且平行于底边的直线 另一另一腰腰(2)平行截割定理及其推论平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段得的对应线段 推论：平行
2、于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与形与 成比例成比例相等平分成比例原三角形的对应边2相似三角形相似三角形(1)相似三角形的判定相似三角形的判定判定定理判定定理a两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似b两边对应成比例且夹角相等的两个三角形两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 c三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与的三角形与 相似相似直角三角形相似的特殊判定直角三角形相似的特殊判定斜边与一
3、条直角边对应成斜边与一条直角边对应成 的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似相似原三角形比例(2)相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的的 (3)直角三角形射影定理直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的斜边的 ，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的射影的 平方乘积乘积3圆的切线圆的切线(1)切线的性质及判定切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切
4、点的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 切线的判定定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径过半径外端且与这条半径 的直线是圆的切线的直线是圆的切线(2)切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长从圆外一点引圆的两条切线长 半径垂直相等4相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积积 5切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 的 两 个 交 点 的 线 段 的 长切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 的 两 个 交 点 的 线 段
5、的 长的的 相等等比中项6圆内接四边形圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角 (2)圆内接四边形判定定理：圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角如果四边形的对角 ，则此四边形内接于圆，则此四边形内接于圆若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点点 互补互补共圆1(2011北京北京)如图，如图，AD，AE，BC分别与分别与圆圆O切于点切于点D，E，F，延长，延长AF与圆与圆O交于另交于另
6、一点一点G.给出下列三个结论：给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是ABC D答案答案A2(2011天津天津)如图，已知圆中两条弦如图，已知圆中两条弦AB与与CD相交于点相交于点F，E是是AB延长线上一点，且延长线上一点，且DFCF，AF FB BE4 2 1，若，若CE与圆相切，则线段与圆相切，则线段CE的长为的长为_3(2011陕西陕西)如图，如图，BD，AEBC，ACD90，且且AB6，AC4，AD12，则，则BE_.4(2011广东广东)如图所示，过圆如图所示，过圆O外一点外一点P分别作圆的切线和分别作圆的切线和
7、割线交圆于割线交圆于A，B，且，且PB7，C是圆上一点使得是圆上一点使得BC5，BACAPB，则，则AB_.5(2011湖南湖南)如图，如图，A，E是半圆周上的两是半圆周上的两个三等分点，直径个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足，垂足为为D，BE与与AD相交于点相交于点F，则，则AF的长为的长为_几何证明选讲在高考中考查的重点是直角三角形的射影定理，几何证明选讲在高考中考查的重点是直角三角形的射影定理，相似三角形的判定和性质定理，圆的切线的判定和性质定理，相似三角形的判定和性质定理，圆的切线的判定和性质定理，圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，圆内圆周角定理、弦切角定理、相交弦定
8、理、切割线定理，圆内接四边形的性质和判定定理，这些题目大多以圆为背景，综接四边形的性质和判定定理，这些题目大多以圆为背景，综合考查圆的相关性质定理及相似形等知识，试题难度不大，合考查圆的相关性质定理及相似形等知识，试题难度不大，属中档题因此在二轮复习时应多从圆中挖掘一些相似形，属中档题因此在二轮复习时应多从圆中挖掘一些相似形，多加练习多加练习 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质(1)求证三角形相似应从边、角关系出发，探寻证明思路；求证三角形相似应从边、角关系出发，探寻证明思路；(2)由相似三角形的性质，得出相关的结论，在解题过程中应注由相似三角形的性质，得出相关的结论，在解题过程中应
9、注意相关图形的性质意相关图形的性质(2011南京模拟南京模拟)如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，D为圆为圆O上一点，上一点，过过D作圆作圆O的切线交的切线交AB的延长线于点的延长线于点C，若，若DADC，求证：，求证：AB2BC.圆周角，弦切角圆周角，弦切角【证明】【证明】连接连接OD、BD.因为因为AB是圆是圆O的直径，的直径，所以所以ADB90，AB2OB.因为因为DC是圆是圆O的切线，所以的切线，所以CDO90.又因为又因为DADC，所以，所以AC，于是于是ADBCDO，从而，从而ABCO，即即2OBOBBC，得得OBBC，故，故AB2BC.(1)圆周角的性质非常丰富，要根据具体
10、情况具体分析，应特圆周角的性质非常丰富，要根据具体情况具体分析，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系；别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系；(2)直径所对的直径所对的圆周角为直角这一结论在解题时特别重要圆周角为直角这一结论在解题时特别重要答案答案5；2(10分分)如图所示，如图所示，PA为为 O的切线，的切线，A为切点，为切点，PBC是过点是过点O的割线，的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与的平分线与BC和和 O分别分别交于点交于点D和和E，求，求ADAE的值的值圆的切割线定理及应用圆的切割线定理及应用【解题切点】【解题切点】由切割线定理知由切割线定理知PA2PBPC，可得直径可
11、得直径BC的长，要求的长，要求ADAE，由由ACEADB，得，得ADAECABA，只要求出只要求出CA，BA的长即可的长即可圆中问题的解决往往不是弧立的，其中必然交汇着直线型问圆中问题的解决往往不是弧立的，其中必然交汇着直线型问题，在解题中要善于根据图中的知识分析直线型题，在解题中要善于根据图中的知识分析直线型(特别是三特别是三角形角形)问题的一些性质如本例是先通过弦切角定理，弄清问题的一些性质如本例是先通过弦切角定理，弄清楚楚PAB和和PCA的一个对应角相等，又根据半圆上的圆周的一个对应角相等，又根据半圆上的圆周角是直角求出了角是直角求出了AC，AB的长，最后根据圆周角相等解决了的长，最后根据圆周角相等解决了ACEADB，这个过程体现了分析解决圆中问题的一般，这个过程体现了分析解决圆中问题的一般思考方法思考方法
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