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1、两种反常积分敛散性的判别方法定理1设八n定义于Ch+8）,0 *且在任何有限区间12：上町枳，则有（i）肖W Y 1时，八工）皿收敛；（ii）当兮,、1 时，34发at证 忙A A 1 *日”匕卞十.4 C L山_(1)冈为孑恰打“ r l./Cr)亠0 “ l, + oo所以/_r)dr =/(_r)d_r+ f 匕记丁 + +ArJcLrwffQJd十J：八刃山十+=/）山 十J：/U十1）山 十 十十刈一2）山 篷/）!+ （：/7（龙）肛 +十J；产和Q）山 j(x)dx . I 一 r J iB1 H.1）= l /0 X e h + 8几所氐 / + “耳/2 *= p / 巫=和
2、）Lr +J：fW 十 1）血+,S + w ：打山由干片T OO 时 M * CO而 limCw 2) I ftrtLr =+ g 故 limF(A)1 不存在出而 心J1.1 -M推论1 H 定义A0 袒任何有以匿制,上可积且lirn 賦 = j * 4w j k Jf f1 .则 A V 】时* |收徴. 时.j/!.r)d,r 发亂 1E冏为lim号去丄=)。即 Vt 0* 3Ai 0,当时，有A 一申8：*，,M r)1知.A 1 时取 = 1 时、取 E =I知*17 0, 3M 0.时有牛；严严 VAMVI * 由定理A0. =|岡为时有f 上二 ”由定理Jljt）Z定理2/（x
3、）定义于l+ooJ（Q0几在任何有限区间l.ul I 可枳如果，/Cr 4-1）1心J/（x+ 1）1/（T）（I）mw o 当 /、r 时右才(ii) 3Mf 0 当时冇丄1r 1 则VdMr 收敛. L /()0.十xMz时有才rU则有/Ct+ 1） /（x） 由实数的稠密性知存在实数S使1VV._（1_ 丄）因为limP (1_lim 丁+/(1)、A_1人_（】一丄）=上0当才M时有1 即当了龙分大时必存任g W K使M.r0 M+1 由（】）犬、（2）式得,/（丄 + 1） 1 ,由比较刿别法知（工+1）山收敛因而7（工）血 收敛.(ii)若3f 0 当xM时有工fa + i”/(T
4、)X / JC X 1Jo即/（x+1） m 1!亍丄/（儿）.由比较判别法知J./a+l）d_r发散，因而/(z)clr 发散./(x+ 1)1 /(r)推论2 设/Cr)定义于+ 8)JQ)玄0 隹任何有限区间1门上可枳且八则当z 1时，J/(QLr牧敛,(ii)当 / 1 时./(x)dr 发散.由以上可知比值判别法在lim 斗 =1时失效此时町以用定理2进一步判别. 丿J Q J-)例1求无穷积分的敛散性.屛 lim= lim 匸+严丁叶=丄l时U 1 无穷积分=:崗收敛(ii) p 1 ,无穷枳分1 =发散.(iii)当=1时，=：#，故当q 1时收敛，当/心+1片Ar)Hmj yfT7-1 + Jx + 1=lim ，一“(x/7TT+7F)(i+ /T+T)由推论2町占.发版
两种反常积分敛散性的判别方法
