2015届高三数学—不等式1：基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)(共7页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业必修五：基本不等式应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x212x2（2）yx1x解：(1)y3x212x223x212x2 6值域为 6 ，+）(2)当 x0 时，yx1x2x1x2；当 x0 时， yx1x= （ x1x）2x1x=2值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例已知54x ，求函数14245yxx的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx ，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，

2、max1y。技巧二：凑系数例： 当时，求(82 )yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为 8。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23, 043x时等号成立。技巧三： 分离、换元精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例：求2710(1)1xxyxx 的值域。解析一：本题

3、看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数( )af xxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考

4、虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y 。所以，所求函数的值域为5,2。技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。例 ： 已 知0,0 xy， 且191xy， 求xy的 最 小 值 错 解 ：0,0 xy， 且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否

5、有误的一种方法。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业正解：190,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。技巧六例：已知 x，y 为正实数，且 x2y221，求 x1y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 aba2b22。同时还应化简 1y2中 y2前面的系数为12，x 1y2x21y22 2 x12y22下面将 x，12y22分别看成两个因式：x12y22x2(12y22)22x2y2212234即 x 1y2 2 x12y22342技巧七：已知 a，b 为正

6、实数，2baba30，求函数 y1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a302bb1，ab302bb1b2 b230bb1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab2t234t31t2（t16t）34t16t2t16t8 ab18 y118当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a

7、2b2 2 ab 30ab2 2 ab令 u ab则 u22 2 u300， 5 2 u3 2 ab3 2 ，ab18，y118点评：本题考查不等式abba2）（ Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（ Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（ Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业技巧八、取平方例: 求函数152152 ()22yxxx 的最大值。解析：注意到21x 与52x的和为定值。22( 2152 )42 (21)(52 )4(21

8、)(52 )8yxxxxxx 又0y ，所以02 2y当且仅当21x =52x，即32x 时取等号。故max2 2y。应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa ，可由此变形入手。解：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa 。同理121acbb ，121abcc 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0

9、xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky10312kk 。16k，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是.分析：1 ba0lg, 0lgba精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业21Q（pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(RQP。【高考真题训练】1.(2010山东)已知 x，yR，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_3_.2.(2011陕西)设 0a

10、b，则下列不等式中正确的是(B)A.ab abab2B.a abab2bC.a abbab2D. abaab20，v0，所以当 l6.05 时，F76 000vv218v12176 000v121v1876 0002v121v181900，当且仅当 v11 时，取等号(2)当 l5 时，F76 000vv218v10076 000v100v182000，当且仅当 v10 时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时72014福建卷 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造

11、价是()A80 元B120 元C160 元D240 元C解析 设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1 m得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则y4202x4x 1108020 x4x80202x4x160，当且仅当 x4x，即 x2 时等号成立因此，当 x2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为 160 元，故选 C.8.2014辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22abb2c0 且使|2ab|最大时，1a2b4c的最小值为_1解析 因为 4a22abb2c0， 所以(2ab)2c6ab32ab3（2ab）24， 所以(2ab)24c

12、，当且仅当 b2a，c4a2时，|2ab|取得最大值故1a2b4c2a1a21a121，其最小值为1.92014浙江卷 已知实数 a，b，c 满足 abc0，a2b2c21，则 a 的最大值是_63解析 方法一：令 bx，cy，则 xya，x2y21a2，此时直线 xya 与圆 x2y21a2有交点，则圆心到直线的距离 d|a|2 1a2，解得 a223，所以 a 的最大值为63.方法二：将 c(ab)代入 a2b2c21 得 2b22ab2a210，此关于 b 的方程有实数解，则(2a)2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业8(2a21)0，整理得到 a223，所以 a 的最大值为63.10.2014江苏卷 若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_6 24解析 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则由正弦定理得 a 2b2c.故cos Ca2b2c22aba2b2a 2b222ab34a212b222ab2ab34a212b22ab24234a212b22ab246 24，当且仅当 3a22b2，即ab23时等号成立