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1、1.1对于体积 V内 N个电子的自由电子气体，证明（1）电子气体的压强p 2 30 V，其中0 为电子气体的基态能量。（ 2）体弹性模量 KV p V 为 10 0 9V解：（ 1）252521 hkF V1 h3 2N3V3210m210m（ ）1 h252pVV32N3V32 10m1h252532 N 3V 3210m32 1h25532N3V33210m2 30V（ ）（ 2）KVpV21 h255VV32N3V332 10 mV 21h253 2N33210m5 V38310 1h25832N 3V392 10m10 09V（ ）1.23He 原子是具有自旋 1/2的费米子。在绝对零
2、度附近，液体3He 的密度为 0.081g?cm-3。计算费米能量F 和费米温度 TF 。3He 原子的质量为 m510 24 g 。解：把3He 原子当作负电背景下的正电费米子气体.Z=1.Z m10.081223283nm510 241.6210cm1.62 10m（ 1.2.1）110 7 cm 1109 m 1kF32 n 37.82797.8279（ 1.2.2）223492FkF1.055 105.07.8279106.8017410 23 J 4.2626 10 4 eV2m210 27（ ）TFF kB6.80174 10 23 1.381 10 234.92K（1.2.4）1
3、 / 91.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为Ce2.08TmJ mol 1K1，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度TF 及费米面上的态密度g F。2T2TCNC n Nnkn Nk解：eAVA2B TFA2B TF（ ）2T23223T3TFN A2kB Ce6.022 1021.381 102.08103T19.73 10 K（ 1.3.2）gF3n3n31.41028 m 31037.711046J 1 m 32F2 kBTF2 1.38110 23 19.73（ ）1.4铜的密度为m8.95 g cm3 。室温下的电阻率为1.55 10 6cm。计算（ 1）导电电子浓度；
4、（ 2）驰豫时间；（ 3）费米能量F ，费米速度vF ；（ 4）费米面上电子的平均自由程l F 。（ 5）等离子体的振荡频率p.解：nN AZ m6.022 1023 1 8.958.48 1022 cm 3（ 1）A63.546（ 1.4.1）（ 2）mm8.489.11010 311.5510 62.7 10 14 sne2ne21022 106 1.6021019210 2（1.4.2 ）11（ 3） kF3 2 n 33 28.48 1022 31.36 108 cm 11.361010 m 1（ ）2234102FkF1.055101.36 101.13 10 18 J 7.05 e
5、V2m29.1110 31（ ）vFkF1.05510 341.3610101.57106 m sm9.1110 31（1.4.5）（ 4） lvF1.571062.710 144.25 10 8 m（ 1.4.6）pne21.641016 Hz（ 5）等离子体的振荡频率0me.2 / 91.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。解：（仅供参考）2k 21k1 k02k0 k cos 2（ ）Ekk0k1偶极矩强度为：P2k12ne k2sindd k d2k cos0k004
6、ne2k1k 3 d k sincosd0 k0ne2k14k04sincosd0ne2k12k02k12k02sincosd0ne2k02k02k22k0k cosk22k0 k cos sin cos d0（ ）取近似，忽略k 的 2阶以上无穷小量Pne 2 2k022k0k cos sincos d04nek03k2 cossin cosd0324nek03k cos304 nek0 3 k3（ ）电极化强度为43Pnek0 k3ne kpVV（ ）位移电子受到的电场为Epne k0 0（ ）3 / 9在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。所以，电子在平衡位置作微小振动。特征
7、频率为ne2p0 m（ ）4 / 91.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？解： 金属的等离子体的振荡频率为当1,p 时，金属是透明的。mne2（ 1.6.1）1ne25.1 10211016m（ 1.6.2）228192pne18.1 101.602102.4 10160m8.85410 129.1110 31（ 1.6.3）c2.43 10827.8510 8 m78.5nm21016（ ）波长小于 78.5nm 时，金属 Al 是透明的。1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。解：d pe EvBpd t0时（ 1.7.1）0
8、Ee JBJm（ ）分量式0 ExeJ zByJ xJ y Bzm0 EyeJ x BzJ yJz Bxm0 EzeJ y BxJ zJx Bym（ ）EJ（ 1.7.4）e1BzByBz1Bxm 0ByBx1（ ）从上式可以看出电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，所以横向磁阻5 / 9xx ( 0)xx (B)xx (0)为零。6 / 91.8对于表面在 z=0和 z=L 之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒，（仅供参考）（ 1）证明单电子波函数比例于sin kz zexp i kx xky y（ 2）证明在金属内 r处的电荷密度为r0 1 3 j1 uu其中 u2kF z ，
9、0 是波函数比例于 exp ikx x ky ykz z 时的电荷密度，j1 是一级球贝塞尔函数。解：（ 1）22E02m（）解得A eikx xBe ik x xikyikyDe ik z ze yCe yeik z z（ ）在 x、 y方向是自由空间，所以，BC0 。0 0zLV0, zLz（ ）1 D0D1eik zLDe ik z L0kz L n（ ）A sin kzz exp i kxxky y（ ）其中 A i 2 A在 z方向取归一化条件LL2 sin2 kzz d z* d z0A0A2L 1cos 2kz zd z0 2Lsin 2kz zLA 224kz0A 2L21（
10、）所以A2L（ ）7 / 92 sin k zz exp i kx xk y yL（ ）2k F22sin kz z exp i kx xk y y k 2 sind k d d000L4kFsin2kzz k 2 sind k dL002kF1 cos 2kz cosk 2 sin d k dL002kFk2 sind k d2kFcos 2kzcosk 2 sin d k dL00L 004kF32kFcos 2kzcosk2 d cos d k3LL004kF32kFk sin 2kzcos0 d k3LL02z4kF32kFk sin 2kz d k3LL0z4kF32kFkd cos 2kz3LL02z24kF3kF cos 2kFkFcos 2kz d k2z3LLz04kF32kF cos 2kF z3sin 2kF z（ 2）3L2LzLz（ ）2k F12exp i kx x k y y kz z k2 sin d k d d0000L2k Fk 2sin d k dL004kF 33L（ ）404kF3Lz2kF cos 2kF z2Lz 3sin 2kF zkF3 3L3L0132 cos 2kF z3sin 2kF z4z2kF8z3 kF31cosusin u032u3u8 / 9（ ）9 / 9
固体物理(严守胜编著)-课后标准答案--第1章
