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1、第 1 页共 13 页 导数题型分类 一、 考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值, 二、 热点题型分析 题型一：导数的定义及计算 在点 x 3 处的导数。 x2 3 题型三：利用导数几何意义及求切线方程 1曲线y 4x x在点1, 3处的切线方程是 y x 2 函数的最大值和最小值。 a处的导数为 A,求 lim t o f a 4t f a 5t t 解: lim t 0 f a 4t f a 5t lim t o f a 5t f a 4t 若函数 f(x)满足，f(x) x3 3 f (1) x2 x,

2、则f (1)的值 设曲线 y ex在点(0,1)处的切线与直线x 2y 1 0垂直，则 利用导数求和： Sn=1+2x+3xA2+.+nx n-1,(x 题型二：利用导数研究函数的极值、最值。 不等于 0 且不等于 f(x) x 3x? 2在区间1,1上的最大值是 2 2 .已知函数 2 y f(x) x(x c)在x 2处有极大值，则常数 c= 6 3 .函数y 1 3 3x x有极小值1 ,极大值 3 ax (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( A.-1 v av 2 B.a v -3 或 a 6 C.-3 v a v 6 D.a v -1 或 a 2 C 第 2

3、页共 13 页 、 4 2 若曲线f(x) x x在 p 点处的切线平行于直线3x y 0，则 p 点的坐标为 (1, 0) 第 3 页共 13 页 4 3若曲线y x的一条切线I与直线x 4y 4 .求下列直线的方程：（注意解的个数） 3 2 彳 （1）曲线y x x 1在 p（_i,i）处的切线； 解.（i） 点 P（ 1,1）在曲线 y x3 x2 1 上, y/ 8 0垂直，则I的方程为4x y 3 2 (2) 曲线y x过点 P(3,5)的切线； 3x2 2x k y7 |x -1 32 1 所以切线方程为y 1 x 1，即x y 2 2 （2）显然点 P（3,5）不在曲线上，所以可

4、设切点为 A（x,y），则y x又函数的导数为 所以过A（x，y）点的切线的斜率为k y5x x 2x0，又切线过A（x,y）、p（3,5）点，所以有 k1 2x0 2;当切点为（5，25）时，切线斜率为k2 2x0 别为 y 1 2(x 1)或 y 25 1 (x 5),即 y 2x 1 或 y 1 x 25 则点 P 横坐标的取值范围为（ ） 7.下列函数中，在（0，+8）上为增函数的是（ 题型四：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f （ x） y7 2x 2x鹽，由联立方程组得, x y 1或x 1 y 25 ，即切点为（ 1，1）时，切线斜率为 10 ;所以所求的切线有两条，方程分

5、 6.设 P 为曲线 C： y= x2+ 2x+ 3 上的点，且曲线 C 在点 n p处切线倾斜角的取值范围为，2， A 1， 2 B 1, C. A.y=si nx B. x y xe C. D.y=l n(1+x) x 8.设 f(x),g(x)是 R 上的可f （x）,g （x）分别 为 f（x）,g（x）的导数，且 f (x)g(x) f(x)g(x) 0，则当 A.f(x)g(b)f(b)g(x) C.f(x)g(a)f(a)g(x) 10.(本题 12 分)已知函数f (x) axf(b)g(b) D.f(x)g(x)f(b)g(a) ex ax 1，求 f(x)的单调增区间 第

6、4 页共 13 页 1.已知函数f （x） x2 2ax a在区间（一汽 1）上有最小值，贝U函数g（x） 在区间（1， x +8） 上 一定（ ） A.有最小值 B. 有最大值 C. 是减函数 D. 是增函数第 5 页共 13 页 2 已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值，求过点 A(0, 16)作曲线 y=f(x)的切 线，求该切线的方程 3.已知函数f (x) xln x (1) 求 f(x)的最小值 (2) 若对所有 x 1 都有 f(x) ax-1,求 a 的取值范围 1 2 4.已知函数f (x) x ln x,其中 a 为大于零的常数 2a (1) 当 a=1

7、 时，求函数 f(x)的单调区间和极值 (2) 当x 1,2时，不等式f(x) 2恒成立，求 a 的取值范围 3 2 5 已知函数f(x) x ax bx c,过曲线 y f(x)上的点 P(1, f(1)的切线方程为 y=3x+1 (I)若函数f(x)在x 2处有极值，求f(x)的表达式； (n)在(I)的条件下，求函数 y f(x)在3, 1上的最大值； (川)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解.(1 )由 f(X) x3 ax2 bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b. 过y f(x)上点P(1,f)的切线方程为： y f (1) f (1

8、)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1). 而过y f (x)上 P1, f(1)的切线方程为 y 3x 1. (2)f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2).3 2a b 3 故a c 3 即 2a b 0 a c 3 .y f (x)在x 2时有极值,故f ( 2) 0, 4a b 12 由得 a=2 , b= 4, c=5 f (x) x3 2 4x 第 6 页共 13 页 2 依题意f (x)在2, 1上恒有f (x) 0，即3x bx b 0. x b 1 时,f ( x) min f (1) 3 b b 0, b 6 当 6 ; x b 2

9、时,f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b 当 6 26 1 时,f (x)min 12b b2 0,则 0 b 6. 当 b 12 综上所述，参数 b 的取值范围是【，) (1)求函数y f(x)的表达式; (2)求函数y f(x)的单调区间和极值； 若函数 g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3，n上的值域为4,16，试求m、n应满足 的条件. 2 解： f (x) 3x 2ax b , 2 由题意得，h 1是3x 2ax b 0的两个根，解得，a 0, b 3 再由 f( 2) 4可得c 2 .f(x) x3 3x 2 f (x) 3x2 3 3(x 1)(

10、x 1) 当x 1 时，f(x)0 ； 当x 1时， f (x) 0 ； 当1 x 1 时，f (x) 0 ;当 x 1时, f (x) 0 . 当x 1 时，f (x) 0 函数 f(x)在区间(，1上是增函数; 在区间hl上是减函数；在区间1，)上是增函数. 函数 f(x)的极大值是f( 1) 0，极小值是 f(1) 4 当3 x 2时,f (x) 2 当-x 1 时,f(x) 0. 0；当2 f (x)极大 2 x 时，f (x) 0; 3 f(2) 13 又 f(1) 4, f(x)在3, 1上最大值是 13。 (3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又f(X) 3x2 2ax b，

11、由知 6 已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x 1时取极值，且f( 2) 4 第 7 页共 13 页 (3) 函数 g(x)的图象是由 f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的， 所以，函数 f(x)在区间3,n m上的值域为4 4m,16 4m( m 0). 而 f( 3) 20 . 4 4m 20，即 m 4 . 于是，函数f(x)在区间3,n 4上的值域为20,0. 令 f(x) 0得x 1或x 2 .由f(x)的单调性知，1剟n 4 2，即3剟 n 6 . 综上所述，m、n 应满足的条件是： m 4，且3剟n 6 . 1 a 7.已知函数 f(x)

12、x alnx , g(x) ,(a R). x (n)设函数 h(x) f (x) g(x)，求函数 h(x)的单调区间； (川)若在1,e上存在一点X0，使得f(x) g(x)成立，求a的取值范围 7.设函数 f(x) x(x a)(x b). (1) 若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2,且f(x)在x 1处取极值， 求实数a, b的值； (2) 当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点. 2 解: ( 1) f (x) 3x 2(a b)x ab. 由题意f5,f0，代入上式，解之得：a=1, b=1. (2)当 b=1 时，令

13、f (x) 0 得方程 3x2 2(a 1)x a 0. 2 因 4(a a 1) ,故方程有两个不同实根 x1 ,x2 . I I 不妨设x1 x2,由f (x) 3(x x1)(X x2)可判断f (X)的符号如下： 当 x X1 时，f (x) 0；当 X1 x X2时，f (x) V0；当 x X2时，f (x) 0 因此X1是极大值点，x2是极小值点.，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。第 8 页共 13 页 题型五：利用导数研究函数的图象 2 函数 3 (A ) 题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1 3 2 2 f(x) x

14、2ax 3a x b,0 a 1. 1 设函数 3 (1)求函数f(x)的单调区间、极值 (2)若当x a 1,a 2时，恒有1 f (x)丨a，试确定 a 的取值范围. f (x) 4ax 2 3a = (x 3a)(x a) ，令 f (x) 0得 x1 a, x2 3a 列表如下: (a. 3a) 3a (3a, +7 f (x) f(x) 极小 极大 f(x)在(a, 3a) 上单调递增，在( -,玄)和(3a, +8)上单调递减 1 3 y _x 4x 1 的图像为 D ) 3方程2x3 6x2 7 0 在(0,2)内根的个数为 第 9 页共 13 页 f (x)在a+1 , a+2

15、上单调递减 2 2 .已知函数 f (x) = x3+ ax2 + bx+ c 在 x= 3与 x= 1 时都取得极值(1 )求 a、b 的值与函 数 f (x)的单调区间 (2)若对 x 1 , 2，不等式 f (x) c2 恒成立，求 c 的取值范围。 解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+ c, f (x)= 3x2 + 2ax + b 1 (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a = 2 , b = 2 f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函数 f (x)的单调区间如下表: x 2 (,3) 2 3 2 (3 , 1) 1 (1, + )

16、 f (x)1 + 0 一 0 + f (x) 极大值 极小值 2 2 所以函数 f (x)的递增区间是(一 ，一 3)与(1, + )，递减区间是(一 3 , 1) 1 2 22 (2) f (x)= x3 2 x2 2x + c, x 1, 2，当 x= 3 时，f (x) = 27 + c 为极大值，而 f (2)= 2+ c,贝 U f ( 2)= 2 + c 为最大值。 要使 f (x) c2 (x 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) = 2 + c,解得 c 1 或 c 2 题型七：利用导数研究方程的根 1 V3 V 厂 v 1.已知平面向量 a =( 3 , 1). b=(

17、 2 , 2 ). V V V uv v V V v (1)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使X = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x丄y ,x a时，f极小(x) b -a3 3 ，x 3a时，f极小(x) (2) f (x) 4ax 3a2 0 a 1，对称轴 x 2a a 1 2 fMax (a 1) 4a(a 1) 3a2 2a 1 min (a 2)2 4a(a 2) 3a2 4a 4 依题1 f (x)1 a 1 fMax 1 a 1 fmin 1 a 即 | 2a 1| a,|4a 4| 4 a 解得5 1 ，又 0 a 1 a 的取值范围是 5J)

18、 2 12 3 )= 9 4 a+ b = 0 3 第 10 页共 13 页 试求函数关系式 k=f(t); 据的结论，讨论关于 t 的方程 f(t) k=0 的解的情况 解：(1) X 丄 y X y =0 即a+(t2-3) b ( -k a +t b )=0. V2 v V V2 整理后得-k a +t-k(t2-3) a b + (t2- 3) b =0 v v V2 V2 1 / a b =0, a =4, b =1，二 上式化为-4k+t(t2-3)=0 ，即 k= 4 t(t2-3) 1 1 讨论方程4 t(t2-3)-k=0 的解的情况， 可以看作曲线 f(t)= 4 t(t2

19、-3) 与直线 y=k 的交点个 数 3 3 于是 f (t)= 4 (t2-1)= 4 (t+1)(t-1). 令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1. 当 t 变化时，f 、 f(t)的变化情况如下表： t (-m, -1) -1 (-1,1) 1 (1,+ m) f (t) + 0 - 0 + F(t) / 极大值 极小值 / 1 当 t= 1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 . 当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=2 函数 f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图 13 2 1 所示, 可观察出： 1 丄 (1)当 k 2或 kv 2时，方程 f(t)

20、k=0 有且只有一解; 1 1 当 k= 2或 k= 2时，方程 f(t) k=0 有两解; 1 1 当一2 v kv 2时，方程 f(t) k=0 有三解. 3 2 2 2已知函数f (x) kx 3(k 1)x 2k 4,若 f(x)的单调减区间为(0, 4) (i)求k的值； 2 (II)若对任意的t 1,1,关于 X 的方程 2x 5x a f (t)总有实数解，求实数a的取值 范围。第 11 页共 13 页 解: (I) f (x) 3kx2 6(k 1)x又 f (4) k 1 - . 4 分 (II) f (t) 3t2 12t 1 t 时 f (t) ; t 时f (t) 且f

21、( 1) 5, f(1) 3, f(t) 5 2x2 5x a 8a 25 8 8a 25 5 解得 a 15 12 分 8 8 题型八：导数与不等式的综合 3 1设a ,函数 f(x) X ax在1,)上是单调函数. (1) 求实数a的取值范围； (2) 设 x 1, f(x) 1,且 f(f(x) x，求证：f(x) x. 2 2 解: (1) y f (x) 3x a，若f(x)在1，上是单调递减函数，贝y须y ，即a 3x，这 样的实数 a 不存在.故f (X)在1， 上不可能是单调递减函数 若f(x)在1， 上是单调递增函数，则a 3x2, 由于x 1 ，故3x 3.从而 aw 3.

22、 (2)方法 1、可知f(X)在1 上只能为单调增函数.若 1 ( 1,0)，不等式 16恒成立 3 2 3 3 Q f (x) x ax x a f (x) 解： 2 2 , a 3 已知函数f (x) lnx - x (1)当a 0时，判断f (x)在定义域上的单调性； 题型九：导数在实际中的应用 1 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六 3x2 2 ax - 2 函数f (x)的图象有与 x轴平行的切线, f(x) 0有实数解 4a2 0 a2 9 2，所以a的取值范围是 3知3三,) f( 1) 0 2a f(x) 3x2 1 3

23、(x 2)(x 1) f (x) 0,x (x) 0, 1 x f(x)的单调递增区间是 ,1),( 1 2, );单调减区间为 1, 易知f(x)的最大值为f( 1) 25 6 , f(x) 的极小值为f( 1 2) 49 16 27 ，又 f(0) 7 M f(x)在1,0上的最大值 27 49 m 8 ,最小值 16 对任意X x |f(xj f(X2)| M 27 8 49 16 5 16 若f (x)在1,e上的最小值是 3 -，求a的值; 2 设 g(x) ln x a，若 g(x) 2 x在(0,e上恒成立，求 a的取值范围. O 到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大?

24、800 x 800 640 x2 (0 第 14 页共 13 页 棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点800 x 800 640 x2 (0 第 15 页共 13 页 解：(I )当x 40时, 100 汽车从甲地到乙地行驶了 40 2.5 小时, 要耗没(128000 403 40 8) 2.5 17.5 80 (升)。 (II )当速度为 X千米/100 小时，设耗油量为h(x)升, 依题意得 (1 x3 128000 3 x 80 1 2 x 1280 15 (0 x 120), 4 x h(x)面 3 3 x 80 2 x 120). 1 3 y - x3 x 8(0 x 120).

25、小时)的函数解析式可以表示为： 128000 80 已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I )当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 由题设可得正六棱锥底面边长J32 (x 1)2 V8 2x x2 ,(单位：m) 故底面.3 33 T ( .,8 2x x2)2 = (8 2x J ,(单位: m2 帐篷的体积为: 卑1(8 2x 2)U(3 (16 3 12x x ) (单位: 求导得V (x) 仝(12 2 3x2) 。 令 V(x) 解得x 2 (不合题意，舍去)，x 2 ,

26、 2时，V(x) 0， V ( )为4时，V(x) 0，V(x)为减函数。 2时，V ( )答：当 001 为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为 163 m3 2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 关于行驶速度 x (千米/ 围是k 3。 第 16 页共 13 页 令 h(x) 0,得 x 80. 当 x (0,80)时，h(x) 0,h(x)是减函数； 当 x (80,120)时，h(x) 0,h(x)是增函数。 当x 80时，h(x)取到极小值h(80) 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到

27、乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。 题型十：导数与向量的结合 1 .3 ，) 2 2 若存在不同时为零的两个实数 2 x a (t k)b,y sa tb 且 x y, (1)求函数关系式 S f(t)； 上是单调函数，求 k 的取值范围。 a ( 丄 1 1k- -) ,b 解： (1) 2 2 r u r u 0,得 又y,x?y r 2 r r r a (t2 k)b ( sa tb) 0 (2)若函数S f(t)在1 r r2 2 r2 即 sa t(t k)b - (t 2 1 st sk)a b 0。 s (t2 k) t 0,故 s f(t) t3 kt。 / 2) f (t) 3t2 k 且 f (t)在 1, 上是单调函数, 则在1,上有f (t) 0或f (t) 2 由 f (t) 0 3t k 0 k 由 f (t) 0 3t2 k 0 k 因为在 t 1, 上3t2是增函数， 0 2 2 3t k (3t )min k 3 . 3t2 。 所以不存在 k,使k 3t?在人 上恒成立。故 k 的取值范 a 1.设平s、t 及实数 k，使 第 13 页 共 13 页