折叠(轴对称)问题学案

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1、折叠（轴对称）问题学案一.复习目标：1 .通过对折叠问题的复习，体会折叠问题在解决问题中的应用.2 .能从复杂图形中提炼出折叠（轴对称）问题的基本图形，运用其性质，提高解决问题的能力.二.复习重点：折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。掌握折叠问题，我们要把握以下方法：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后 图

2、形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形， 这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度， 选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解.三、学习过程：一、矩形中的折叠例题1. （3分）（2014?）如图，在一矩形纸片 ABCD中，AB=4, BC=8 ,点E, F分别在 AD, BC上，将纸片 ABCD沿直线EF折叠，点

3、C落在AD上的一点H处，点D落在点G 处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分/ DCH ;线段BF的取值围为3由FQ; 当点H与点A重合时，EF=2.以上结论中，你认为正确的有（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4考点：翻折变换（折叠问题）分析：先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得/ BCH= / ECH ,然后求出只有 /DCE=30时EC平分/ DCH ,判断出错误；点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8 - x,利用勾股定理列出方程求解得 到BF

4、的最小值，点 G与点D重合时，CF=CD,求出BF=4 ,然后写出BF的取值围，判断出正确；过点F作FMXAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出正确.解答：解：FH与CG, EH与CF都是矩形 ABCD的对边 AD、BC的一部分，FH / CG, EH / CF, 四边形CFHE是平行四边形， 由翻折的性质得，CF=FH,四边形CFHE是菱形，故 正确；/ BCH= / ECH,只有/ DCE=30。时EC平分/ DCH ,故 错误；点H与点A重合时，设 BF=x,则AF=FC=8 - x,在 RtAABF 中，AB2+BF2=AF2,即 42+x2= (8 x) 2,解得

5、x=3,点G与点D重合时，CF=CD=4 , BF=4,线段BF的取值围为3书F9,故 正确；过点 F 作 FMLAD 于 M,则 ME= (8-3) 3=2,由勾股定理得，EF=2 ,故 正确；综上所述，结论正确的有 共3个.故选C.点评：本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BF最小和最大时的两种情况.例题2. (2016, 21, 3分)如图1,在矩形纸片 ABCD中，AB=8, AD=10,点E是A与点E重合，如图2,折CD的中点.将这纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点痕为MN,连接ME、NE;第二次折叠纸片使点 N与点E重合，如图3,点B落在B处

6、,折痕为HG,连接HE,则tan/EHG =B第21题图3【解析】 在图2中，设DM =x,则AM = EM = 10-x.1.点 E 是 CD 的中点，AB=CD = 8，3, . DE = CE=2CD = 4/3.在 RtADEM 中， DE2+DM2=EM2, . (473)2+x2= (10 x)2.解得 x= 2.6.DM =2.6, AM = EM = 102.6= 7.4.过点N作NF LCD于点F (如答案图1),则4 DEMsfne.37V37.4= 6/3.肯=EN.需=74.解得 EN=37v3. .AN=EN=37/3.AN . tan / AMN = -77 AM第

7、21题答案图1在答案图 2 中， MEXEN, HG XEN, . ME / HG . . . / NME = / NHK .又. / NME = Z AMN , / EHG =Z NHK , . / AMN = / EHG .tanZEHG = tanZAMN =针对性练习1 .将一长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC, BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，/ CBD=度.BC、BD 是折痕，所以有/ ABC = /GBC, / EBD = / HBD则/ CBD = 90 折叠前后的对应角相等2 .如图所示，一矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，再过点A折叠使折痕 DE/ BC,

8、 若AB=4, AC=3则4 ADE的面积是 .沿BC折叠，顶点落在点 A处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA,即AF = 2 AA 又DE / BC,得到 ABC s AADE ,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求 出三角形ADE的面积=24对称轴垂直平分对应点的连线3 .如图，矩形纸片 ABCD中，AB=4 , AD=3 ,折叠纸片使 AD边与对角线BD重合，得折 痕DG,求AG的长.由勾股定理可得 BD = 5,由对称的性质得 ADG 叁 ADG,由 AD = AD = 3 , AG = AG,则 AB = 5 3 = 2, 在RtAA,BG中根据勾股定理，列方程可以求出

9、AG的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4 .把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则/ DFB等于（） 注意折叠前后角的对应关系5 .如图，沿矩形 ABCD勺对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知 BC=8cm AB=6cm求 折叠后重合部分的面积.重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6 .将一矩形纸条 ABCDK如图所示折叠，若折叠角/FEC=64 ,则/ 1=度； EFG的形状 三角形.对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形

10、，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF7 .如图，将矩形纸片 ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕 EF （如图）； 延CG折叠，使点B落在EF上的点B处，（如图）；展平，得折痕 GC （如图）；沿 GH折叠，使点C落在DH上的点C处，（如图）；沿GC折叠（如图）；展平，得折 痕GC , GH （如图）.（1）求图中/ BCB的大小；（2）图中的 GCC是正三角形吗？请说明理由.5FC国一 C图理清在每一个折叠过程中的变与不变8 .如图，正方形纸片 ABCD勺边长为8,将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周 长之和为折叠前后对应边相等9 .如图，将边长为4的正

11、方形ABCD&着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四 边形BCFE勺面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10 .如图，将一个边长为 1的正方形纸片 ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D 重合.MN为折痕，折叠后 BC与DN交于P.（1）连接BB 那么BB与MN的长度相等吗？为什么?（2）设BM=y , AB =x,求y与x的函数关系式；MNC B面积最小？并验证你的猜想.（3）猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形BC、纸片中的折叠例题1 .如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则/ a的度数等于（）:/a =/1, / 2 = Z 1 Z

12、a = Z2 .2/ a +/ABE=180 , 即 2/ & +30 =180 , 解得/ a =75 .题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意 EAB是以折痕AB为底的等腰三角形例题2.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC,使/ CAB=45 ,则后重合部分的面积为作 CDXAB ,1. CE /AB , .1 = 7 2,根据翻折不变性，/ 1 = /BCA,故/ 2=/ BCA . .AB=AC .又. / CAB=45 ,在 RtAADC 中，AC = 2V2 , AB = 29Saabc =1 AB x CD = 22在

13、折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的 等腰三角形ABC针对性练习1.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ.如图a是长方形纸带，/ DEF=20。，将纸带沿 EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的/ CFE的度数是（图a本题考查图形的翻折变换， 解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴 对称的

14、性质，折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知/ DEF=/EFB=20 图 b/GFC=140 ,图 c 中的/ CFE= / GFC-/ EFG3.将一长为70 cm的长方形纸片 ABCD ,沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽 AB是（）MA的4. 一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反 面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求长、三角形中的折叠例题1.在 ABC中，已知 AB=2a, / A=30 , CD是AB边的中线，若将 ABC沿CD对折起 1来，折叠后两个小

15、ACD BCDS叠部分的面积恰女?等于折叠前 ABC的面积的.4(1)当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ;(2)有如下结论(不在“ C*于a”的限制条件下)： AC边的长可以等于a;折叠前 的 ABC的面积可以等于 a2 ;折叠后，以A B为端点的线段 AB与中线CD平行且相 等.其中，结论正确(把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”).C 1CD = 2 AB/ ACB = 90 . AB = 2a , BC = a , . AC = 43a13 2 S/ abc= 2 x AC* BC = 2 a重叠部分的面积为：4X 23a2 = 83a2(2)若AC = a ,如右

16、图 AD = a ,/ 2 =ZBDC = 180 - 75 . BDC = 105 / 3 = 105 - 751 = /3.AC/ BD四边形ABDC是平行四边形1重叠部分 CDE的面积等于AB C的面积的4180 - 302=105=30=75B若折叠前 ABC的面积等于过点C作CH LAB于点H,13 22 x AB x CH = 2 a3CH = 2 ap ,/. CH又 tan / 1 = 777DHAHAH = 2a1.BH = 1a2贝U tan/ B = CH ,得/ B = 60 BH， CBD等边三角形.Z 2 = Z43 = Z4, AD / CB2又 CB2 = BC

17、 = BD = a ,. CB2 = AD，四边形ADCB2是平行四边形 1则重叠部分 CDE的面积是 ABC面积的-4(3)如右图，由对称的性质得，/3 = Z4, DA = DB 31 = /2又/ 3 + Z4 = Z 1 +/21. Z 4 = / 1 AB3/ CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边针对性练习1 .如图，把 RtAABC(/C=90 ),使A, B两点重合，得到折痕 ED,再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE: AE=2.在 ABC中，已知/ A=80 , / C=30 ,现把 CDE沿DE进行不同的折叠得 C

18、DE,对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把 CDE沿DE折叠在四边形 ADEB ,则求/ 1+/2的和；(2)如图(2)把 CDE沿DE折叠覆盖/ A,则求/ 1 + /2的和；(3)如图(3)把 CDE沿DE斜向上折叠，探求/ 1、/ 2、/ C的关系.Cr| (1)根据折叠前后的图象全等可知，/1=180 -2Z CDE, / 2=180 -2/CED ,再根据三角形角和定理比可求出答案；(2)连接DG,将/ ADG+ /AGD作为一个整体，根据三角形角和定理来求；(3)将/ 2看作180 -2/CED, / 1看作2/CDE-180。，再根据三角形角和定理来求.由于等腰三角形是

19、轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形3 .观察与发现：将三角形纸片 ABC （AB AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD , 展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到 AEF （如图）.小明认为 AEF是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由.实践与运用：所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如 图）；再沿过点E的直线折叠，使点 D落在BE上的点D处，折痕为EG （如图）；再展 平纸片（如图）.求图中/ a的大小

20、.由于角平分线所在的直线是角的对称轴, 抓住折叠前后图形之间的对应关系图（2）将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF,折痕与AD边交于点巳与 BC边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都 与点F重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ （如图），求/ MNF的大小.在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平 分线+平行线”的基本结构，即以折痕为 底边的等腰三角形4 .直角三角形纸片 ABC中，/ ACB=90 , AC0)的(2)动点P从O点出发，以每秒 2个单位长度的速度沿折线 OD - DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个

21、单位长度的速度沿折线 OC向C点运动，当动点 P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为 t秒.设 OPQ的面积为S,写出S与t的函数关系式；如图2,当的P在线段OD上运动时，如果作 OPQ关于直线PQ的对称图形 O PQ, 是否存在某时刻t,使得点Q恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求 Q的坐标和t 的值；若不存在，请说明理由.考点：反比例函数综合题.分析：(1)由于点A (8, 1)、B (n, 8)都在反比例函数 y=x的图象上，根据反比例函数的意义求出 m, n,再由待定系数法求出直线 AB的解析式；(2)由题意知：OP=2t, OQ=t,由三角形的面积公式可求出解析式；通过三角形

22、相似，用 t的代数式表示出 O的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值.解答： 解：(1)二.点A(8,1)、B (n,8)都在反比例函数y=M的图象上,m=8 x 1=8,y=,8=,即 n=1 ,设AB的解析式为y=kx+b ,m解：(1)二点A (8, 1)、B (n, 8)都在反比例函数 y=的图象上， m=8 M=8,y=,8=,即 n=1,设AB的解析式为y=kx+b ,把(8, 1)、B (1, 8)代入上式得：解得：.直线AB的解析式为y= - x+9 ;(2) 由题意知：OP=2t, OQ=t,当P在OD上运动时，S=t2 (0vt)，当P在DB上运动时，S=t8=4t (4v

23、t0,1=.当1=个长度单位时，Q恰好落在反比例函数的图象上.本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键.针对性练习1. (3分)(2014?)如图，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把 AOB沿直线AB翻折后得到AOB,则点。的坐标是()A . ( , 3)B. ( ,)C. (2, 2)D. (2, 4)一一 一 6、 _ _2.如图，双曲线 y = (x0)经过四边形 OABC勺顶点 A C, / ABC=90 , OC平分OA x与x轴正半轴的夹角，AB/ x轴，将 ABC

24、沿AC翻折后得到 ABC , B点落在OA上，则四 边形OABC勺面积是多少？(1)若折叠后使点 B与点A重合，求点C的坐标;(2)若折叠后点B落在边OA上的点为B,设OB =x, OC=y,试写出y关于x的函数 解析式，并确定y的取值围；(3)若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B D/OB,求此时点C的坐标.折痕是对应点连线的垂直平分线 五、圆中的折叠例题1.如图，正方形 ABCM边长为2,。的直径为AD将正方形的BC边?才EC折叠，点 B落在圆上的F点，求BE的长连接 OC OF 则 OC四 OCD(SSS) ./ OFC = Z ODC = 90 ,所以/ OFE = 180 ,即点

25、 Q F、E在一条直线上设 BE = x ,贝U EF = x , AE = 2 - x , OE = 1 + x在 RtAAEO, AE2 + AO2 = OE 2所以(2 - x) 2 + 1 = (1 + x) 2:I2解得：x = Q 3用对称关系构造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法针对性练习1.如图，将半彳仝为8的。O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC 的中点D,则折痕AB长为()注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解2 .如图，将弧 BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=5 DB=7,则BC的长是多少?此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出 CAD是等腰三角形，是解答此题的关键3 .已知如图：O O的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧 AmB经过圆心O,再把弧 AOB沿CD折叠，使弧 COD经过AB的中点E,则折线CD的长为（4fz7）作CD关于CD的对称线段CD,连接OE并延长交CD于点F,交C D于点F,交 弧AmB于点G,根据对称的性质得出 OF =6,再由勾股定理得出 CF= 2、广.回顾小结：说说本节课你的收获，和同学们分享。