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1、会计学1第九章多元函数微分法及其应用习题课第九章多元函数微分法及其应用习题课第一页，编辑于星期二：十四点 十七分。一、内容回顾一、内容回顾1、偏导数的定义与计算、偏导数的定义与计算求函数求函数 的偏导数的偏导数 时，只要把时，只要把 暂时看作常量暂时看作常量而对而对 求导数；求导数；) ,(yxfz xz yx类似地，可求函数类似地，可求函数 的偏导数的偏导数 。 yz ) ,(yxfz 第1页/共25页第二页，编辑于星期二：十四点 十七分。zuvtzuvxy(1)设设 和和 在点在点 可导，可导， 在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在点在点 处可导，且处可导，且 )(t
2、u t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)设设 和和 存在偏导数，存在偏导数， 在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在在 偏导数存在偏导数存在,且且 ),(yxu ),(yxv ),(vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx第2页/共25页第三页，编辑于星期二：十四点 十七分。( )yf x 由方程由方程 确定的一元函数确定的一元函数 ， 0) ,( yxF则有：则有： yxFFdxdy zxFFxz zyFFyz 由方程由方程 确定二元函数确定二元函数 ， 则有则有 ：0) , ,( zyxF) ,(yxfz 第3页/共25页第
3、四页，编辑于星期二：十四点 十七分。（2）. 由四个变量两个方程由四个变量两个方程 所构成的方程组所构成的方程组, 如如确定隐函数两个二元函数确定隐函数两个二元函数方程组方程组（1）. 由三个变量两个方程所构成的方程组由三个变量两个方程所构成的方程组, 如如确定隐函数两个确定隐函数两个一元函数一元函数方程组方程组.,yvxvyuxu 求求由方程组所确定的隐函数由方程组所确定的隐函数第4页/共25页第五页，编辑于星期二：十四点 十七分。4.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切线方程：切线方程： 法平面方程：法平面方程： (1)( ): ( )()( )xtLyttzt , 则则 在
4、点在点 处处L000(, , )M xyz第5页/共25页第六页，编辑于星期二：十四点 十七分。切线方程：切线方程： 法平面方程：法平面方程： 切线方程和法平面方程可转化为第切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，种形式， 求出求出 即可即可.(1,)dy dzTdx dx (3) ( , , )0: ( , , )0F xyzLG xyz ,则则 在点在点 处处L000(, , )M xyz(2) , 则则 在点在点 处处( ): ( )yxLzx L000(, , )M xyz第6页/共25页第七页，编辑于星期二：十四点 十七分。4.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切平面方程：
5、切平面方程： 法线方程：法线方程： 切平面方程：切平面方程： 法线方程：法线方程： (2) , 则则 在点在点 处处:( , )zf xy 000(, , )M xyz(1) , 则则 在点在点 处处:( , , )0F x y z 000(, , )M xyz第7页/共25页第八页，编辑于星期二：十四点 十七分。5.方向导数与梯度方向导数与梯度 二元函数二元函数 在点在点 沿方向沿方向 的方向导数为的方向导数为 ) ,(yxfz ) ,(000yxPl计算公式:其中其中 是方向是方向 的方向余弦。的方向余弦。 cos ,cos ,cosl其中 为x 轴到方向 的转角l第8页/共25页第九页，
6、编辑于星期二：十四点 十七分。函数函数 ( , )zf x y在点00(,)P xy处的梯度为一向量:第9页/共25页第十页，编辑于星期二：十四点 十七分。6. 无条件极值求法步骤：无条件极值求法步骤： 求求 , 得全部驻点得全部驻点.( , )0 xfxy ( , )0yfxy 求求 , ,00(, )xxfxyA 00(, )xyfxyB 00(, )yyfxyC 由判别驻点为极值点的条件，验证由判别驻点为极值点的条件，验证 的符号的符号,2ACB 确定极值点，求出极值。确定极值点，求出极值。 第10页/共25页第十一页，编辑于星期二：十四点 十七分。7. 条件极值求法：条件极值求法：(拉
7、格朗日（拉格朗日（Lagrange）乘数法）乘数法) 求出极值。求出极值。 构造辅助函数构造辅助函数 ( , )( , )( , )F xyf xyxy 求解求解 得出得出 , , , xy , xy就是可能的极值点就是可能的极值点.),(yxfz 0),( yx 函数函数 在条件在条件 下的可能极值点下的可能极值点:第11页/共25页第十二页，编辑于星期二：十四点 十七分。解：解： 例例1、 求函数求函数 的偏导数的偏导数.yzux 分析：因为函数分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对为三元函数，所以，应分别求对 yzux , ,x y z的偏导数。的偏导数。 第12页/共25页第十三
8、页，编辑于星期二：十四点 十七分。解：根据复合函数求偏导法则得解：根据复合函数求偏导法则得 例例2、设、设 ,而而 , , 求求 和和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx zzuzvyuyvy 第13页/共25页第十四页，编辑于星期二：十四点 十七分。 例例3、 设设 , 其中其中 具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数， ) ,(22xyyxfz f求求2, .zzxx y 解：解： 设设 ,22, uxyvxyzzuzvxu xvx 则则第14页/共25页第十五页，编辑于星期二：十四点 十七分。利用隐函数的求导公式得利用隐函数的求导公式得 解解:令令 ,则
9、则33( , , )3F xyzzxyza 例例4、 设设 ,求求 .333zxyza2zx y 分析：如果令分析：如果令 , 则由方程则由方程 33( , , )3F xyzzxyza( , , )0F x y z 确定了确定了 是是 的函数的函数,求求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。 zxy，zx 第15页/共25页第十六页，编辑于星期二：十四点 十七分。计算计算 时，我们采用在方程两边同时对时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法求偏导的方法, 2zx y y并视并视 为为 的二元函数的二元函数 , 得得
10、z,x y( , )z x y第16页/共25页第十七页，编辑于星期二：十四点 十七分。 例例5、求曲线、求曲线 在点在点 sin ,1cos ,4sin2txtt yt z (1, 1, 2 2)2 处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。分析：此曲线为参数方程分析：此曲线为参数方程, 只需求出切向量为只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。再求出切点，即可得切线及法平面方程。 (, , ),tttTxyz 解：解： 因因 故在点故在点 处的切向量为处的切向量为(1, 1, 2 2)2 第17页/共25页第十八页，编辑于星期二：十四点 十七分。所求切线方程为：所求切线方程为：
11、 法平面方程为：法平面方程为： 即即 第18页/共25页第十九页，编辑于星期二：十四点 十七分。解：解： 将所给方程的两边同时对将所给方程的两边同时对 求导得求导得 x 例例6、求曲线、求曲线 在点在点 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 22222250zyxzyx)5 , 4 , 3(分析：此曲线由方程组的形式给出分析：此曲线由方程组的形式给出, 也可视为参数方程也可视为参数方程, 视视 x为参数，则切向量为为参数，则切向量为 , 利用直接求导法对方程组求导利用直接求导法对方程组求导, 解方程组解方程组, 求出切向量求出切向量, 即可得切线及法平面方程。即可得切线及法平面方程。 (
12、1, , )dydzTdxdx 第19页/共25页第二十页，编辑于星期二：十四点 十七分。因此所求切线方程为因此所求切线方程为法平面方程为法平面方程为 即即 则曲线在点则曲线在点 处的切向量为处的切向量为 )5 , 4 , 3(解得解得 第20页/共25页第二十一页，编辑于星期二：十四点 十七分。故切平面方程故切平面方程为为即即 法线方程为法线方程为 例例7、求旋转抛物面、求旋转抛物面 在点在点 处的切平面及处的切平面及 法线方程法线方程.22yxz )5 , 1 , 2(分析：此曲面可看成分析：此曲面可看成 的形式的形式, 只需求出只需求出法向量法向量 , 即可求出切平面及法线方程即可求出切
13、平面及法线方程.22( , )zf x yxy(, 1)xynff 解：设解：设 , 则则 22),(yxyxf 第21页/共25页第二十二页，编辑于星期二：十四点 十七分。解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为 所以所以 方向导数的最大值为方向导数的最大值为 例例8、问函数、问函数 在点在点 处沿什么方向的方向处沿什么方向的方向 导数最大？并求此方向导数的最大值。导数最大？并求此方向导数的最大值。2uxy z (1, -1, 2)P第22页/共25页第二十三页，编辑于星期二：十四点 十七分。解：解： 解方程组解方程组 22212(2)02(22)0 xxxy
14、fexyyfey 得驻点得驻点 1(, 1)2M 又又 222(2243)xxxfexyy 所以所以 故故 例例9、求函数、求函数 的极值的极值. 22( , )(2 )xf xyexyy因此因此 在点在点 处取得最小值处取得最小值, 且为且为( , )f xy1( , 1)2 第23页/共25页第二十四页，编辑于星期二：十四点 十七分。求解求解 001 xyFyFxxy 所以，函数的极大值为所以，函数的极大值为 得得 为唯一驻点为唯一驻点.11,22xy 例例10、求函数、求函数 在适合附加条件在适合附加条件 下的极大值下的极大值.zxy 1xy 分析：求函数分析：求函数 在适合附加条件在适合附加条件 下的极大值下的极大值,zxy 1xy 为条件极值，用拉格朗日乘数法。为条件极值，用拉格朗日乘数法。解：构造辅助函数解：构造辅助函数( , )(1)F xyxyxy 第24页/共25页第二十五页，编辑于星期二：十四点 十七分。
第九章多元函数微分法及其应用习题课学习教案
