几何光学习题及解答

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1、几何光学习题及解答几何光学习题及解答1证明反射定律符合费马原理。证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。BAnds或恒值max.min，在介质 n 与 n的界面上，入射光 A 遵守反射定律11ii,经 O 点到达 B 点， 如果能证明从 A 点到 B 点的所有光程中 AOB 是最小光程， 则说明反射定律符合费马原理。设 C 点为介质分界面上除 O 点以外的其他任意一点，连接 ACB 并说明光程ACB光程AOB由于ACB 与AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程 ACB 与 AOB 的大小。从 B 点到分界面的垂线，垂足为o，并延长OB 至

2、B，使BOBO，连接BO ，根据几何关系知BOOB，再结合11ii，又可证明180BAO，说明BAO 三点在一直线上，BAO 与 AC 和BC 组成BAC ，其中BCACBAO 。又CBBCAOBOBAOBOAOBAO,ACBCBACAOB即符合反射定律的光程AOB是从 A 点到 B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。证明：由 QBAFBA 得：OFAQ=BOBQ=fs同理，得 OABA=f s,BOBA=fs由费马定理：NQA+NQA=NQQCAOBOBinn结合

3、以上各式得：(OA+OB)BA=1 得证3 眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 1.5 的玻璃平板(见题 3.3 图),平板的厚度 d 为 30cm.求物 PQ 的像与物体 PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmndpp10)321 (30)11 (，即像与物的距离为cm103 眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 1.5 的玻璃平板(见题 3.3 图),平板的厚度 d 为 30cm.求物 PQ 的像与物体 PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmndpp10)321 (30)11 (，即像与物的距离为

4、cm10En=1题 3.3 图4玻璃棱镜的折射棱角 A 为 60 度,对某一波长的光其折射率为 1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0/sin2A,得0=46 由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0=当在 C 处正好发生全反射时：i2= sin-16 . 11=38 41,i2=A- i2=21 19i1= sin-1(1.6sin21 19)= 35 34min4Q图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个 30 度-60-90 度棱镜与一个 45 度-45 度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿

5、i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为 r.求证：如果2sin1n则12，且光束 i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）解：insinsin11若1sin=2n, 则 sini1=21, i1=30。则 i2=30。,而insin2sin2211190。，而211290。，i得证。高cm 的物体距凹面镜的焦距顶点 12cm，凹面镜的焦距是cm,求像的位置及高度，并作光路图解：cmscmf12,10又fss1111011121s，即cms60，ssyyssyy=-25cm即像在镜前 60cm 处，像高为 25cm一个cm 高的

6、物体放在球面镜前cm 处成 1cm 高的虚像求（）此像的曲率半径；（）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，题ssyycmysys2，又rss211，05 cmr，所以此镜为凸面镜。某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离灵 40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?解：根据题意，由凸面镜成像公式得：cmssfss81014011111凸透镜物点与像点的距离cmssd48，则玻璃距观察者的距离为cmd2429.物体位于凹面镜轴线上

7、焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动 d(n-1)/n 的一段距离的效果相同。解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得0（），即题中所求。10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率为多少?解：设球面半径为 r，物距和相距分别为 s 和s,由物像公式:rn nsn s nS=,s=2r,n=1,得 n=211.有一折射率为 1.5,半径为 4cm 的玻璃球,物体在距球表面 6cm 处,求(1)物所在的像到

8、球心之间的距离;(2)像的横向放大率.解：cmrnnrnnsnsn4, 1, 5 . 1,的玻璃球。对第一个球面，cms6415 . 1615 . 1s，cms36对第二个球面cms44836245 . 11445 . 112 s112 s从物成的像到球心距离cmrsol1525 . 121snsn12.一个折射率为 1.53,直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置解 ：由球面镜成像公式：rnnsnsn，当s=日时，s= r, 气泡在球心。当s=2r时，s=6.05cm ，气泡在距球心 3.95 cm

9、处。13.直径为 1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.解：由:rnnsnsn, 又 s=r， s=r=15cm, 即鱼在原处。=yy=nnss=1.3314.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为 2cm.将它水平地浸入折射率为 1.33 的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图.解:rnnsnsn233. 15 . 1833. 15 . 1 scms182)8(5 . 1)18(33. 1snsnrnn cmnnnrnf65.1717. 0333. 15 .

10、125 . 1cmnnnnrf65.1517. 066. 233. 15 . 1233. 115.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为 10cm.一物点在主轴上距离 20cm 处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为1.5,水的折射率为 1.33.解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得： ff=-39.12 ,由透镜成像公式：1sfsf，s=20cm, 得s=-40.92（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得: f= - f=39.12由透镜成像公式：1sfsf，s=20cm, 得s=-13.2（3）作图：（1）FSOFSO（2）16.一

11、凸透镜在空气中的焦距为 40cm,在水中时焦距为 136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水的折射率为 1.33)?若将此透镜置于 CS2中(CS2的折射率为 1.62),其焦距又为多少?解：由题意知凸透镜的焦距为：)(22111rnnrnnnf又在同一介质中21nn ， ff设nnn21)11)(1(12rnnnf因为对同一凸透镜而言211rn是一常数，设tnnf) 1(1，当在空气中时40, 111fn，在水中时8 .136,33. 122fntn) 11(401，tn) 133. 1(8 .1361两式相比，可 n=1.54，将其代入上式得0463. 0t在2CS中即时62. 1 n，0

12、463. 0162. 154. 11）（f，得cmf4 .437.即透镜的折射率为 1.54，在 CS2中的焦距为-437.4cm17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为 20cm 和 25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸透镜,把它置于水中,求其焦距为多少?解：由薄透镜焦距公式：)(22111rnnrnnnf，其中 n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得 ff=-44.8cm18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是cm,求(1)与主轴成 30 度的一束平行光入射到每个透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm 处各置一发光点,成像在何处?作

13、出光路图.解：(1)由1sfsf，s =, 对于会聚透镜：sx= f=10cm,sy=sxtg30。=5.8cm 或者sy=sxtg(-30。)=-5.8cm， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-10,|5.8|)FS，(10,5.8)O30。30。（a）FS(-10,-5.8)O(b)(2) 由1sfsf，s =f , 对于会聚透镜：sx=，即经透镜后为一平行光束。对于发散透镜：sx=-5cm，又ssyy，yssy=0.5cm，考虑到物点的另一种放置，yssy=-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)19.题 3.19 图(a)(b)所示的 MM分别

14、为一薄透镜的主光轴,S 为光源,S为像.用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置题 3.19 图OOMMMMBA(a)(b)解：对于图(a)由于 S 的像点在MM下方，且其为放大的，故推知此薄透镜为凸透镜。作图步骤为：连接SS 交MM于O点，O点即为光心，作SB/MM连接 BS 交 于F，F即为像方焦点,作MMSA/连接 AS 交MM于 F ，F 即为物方焦点，然后据此作图即可。对于图(b)由于 S 的像点在MM上方，且其为缩小的，故推知此薄透镜为凹透镜。作图步骤与上述类似。OOOO20.比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成,两半块透镜垂直光轴拉开一点距离,用挡光的光阑K挡住其间的空隙

15、(见题3.20图),这时可在屏上观察到干涉条纹.已知点光源 P 与透镜相距 300cm ,透镜的焦距 f=50cm,两半透镜拉开的距离 t=1mm,光屏与透镜相距l=450cm.用波长为 632.8nm 的氦氖激光作为光源,求干涉条纹的间距.K解 ： 分 成 两 半 透 镜 ， 对 称 轴 仍 是 PKO,P1,P2构 成 两 相 干 光 源 ， 相 距 为d, ,s=f s(f +s)=60cm, r0=L-S=390cm, 上半透镜相当于 L 的主轴与光心上移 0.5mm,下半透镜相当于 L 的主轴与光心下移 0.5mm,d=2y+t=0.12cm.0ry /d=2.056mm.21.把焦

16、距为 10cm 的会聚透镜的中央部分 C 切去,C 的宽度为 1cm,把余下的两部分粘起来(题3.21 图).如在其对称轴上距透镜 5cm 处置一点光源，试求像的位置解：该透镜是由 A、B 两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A 部分的主轴在系统中心线下方 0.5cm 处，B 部分的主轴系统中心线上方 0.5cm 处，PP1P题 3.20 图由透镜成像公式：1sf s f，经 A 成像得s=-10cm ，经 B 成像的s=-10cm，这两个像点在垂直于主轴的方向上的距离为 3cm.21.把焦距为 10cm 的会聚透镜的中央部分 C 切去,C 的宽度为 1cm,把余下的两部分粘

17、起来(题3.21 图).如在其对称轴上距透镜 5cm 处置一点光源，试求像的位置解：该透镜是由 A、B 两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A 部分的主轴在系统中心线下方 0.5cm 处，B 部分的主轴系统中心线上方 0.5cm 处，由透镜成像公式：1sf s f，经 A 成像得s=-10cm ，经 B 成像的s=-10cm，这两个像点在垂直于主轴的方向上的距离为 3cm.ABCBA题 3.21 图ABCBA题 3.21 图23. 题 3.23 图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统.棱镜折射率为 1.5,凸透镜的焦距为 20cm,凹透镜的焦距离为 10cm,两

18、透镜间距为 5cm, 凸透镜距棱镜边的距离为 10cm.求图中长度为 1 cm 的物体所成像的位置和大小.(提示:物经棱镜成像在透镜轴上,相当于经过一块厚 6cm 的平板玻璃,可利用例 3.1 的结果求棱镜所成像的位置.).解：因为 n=1.5,其全反射角为，042045。所以，物体经球面上反射，为厚度为 6cm 的透镜，物体将在厚透镜左侧成虚像，平行平板的轴向位移l=l(1-1n)凸透镜的物距为s1=-20,f1=-20.所以 s2=s=由物像公式知成像的位置及大小为 25 和-10。24.显微镜由焦距为 1cm 的物镜和焦距=为 3cm 的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,问物体

19、放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛 25cm 处?解：在目镜下由物像公式得222111fss即3112512s22752scmcmss223652021题 3.23 图在物镜下由高斯公式得11111fss即1136522scms3433651即物体在物镜下放 1.06cm 处。25题 3.25 图中 L 为薄透镜,水平横线 MM为主轴。ABC 为已知的一条穿过这个透镜的路径，用作图法求出任一条光线 DE 穿过透镜后的路径。CMBDEL题CABDEL题FCABDEL题3.25F为 DE 的出射光线26题 3.26 图中 MM是一厚透镜的主轴,H、H是透镜的主平面，S1是点光源，S1是点光源的像

20、。试用作图法求任一物点 S2的像 S2的位置.27双凸透镜的折射率为 1.5，r1=10cm，r2=15cm，r2的一面镀银，污点 P在透镜的前主轴上 20cm 处，求最后像的位置并作出光路图。解：经第一界面折射成像：rnnsnsn， n=1.5 ,n=1,rr 1=10cm,s1=-20cm所以 s1，即折射光为平行光束经第二界面反射成像：rss211，s2= s1，rr 2=-15cm ,所以 s2=-7.5cm再经第一界面折射成像：rnnsnsn， n=1 ,n=1.5,rr 1=10cm,s3= s2=-7.5cm所以 s3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方 4cm 处。28 实物

21、与光屏间的距离为 l， 在中间某一位置放一凸透镜， 可使实物的像清晰地投于屏上，将移过距离 d 之后，屏上又出现一个清晰地像。（1)试计算两个像的大小；（2）证明透镜的焦距（l2d2/4l ）;(3)l 不能小于透镜焦距的 4 倍。解：(1)令 s2=x，则s1=)(xdl，题 3.26 图s2=xl ，第一次成像：111fss f=l)xd(l)xd(1)第二次成像： f1s1 s1 f=lx)xl ( (2)由(1) (2)得2dlx， （3）则s1=2dl ， s1=2dl ，s2=2dl ， s2=2dl (4)1=s sy y1111=dldl，2=dldls sy y222212=

22、)(dldl2，又y2=y1=y，故两次成像大小之比为：12=)dldl(2(5)(2)将（3）代入（4）得 f=4ldl22（6）（3）由（6）得) 4fl ( ld（7）所以l不能小于透镜焦距的 4 倍。L1L题 2.2829一厚透镜的焦距 f为 60mm，其两焦点间的距离为 125mm,若（1）物点置于光轴上物方焦点左方 20mm处 ；（2）物点置于光轴上物方焦点右方 20mm 处；（30)虚物落在光轴上像方主点右方 20mm 处，文在这三种情况下像的位置各在何处？像的性质各如何？并作光路图。解：由厚透镜的物象公式的高斯公式fss111得实像）(1206018011mmss由fss111

23、得虚(120mms）mms20fss111(15mms 实像）30.一个会举薄透镜和一个发散薄透镜互相接触而成一复合光具组， 当物距为时，实像距镜，若会聚透镜的焦距为，问发散透镜的焦距是多少？解：111fss， ff ，mms60，mms80符合光学的焦距为 f= 34.29cmffd f1f1 f12121， 及 d=0， f2=-14.1cm31 双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为和，沿轴厚度为，玻璃的折射率为，试求其焦点主点和节点的位置，并会图表示之。解：rrn) 1n( tr1r1)1n( f12121，代入数据得 f=134.86mm ff-134.86mmf11= r1n ,得

24、f1=200mmf12= r1n ,得 f2=-400mmp=fntf2=20247mm fntf p1=-4.495mmx= f=134.86mm , x=f=-134.86mm32.两个焦距均为的双凸透镜，其间距离为，组成一个目镜，求其焦点和节点的位置，如他们的焦距分别为和，间距为，再求其焦点和节点的位置。PPBBFF-ff-xxt-ssHHKKO1O2题 3.31解：1f cmf202cmd34空气中22ff5 . 13843422)2(22121dfffffcmff5 . 1cmfdfp12345 . 12，cmfx5 . 1cmfdfp1234231，cmfx5 . 1当cmdcmf

25、cmfcmf4,2,2,62213426262121dfffff，cmff3cmfdfp64232，cmfx3cmfdfp26431，cmfx333 一焦距为的薄凸透镜与一焦距为的薄凹透镜相距， 求： （）复合光具组焦点及主平面的位置。 （） 当物体放在凸透镜前时像的位置和放大率。解析：cmf201cmf202cmd6cms301空气中cmff2011cmff2022cmdfffff67.666202020202121=cmFF621326)20(2021fffmcmdfp2 . 02066201dfp2-0.2mcms301mcmpss1 . 010)20(301msfsfs117. 01

26、. 032) 1 . 0(3217. 11 . 0117. 0ss34 一薄透镜的主平面和H，节平面和K和交平面和F位置如图所示，有一发光点在物方主平面左边处，试作光路途并计算像的位置。解：cmscmfcmf20,6,5FFHKK5c6c题3.34图_15)5(20cmfsxf fxxcmxf fx21565cmxfs82635. 一条光线射到一折射率为的一球行水滴，求：（）后表面的入射角，问这条光线将被全反射还是部分发射？（）偏转角；（）产生最小偏转角的入射角。解：（1）由折射定律nsin=sin=sin-1(nsin )又临界角c= sin-1(n1), 即c,故是部分反射。（2）由图知：

27、=（-）+，即=2-，而=-2，所以=-4+2（3）dd=-2dx4d=0， 即21dd，而=sin-1(nsin )，cos2=31(n2-1)36.将灯丝至于空心玻璃球的中心，玻璃球的内外直径分别为和求：（）从球外观察到的灯丝像的位置（设玻璃折射率）；（）玻璃温度计管子的内外直径分别为和，求从外侧观察到的直径数值；（）统一温度计的竖直悬挂于直径 100mm 得盛水玻璃烧杯的正中， 从较远处通过烧杯壁观察时， 温度计的内外直径为多少？解：rnnsnsn题 3.35（1） n=1.5 ,n=1，s1=r1=4cm, s1= 4cm 即在球心处n=1.5 ,n=1，s2=4.5cm s2= 4.

28、5cm 即像仍在球心处（2） n=1.5 ,n=1，r1=4cm ，s1=3.85cm s1= 3.896cmn=1.5 ,n=1，s2=4.396cm s2= 4.348cmd=0.304cm=3mm(3) n=1.33 ,n=1.5，r1=1.5mm ,s=1mm s1= 0.96mms2=49.46mm s2= 4.348cmd(内)=1.5mm n=1 ,n=1.33，r1=50mm ,s=48.5mm s2= 48.1mmd(外)=4mm37如题所示为梅斯林分波面干涉实验装置。其中1O、2O分别为两块半透镜）。（共轴，且、的光心，和121212121lSSSSOOSLL试证来自）；（

29、点的光程差两端的光束到达和22121PSPSlPLL定性讨论与轴线垂直的光屏上接收到的干涉图样的特点。证明：物象具有等光程性，sl1ps1=so1o2s2s1sl1s2=so1o2s2SS1S2PL1LO1O2题 3.37sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1sl1s2p=sl1s2+s2p=ps2so1o2s2s1-so1o2s2= s1s2=l=sl1ps1-sl2s2=sl1p-sl1s2p=l-(ps1-ps2)38把杂质扩散到玻璃中可以增大玻璃的折射率，这就有可能造出一个后度均匀的透镜。已知圆板半径为 R，厚度为 d，如图所示，求沿半径变化的折射率 n（r），它会使从

30、A 点发出的光线传播到 B 点。假定这是个薄透镜，da，db。解：da,db,圆板中心处的折射率为 n(0),半径 r 处的折射率为 n(r)，光程：L=ra22n(r)d +rb22有费马定理得0rL解得：n(r)= n(0)+drbraba222239一弯凸透镜的两个表面的半径221r1.515cm,-cm20，在折射率为和分别为和rr的ABabrd题 3.38 图凸面镀银。在距1r球面左侧 40cm 处的主轴上置一高为 1cm 的物，试求最后成像的位置和像的性质。解：（1）经第一界面折射成像rnnsnsn其中， n=1.5 ,n=1,rr 1=-20cm ,s=-40cm s=-30cm

31、(2) 经第二界面（镀银面）反射成像rss211,其中，s=-30cm，r=-15cm s=-10cm（3）在经第一界面折射成像rnnsnsn其中， n=1 ,n=1.5,rr 1=-20cm ,s=-10cm s=-8cm放大率为：1=snsn11=0.5 ，2=-ss22=-31，3=snsn33=56123=-0.2最后像在透镜左方 8 cm 处，为一大小是原物 0.2 倍倒立缩小实像。40 一折射率位 n， 曲率半径为 R1和 R2的薄凸透镜放在折射率分别为 n1和 n2的两种介质之间，s1和 s2分别为物距和像距，f1和 f2是物方和像方焦距。证明：12211sfsf。证明：因为任一光线由物点到像点的光程相等，所以2211)(lnANAMdnlns又0dnds22111122rnnrnnsnsn物方焦距1f2211rnnrnnn像方焦距221122rnnrnnnf由得11122sfsf.