《直纹曲面是可展曲面的一个充要条件(共7页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直纹曲面是可展曲面的一个充要条件(共7页)（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上直纹曲面是可展曲面的一个充要条件摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，说明直纹曲面是可展曲面，其充要条件是：沿准线，曲面是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两个例子.关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面1直纹曲面与可展曲面我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。文献1利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。设是直纹
2、曲面上的一条准线，即与所有直母线相交，设是过点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面的参数方程是 （1）其中，线是与准线平行的曲线，线是值母线。特别地，当是常矢时 （2）是锥面， （3）是柱面，其中是常矢。定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的值，法线方向上的矢量彼此平行，即对有： （4）则称直纹曲面（1）式是可展曲面。 定理1 直纹曲面 是可展曲面，其充要条件是： （5）定理2 直纹曲面 是可展曲面，其充要条件是：或者是柱面，或者是锥面，或者是一条曲线的切线曲面。定理3 直纹曲面 是可展的，其充要条件是：上任意一点的Gasuu曲率都为零，即 （6）定理4 直纹曲面 是可
3、展的，其充要条件是：它上面的直母线（线）是曲率线。2 单参数平面族的包络面给定单参数的平面族： （7）并且（否则具有定向，此平面族变为平行平面束）。定义2 给定单参数，如果有一个曲面满足：（1）上任一点都是中某个平面上的点（2）在点，是上的切平面，即则称单参数平面族的包络面为定义3 给定单参数平面族（7）式，取一个固定平面，再取邻近的平面它们的交线在时的极限记为，即（）则称为单参数平面族在上的特征线定理5 给定单参数平面族（7）式，则它的特征线方程是： （8）其中是的方向矢量定理6 直纹曲面是可展曲面，其充要条件是：沿准线，是它的切平面族的包络面证明 “”设直纹曲面可展，则 因为 （9）所以曲
4、面上任一点的法矢量为：曲面上任一点的切平面方程是：沿准线，得曲面的切平面方程是： （10）现在求切平面族的包络面，特征线的方程是： 即 （11）又平面的法矢量为： 再由（9）式得特征线的方向矢量为： （12）由（11）式知，是包络面的准线，即原准线就是包络面的准线，再由（12）式知，包络面的方程是： 所以“”沿准线，是切平面族的包络面，由定理6知，是可展曲面。例1 已知曲面的参数方程为 证明：（1）是可展曲面；(2) 沿准线，是它的切平面族的包络面。证明 （1）将曲面写成直纹曲面 （13）则是柱面，显然柱面是可展曲面，它的一般方程是 （14）（3）因为所以沿曲线即沿圆曲面的切平面的方程是：即
5、（15）单参数切平面族的特征线的方程是： （16）上两式两边分别平方再相加得包络面的一般方程是： （17）这正是曲面的一般方程.又因为平面的法矢量是:所以特征线的方向矢量是： （18）因的方向矢量是常矢，所以的包络面是柱面.另外，还可以将该柱面写成其它的参数方程.作过原点且以为法矢量的平面，即 （19）由（16）式和（19）式求出新准线的方程： （20）所以包络面的参数方程是： (21)消去参数和得包络面的一般方程： (22)这正是曲面的一般方程。例2 证明正螺面是不可展曲面证法1 将写成直纹曲面的方程线是直母线，因为 （23）所以由定理1知，不是可展曲面.证法2 因为而上任一点的Gauss曲
6、率为： (24)所以由定理2知，不是可展曲面.证法 3 因为线是直母线，又因为所以法矢沿法矢为：因为 (25)所以曲面上任一点的法矢是： 沿准线曲面的法矢是： 所以曲面沿准线的切平面的方程是; 即 （26）现在求切平面族的包络面，特征线的方程是：上式两边平方相加得切平面族的包络面的方程是：即 (27)故切平面族的包络面是轴，它不是正螺面，因正螺面的一般方程是由定理知，正螺面不是可展曲面.由定理4知，可展曲面只有三类：柱面、锥面和一条曲线的切线曲面.易得：（1） 柱面的切平面的方程是： （28）其中是切平面上任一点的径矢，是单参数的平面族，它的包络面是柱面.（2） 锥面的切平面方程是： （29） 它是单参数的平面族，它的包络面是锥面.(3)曲线的切线曲面方程是：的切平面方程是： （30）它也是单参数的平面族，它的包络面是.总之，可展曲面就是它的切平面族的包络面.参考文献：1 孙国汉，赵培标，刘以钧.可展曲面的条件J.阜阳师范学院院报.1996.2 纪永强.微分几何与微分流形M.北京:高等教育出版社，2000:114-123.3 梅向明，黄敬之. 微分几何. 高等教育出版社. 2003.12专心-专注-专业
直纹曲面是可展曲面的一个充要条件(共7页)
