线性代数同济六版知识点总结

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1、1.二阶行列式对角线法则:all a12a21 a22=alla22 a12a21aaXI uaa2. 三阶行列式 对角线法则 按行（列展开法则3. 全排列：n个不同的元素排成一列所有排列的种数用P”表示，Pn =n!逆序数：对于排列P】P2P“，如果排在元素乩前面，且比乩大的元素个数有个，则Pi这个元素的逆序数为 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列偶排列：逆序数为偶数的推列。n个元素的所有推列中，奇偶各占一半.即号4.对换:一个排列中的任意两个元素对换.排列改变奇偶性a31aa13!aa33a3a33=s(-iy（H）aiJka2a4其中：JijzJs是12

2、3的一个排列，t（/J力3）是排列jJliz的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识&22=aiia22* an2nn对角行列式:副对角行列式:n(n-l)(-1) 2入儿6.行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等.AnD= Dt推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：口 Vj 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式。第i行乘k：门xk 推论:行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和.如：（转置:互换行列式的两行（

3、列），行列式变号.行变列.列变行。ai2(b“ + c“)amaHai2blJainalla!2C1Jauft21S22(b2J + c2j)a2na21a22b2Ja2n+a21a22C2Ja2nanlan2(Ss + cJ acnanlan2bnjannanlan2Cnjann把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变如allaii+ kaijauBlnall aHaijSlnft21a2i+ kaft2ja2n=a a21a2ift2ja2nanlani+ k%anj annanlanianj Ann第j列的k倍加到第i列上：Ci + kCj7.

4、 重要性质：利用行列式的性质r, + krf或5 + kCj ,可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶行列式的值。（P11页例7）8. 行列式按行（列）展开法则（*重要左”） 重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素驹所在的第/行和第j列划去，剩下的（n-1 2个元素按原来的排法构 成的n-1阶行列式叫做如的余子式，记为代数余子式：记如=（7）叼M”为元素夠的代数余子式 重要性质，定理1）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 * D = ailAil + a2A2 +a

5、inAin 或 D = aijAlj + Q2jA2j +推论：行列式某一行（列的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即BiAjl + 52 +aiAn = 0 工 j或aiAj + a2iA2J +aniAnj = 0i 工 j使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素夠，并将该行其他元素 通过性质化为0,则D = a0 AtJ9. 利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：非齐次线性方程组的系数行列式不等于零.则方程组有唯一解。等于0,则无解是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式11221 2-1

6、5m叽T即：5 =lnj =丄丿乙丿n.对于齐次线性方程组，如果系数行列式D H 0,则该方程组只有寒解，若D = 0,则存在非零解。第二章1.矩阵相关的概念：矩阵：由mXn个数atJ （i=l,2,m;j=l,2,n）排成的zn行“列的数表（是一组数）。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B :矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等.寒矩阵：所有元素为0的矩阵，记为0,不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为人，人，人，其余元素为0的方阵单位矩阵：对角线元素为1 ,其余元素为0的方阵,A =a2= ding(4,兄，人)

7、E =rl、1、 1丿2. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律2）数与矩阵相乘如、加AA = AA =21 Zn 1如加町(兄/z)4 =兄(/4) . (/i + /)A = AA + /IA 久(A + B) = /U + /iB3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；族$ X Bsxn乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；CmxnC,严松+“+ +叭=号松即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加. 注意：一般情况下：A

8、B H BA.但是满足结合律和分配律.EA = AE = A4）矩阵的幕：若&是“阶方阵，则：k t力2=必 力3=必2Ak = AAk-i 显然：AA=A9（A）=A（AB）k =AkBk（A + B）2 = A2 + 2AB + Bz a、b可交换时才成立（A + B）（A-B）=A2-B23矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作屮.ttJK： (1) (Ar)r = A;14)A1 = 25 ;(2) (A+B)r = Ar + Br;(4)(abY = btat.设A为n阶方阵，如果满足A= At,即gj =咛，则A为对称阵如果满足A= -，即“ =,则A为反对称阵4

9、.方阵的行列式：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵人的行列式，记作|人|或detA性质：MT|=|A|,AA=AnAt AB=AB.伴随矩阵：其中则是呵的代数余子式，/T称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）九Anl注意：元素j的代数余子式是位于 的第j行第i列（类似于转置）性质：AX = 4*71 = AEA叫如果有n阶方阵B.使得AB = BA = E,则称A可逆,6.逆矩阵：对于门阶方阵A,B为A的逆矩阵，记为力且A的逆矩阵是唯一的.判断方阵A是否可逆：H 0 o A可逆，且逆矩阵侖川推论：若|4|丰0,则|/r丄|=命.此时称A为非奇异矩阵若=0,则称A为奇异矩阵. 二阶矩阵的逆矩阵

10、：主对角线两数对调，副对角线两数反号A=（：） 力=召（2一：）单位矩阵E是可逆的E= E-1零矩阵是不可逆的。一 C对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数.推论：如果n阶方阵久B可逆，那么4、At . AA （入工0）. AB也可逆且，（A） = A, （尸=（犷丁， |4-1|=“（AA）-1 = -A-（AB）1 = BAl 用逆矩阵求解线性方程组：已知AXB = C,若AB可逆，则X = ACB-1 （A在X左边，贝必一】必须在C左边，B也如此）7矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的

11、矩阵称为分块矩阵. 分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）1）加法，要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的）2）分块矩阵A的转置力G除了 A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8.分块对角矩阵：设人是“阶矩阵，若：A A的分块矩阵只有在对角线上有非寥子块，A=“ . 其余子块都为零矩阵 对角线上的子块都是方阵IAJ则称A为分块对角矩阵。/A_!性质：1若|儿|却，则|人|却，并且屮二 儿分块副对角矩阵：（7 J）从0的充分必要条件：ata第三章1初等行变换：（运算符号：注意与行列式的运算加以区分互换两行，记做心一 Vj第i行乘以非0常数k,记做几x

12、 k第j行的k倍加到第i行上，记做几+ 口 2若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B,则称A与B等价，记做力5mxn-mxn的充耍条件是存在加阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q ,使PAQ = B3矩阵之间等价关系的性质：反身性：AA 对称性：若则BA递性：若BC,则力C4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1；5）首非零元所在的列的其它元素都为寒.5. 初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）1）单位矩阵对换i, j行，记作Em（ij）Fm（lJ）2）以常数

13、 心0乘单位矩阵第i行（列），记作為（愀）Em（i（町尸=Em（i（j）3以k乘单位矩阵第j行加到第i行，记作為（iJ住）码卫丿（财尸=Em（ij（-）性质1：左行右列设人是一个mXn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在&的右边乘以相应的n阶初等矩阵.性质2：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P Pa ,Plt使Z P】P2,P, 推论：方阵A可逆的充要条件是AE如果,则存在可逆矩阵P,使PA = B. o (A,E)(B,P)：即当A变换成B是时，E变为P (求P)求方阵A的逆矩阵方法总结:方法1：判断A可不可逆：若|4

14、|工0 o A可逆 一书中P41页力=:注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即力J E u A可逆 一书中P64页例2 (A,E)(E7)：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当A变成E时，E就变成了所求的A无解 R v/?(4b)求犷：该方法用来求方程组AX = B 0 X = AB 一若XA = B,可先化为AtXt = BT 方法：(AB)龙:即对矩阵(AB)进行初等行变换，当A变成E时，B就变成了所求的AB二、矩阵的秩阶子式：在mXn矩阵A中，任取k行k列(kmf kn)f位于这些行列交叉处的k有解 o R(4)=RSb”个元素，不改变它 们在人

15、中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵&的k阶子式.mXn矩阵A的k阶子式共有瞪疣个2. 矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D.且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).零矩阵的秩等于0常用：1)对于n阶方阵A, R(A) = n (称A满秩)o A HO oA可逆求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵2) 若则 R(A) = R(B)3) 对于行阶梯形矩阵，它的秩等于2存行的行数J4) R(At) = R5) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) (VA-B o PAQ = B)即：可逆矩阵与任何矩阵

16、A相乘，都不会改变所乘矩阵A的秩6) max R(A), R(B) R(A, B) R(A) + R(B)当B = b为非零列向量时，R(A) R(A, B) R(A) + 17) R(A*B) S R(A) + R(B)3. 线性方程组的解n元非齐次线性方程组Ax = b一 P75页例13P79页17题 有唯一解 o R(A) = R(A.b) = n 有无限解o R(A) = R(A.b) nn元齐次线性方程组Ax= b有非零解op)vm第四章一、向量组及线性组合1. n维向量：“个有次序的数心，心，,给所组成的数组。这n个数称为该向量的个分量, 第i个数山称为第i个分量.2. 向量组：若

17、干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合3给定向量组At如,如，如，对于任何一组实数kukz,.tkm ,表达式畑i + S+ +虬如称为向量组&的一个线性组合.kykm称为这个线性组合的系数.4. 给定向量组Ari,血,和向童b,如果存在一组实数,使得 b = /i R(B) 向量组A中至少存在一个向量能由其余ml个向量线性表示.3. 向量组&线性相关o m元齐次线性方程组Ax = 0有非零解0/?(4)3 = b】 b2bs = 4b| + 3b： 3bd4-62 -200043所以3 6-97 J000；0a5= 4ai+ 3a2 - 3cu四、线性方程组的解的结构1.设有齐次线性方程组

18、xu = o如果X1 =X2二S ,Xn= 为该方程组的解，则称=为方程组的解向量2.性质：若x =X= 2是齐次线性方程组Ax = O的解，则X= 6+歹2还是Ax = O的解若*=?是齐次线性方程组4x = o的解,k为实数，则“X 还是Ax = O的解3把Ax = O的全体解组成的集合记作S,若求得S的一个最大无关组So： x= x = 2,*=那么Ax = 0的通解可表示为x=ki i+k2 2+. +/ft (t齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系(不唯一).4.设mXn矩阵的秩R(A) = r,则n元齐次线性方程组Ax = 0的解集S的秩Rsn-r即：A“

19、0的解集S的秩等于未知数的个数减去系数矩阵的秩5设元齐次线性方程组Ax=0与欧=0同解，则R(A) = R(B)设 AmXnBnXlzO (寒矩阵)，则 R(A) + R(B) n 6. 非齐次方程组的解的性质：“ x= 2是非齐次线性方程组Axb的解，则“】-2是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 (导出组)的解.* = 7是非齐次线性方程组Ax = b的解，x-是导出组Ax = 0的解，则x二歹+ 还是Ax = b的解.7. 若x = h是Ax =b的一个特解，Ax = 0的通解为= C/g/+C2韌于是：Ax zb的通解为 加 勺行“2釦+C“.H“+if即：非齐通=齐通+非齐特 特解：没有线性相关要求，只要是解就可以