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1、平面、空间两条直线一、教学目标1平面的基本性质，即三个公理及推论 2公理4及等角定理3空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面4两条异面直线所成的角，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点二，学法指导1 三点共线问题，只需证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；2 求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形注意，异面直线所成角的范围是（0, n：2二、教学内容1. 平面的基本性质与推论公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3:如果两个不重合的平面
2、有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4:平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。1、基础训练1若a, b是异面直线，则只需具备的条件是A. a二平面a , b二平面a , a与b不平行B. a二平面a , b-平面3 , a n 3 =l, a与b无公共点C. a /直线c, b n c=A, b与a不相交D. a丄平面a , b是a的一条斜线2. 如下图，直线a、b相交于点0且a、b成60角，过点0与a、b都成60角的直线有A1条B2条3.如下图，正四面体C3条SABC中，D为SC的中点，则D4条BD与SA所成角
3、的余弦值是C4. 如下图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为a, 那么AiA(1 )哪些棱所在直线与直线 BAi成异面直线？ .(2) 直线BAi与CCi所成角的大小为 .(3) 直线BAi与BiC所成角的大小为 .(4 )异面直线BC与AAi的距离为 .(5)异面直线BAi与CCi的距离是 .5. 正六棱柱 ABCDEF AiBiCiDiEiFi的底面边长为 I,侧棱长为、2，则这个棱柱的侧面对角线EiD与BCi所成的角是.2、典例剖析【例U 如下图，四面体 ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF : FC=2 : 3, DH : HA=2 : 3
4、.求证：EF、GH、BD交于一点.A【例2】A是厶BCD平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点,ADC(1) 求证：直线 EF与BD是异面直线；(2) 若 AC丄BD, AC=BD，求EF与BD所成的角.特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否 垂直，若垂直，则它们所成的角为90;若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）一证一算” 注意，异面直线所成角的范围是（0, n】2【例3】 长方体ABCD AiBiCiDi中，已知AB=a, BC=b, AAi=c,且ab,求：异面直线 DiB与AC 所成角的余弦值深化拓展利用中位线平移
5、和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法3、练习巩固：1如下图，在棱长为2的正方体ABCD AiBiCiDi中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CCi、AD 的中点，那么异面直线 OE和FDi所成的角的余弦值等于 AiB2如下图，四面体 ABCD中，E、F分别是 AC、BD的中点，若 CD=2AB=2 , EF丄AB，贝U EF与CD所成的角等于C3如下图，设不全等的 ABC与厶AiBiCi不在同一平面内，且 AB / AiBi, BC/ BiCi , CA/ CiAi. 求证：AAi BBCCi三线共点4在三棱锥 A BCD中，AD = BC=2a, E、F分别是 AB、CD
6、的中点，EF=3 a,求 AD与BC所成的D5如下图，在三棱锥 P ABC中，AB=AC, PB=PC, E、F分别是PC和AB上的点且 PE : EC=AF : FB=3 :2. (1)求证：FA丄BC; (2)设EF与FA、BC所成的角分别为 a、B ,求证：a + 3 =90 6如下图，设 ABC和厶AiBiCi的三对对应顶点的连线器噬喘=2.试求瓷的值-D7如下图，已知空间四边形 ABCD的对角线AC=10 , BD=6, M、N分别是 求异面直线AC与BD所成的角思悟小结1本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角2证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点 作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形教学点睛首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角， 其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤拓展题例【例1】 设异面直线a与b所成的角为50, O为空间一定点，试讨论，过点 O与a、b所成的角都 是B (0 90 )的直线I有且仅有几条？【例2】 已知空间四边形 ABCD , E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分 点(如下图)，求证：(1)对角线AC、BD是异面直线；(2)直线EF和HG必交于一点，且交点在 AC上.A
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