代数式与恒等变形

《代数式与恒等变形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《代数式与恒等变形（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、初中数学题典网1初中数学题典网8第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形 分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）恒等式证明的一般方法：1 单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意 结论的形式，调整证明的方向.2 双向证

2、明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式.、力3 运用“比差法”或“比商法”， 证明“左边一右边=0或左边=1 （右边工O）”，可得左边d右边. 右边4 运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初 步介绍，教材深4题 1 求证:3n 2 -2n 2 - 2 5n 2 3n _2n = 10(5n 1 3n _2n). on爲对同底数幕进行合并整理，解方法一：左边=2 5 5n1 - (3n 2 3n) (-2n 2 -2n)=10 5n 1 3n(32 1) -2n4(23 2)=10 5n

3、110 3n -10 2nJ= 10(5n 13n _2nJ1)=右边，“5n1、3n、2心”的提示，对左边式子进行合并时，以5、3n与2心为主元合并,方法二：左边=2 5n 23n(321)-2n(22 1)=2 5n 2 10 3n-52n.右边=10 5n 110 3r -102n4=2 5n 210 3n-52n.故左边=右边.中受右边迅速便捷.ffSJETJ读一题，练3题，练就解题高手1-1 .已知 a b c = 0,求证：a3 亠 b3 亠 c3 = 3abc-1-2 .已知 x y z 二 xyz,证明：x(1 - y2)(1 z2)y(1 - x2)(1 - z2) z(1

4、- x2)(1 - y2) =4xyz1-3 .证明：，2 、3、2 . 3.,22 2 3.2-2 23=1.1 .题2 123亠亠100 = ?经研究，这个冋题的一般结论是1 2 3 丁丁 n n(n - 1),其中，n为2整数，现在我们来研究一个类似的问题：1 22 3 . n (n 1)二？观察下面三个特殊的等式：11 2(12 3-0 12);312 3(2 3 4 -1 2 3);313 4(3 4 5 -2 3 4);3将这三个式子两边相加(累加)，可得11 22 3 3 4345 =20.3读完这段材料，请您思考回答：(1) 1 2 2 300 m 二(2) 1 2 2 3 n

5、(n 1) =(3) 1 2 3 2 3 4川川n(n 1)(n，2)=(只写出结果，不必写出中间的过程)C3O謔 分析此题可得到如下信息：1(1) 100 101(100 101 102 -99 100 101);31(2) n(n 1) n(n 1)(n2) -(n 1)n(n1);31解 (1)1 2 2 3 亠亠00 101(1 2 3 0 1 2 2 3 4-1 2 3 诂川 100 101 10231-99 100 101)100 101 102 =343400;3(2)由类比思想知11 22 3 n(n 1) n(n 1)(n2).1(3) 1 2 3(1 2 3 4 -0 1

6、2 3),4- 12 3 4.(2 3 4 5 -1 2 3 4),41n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)(n 3)-(n -1)n(n 1)(n 2)4则 1 2 32 3 4 亠 亠n(n 1)(n 2)= n(n 1)( n 2)( n 3).4柘展探究在解题时要善于利用类比推理思想,理解并记住一些常用的一般性结论,1n 11= 十n(n 1) n 1 “22.32二.n 1 -1,1 3 5 亠 亠(2 n -1) n .C羽直注刁读一题，练3题，练就解题高手k2-1 已知n是正整数，Pn(Xn, yn)是反比例函数y 图象上的一列点，其中 x 1, x 2 ,Xn =n.

7、X记T1以$2兀=乂2丫3,，T9 = Xg%。若入=1,则T1T2T9的值是 2-2 .我们把分子为1的分数叫做单位分数，1 1 如越1任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位4111111111分数的和，如= + = += +23634124520(1)根据对上述式子的观察，你会发现1 _:丄1丄，请写出口 ,0所表示的数；5 口 011 1(2)进一步思考，单位分数丄(n是不小于2的正整数)=-请写出.-：,*所表示的代数式，并加以验n心*证.2-3 已知 a1,a2009 都是正数，M =1 +&2 + &2008)(&2 +&2009), N =V &1 +a2009)(a2a3a2

8、008).试比较M与N的大小.生活数学a+b b+c c+a题3已知= b c = c a a b c互不相等，求证 8 +9b +5c= 0.a -b 2(b -c) 3(c-a)強Lki日本题可设 口口J空k,然后求解.a -b2(b-c) 3(c a)a b b c c a ,解设k,a b2(bc) 3(c-a)则 a b = k(a -b),.c = 2k(b -c), c a = 3k(c - a).故 6(a b) =6k(a -b),3(b c)(b -c),2(c a) = 6k(c -a).以上三式相加，得 6(a b) 3(b c) 2(c a)二 6k(a - b -

9、c c - a).即 8a 9b 5c =0.eajoED本题运用了连比等式设参数k的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧,，竟说駛读一题，练1题，决出能力高下3-1 .已知 込壬 = 2b c 1 = -3a * 二 2,则 a 2b 3c-2abk2 3b + 2c8 2c+a64a3b + c+7感受333题 4 证明(y z -2x) (z x _2y) (x y -2z) = 3(y z- 2x) (z x -2 )(x y _2z). 益越本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法.解令y z -2x =a,z x -2y =b,x y -2z =c,则

10、原待证恒等式转化为 a3 b3 c 3abc.联想到公式a3 b3 c3 _3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ab _ be -ca).由+，得a b c = (y - z - 2x) (z x_2y) - (x y_2z)-0.故 a3 b3 c3 _ 3abc 二 0,即 a3 b3 c3 二 3abc.原式得证.换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点. i 帧亚】读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l的各项幕表示x3 -2.x2 3x -1.2 2 2 1 1 14-2 已知 2005x =2007y -2009z ,x 0,y0, z 0且1.x y

11、 z求证：4-3 .解方程:题5设x,y,z.2005x2007y2009z 二 20052007. 2009.x-232x-3 3 x-2 x-32 互为不相等的非零实数，且 x - = y z 1求证：x2y2z2二1y z x丸込、由于结论为“x2y2z2 =T的形式，可以从题设式中导出x, y, z乘积的形式xy, yz , zx11解 由xy ,变形可得yx11 y -zx _ y =z y yz同理可得zx=,y zXy 二口 Z Xx2 y2z2 =1.毎展援究本题中x,y, z具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x, y为互不相等的非1零实数，且x = yy1,易

12、推出x-y二丄-丄，故有xy =xx yy 一 x1,所以x2y2二1,三元与二元情形类x y似.读一题，练3题，冲刺奥数金牌1.1 15-1 若实数 x, y, z 满足 x + = 4, y + =1,z+ yzx=7 ,则 xyz=311_5-2 .已知 x ( ,5.3), y ( .5 -、3),求 x2222-6xy y 的值.5-3 .已知实数a, b, c,d互不相等，且a丄二bb111cdx,试求x的值,cda2 a 题6已知y = a , zx2 a x = a _z解由已知，得y两式相乘，得2-a - az知要从题设条件中消去y.2 2 a a 二a-二a-z.2=(a

13、- 为(a -z).32 a=a x-az2azx初中数学题典网#初中数学题典网#2所以az a z 二x x幽展探冤2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由y二a-g,z二a-初中数学题典网#初中数学题典网#2普,到x2二a -寻，发现要消去y这一信息.初中数学题典网111 :顾断读一题，练3题，冲刺奥数金牌ab6-1.已知ab =1,求一 的值.a+1 b+1小小、工abbcca 土6-2 设P, q, r，其中a b, b c,c a不为零.求证:a bb cc a(1P)(1q)(1 r) =(1 - P)(1 q)1 r).6-3 .已知 a, b, c,

14、 d 满足 a 辽 b, c d,a b = c d = 0,a3 b3 二 c3d3.求证：a = c, b = d.参考答案与提示!.链力冲浪J1 L方袪一：1耳为+r= 0战2 +枳+戸一加k=0；即诊+护+卢=3肚 方法二個为卄打+匸=6故=两边立方得祸=一宀+产+矽匚+3妒h移项扁$+护+以=一血仙牛厂=込方法三:.由费4占得也匸一材一心代人左边.得(-诂户十沪+以m f (胪+ 3r+3fir2 + c3)十夕十日P2P 因为所以*左边=忑(】?2 护+护孑+W I 一邸一 H + F尹+jr、 .rs r 辛 y= + c) + fyz (址尹+ y# + 瓯=j-yz bTCw

15、 z) fttjjs y) -yzt r、+ 砒工(ry + yz+ ST) = JTJ?卜二迟 4孑j*4 -ryz 4 j-yz 右边.1- 3.捉i=/_(2+7S鬲 y!2+ 2475 * v/S/5=/4 - * 丿2+肩=/4-(?3)! =I =右边-2 L 51. 2提示：外粗“ = l5 = h所以曲=打故1 =2.所贞 Td丁9 =“屮-及M -J,Byto = lX-X2X-|iX3X，Y，X-X9X-=-j = 51,瓷2- 2. (1O表示的数为氣O我示的数抑冊.(即去示的代败式为料十1.吉表示的代数式側 1斗 I I _ _ A i I _冏乃齐I十石二万伽十门十门

16、一川仙+胶不=市乔币.2-3,设 d； +悶 +ilpm4 9AM Mi 4力)(由+瞬血)=1 * ft+aifliKs+fr3 +6 S2owN=(ai+A+d：2tsM)ft=O * A+A2+632009-故 JVf 里迦.咫宀冉吓都見旺数所以W -心。御心汕 3-J, y 提示屆+刚一5=3亠州刘丸+抽一9=山I+1+9-2 1-6+3+7为+十 1=2( a6+2r-8)=4t+Sc-170( r 3d + E= 2(2c+u SlnSr+Sir14G 联宜解得I ,6=2+r=3.故原式=4- L设才+】=仆则x=/ 1.敝F-M+BhLFl!户一氛1一审斗3-门一】 ?-5?+

17、lOf-7-0).!H1ttk2 005jt =*2 007y= f 2 OQBz jy工Wy+y+4-1 所以ySOC+aW+Ofe =Jk(-y + 十+ )眾只 2 0M-A *2 007-4r t2 009=4- +工 yj/故 72005 十 /2 007 4- 72 009 -刍十普 + 乎=、所科 /2O)&T+2 007yi-Z004 = /2005 + /007 + 72009.亠X2卫3 miu=BPCtfVl)(+v)=Ot亦關 u-v=0 uu- 1- 披号+宁=0或守.宁=.13即 5j13=0 或 jrti5)=0 + 1U -r=_或 =或上 5,经检验购満足原方

18、程-5-1.1 提示:因为4 =工4+二工丰一4-wjf+話2 ! Z从而t=2_ T由已知轉 t+j/=/5 .-ry= -j-.故 F+屉孑十护=(A+4X-7.5-3. lh已知有x + -77=Xt将代人鬲 &尹益二p将代人*得龚打;十+=不即 c/x3 -1 -Zd-aU+ad Y 10.由式得加+1=4厂壮人式.得0.由巳知+得川一qHCL故0 2x0.若才=0*剤由町得c=c与已知矛盾.披护2*=崔.(注：这样的Q*b.f*d是存庄的16-t 由 ab=r 得=+从而ji+諾兀;十弁厂用十用b 2b+b=+】+豬丿磊Jr=】 帼理】+严磊4尸棗 t , H 2(JHe卫】 =币2

19、a 2b 2c就严左 fl+m门十小门十匚)_口+心白+r 十4 = 防以右 _ g-J)(l-flXl-r) 2h . _2r_ . 2a a 4-6”+r c+d故 lr).注：本腿采用的址比商法.6-3.闵为 u + H所以“+&2 = (c+M)J即 以+2讪+胖=以+欧甘十护.因为小+沪+出hti + fr)(tiZufr+Zl ) +cc/ + f/-).X a+6=+/#m 所以 aflft+=rf 由一*得:讪二即砧=/.O由一*得 u2 264-= SrJ+i/2 * 即(abz = cd)T *也即 ab = |ft/L因为 gWAmW乩所口 ba=dc.而 u+Ac+d*故 Zb=2乩即bd.从而ur.