2012-2018全国卷圆锥曲线

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1、2012-2018 全国卷圆锥曲线解答题(理科 )1 (2012年全国高考新课标卷理科第20 题）设抛物线C : x22 py( p0) 的焦点为F ，准线为 l，AC 已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交 l于B,D两点（）若BFD90，ABD 的面积为 4 2 ，求p 的值及圆F的方程（）若 A , B , F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m , n 距离的比值2(2013 全国高考新课标卷理科第20 题）已知圆 M : ( x1)2y21，圆 N : ( x1)2y29 ，动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切，圆心

2、 P 的轨迹为曲线 C ()求 C的方程；( )l 是与圆 P , 圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A, B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 | AB |年全国高考新课标卷理科第20 题）已知点A(0, 2) ，椭圆E：x2y21(a b 0)3 (2014a2b2的离心率为3 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 23 ， O 为坐标原点23()求 E的方程；（）设过点A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程24 (2015 年全国高考新课标卷理科第20 题）在直角坐标系xOy 中，曲线 C : yx 与直线4ykxa(a

3、0) 交于 M , N 两点( ) 当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；( )y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPMOPN？说明理由5(2016年全国高考新课标卷理科第20 题) ( 本小题满分12 分) 设圆x2y22x150 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C, D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD于点 Ey(I) 证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M , N 两点，过 B 且CA与 l 垂直的直线与圆 A 交

4、于 P, Q 两点，求四边形 MPNQ 面积OBxE的取值范围D6. (2017 年全国高考卷理科第20 题) ( 本小题满分 12 分)已知椭圆： x2y2Ca2b2 =1 （ab0），四点 P1（ 1,1 ）， P2（ 0,1 ）， P3（ 1，3 ）， P4（ 1，3 ）中恰有三点在椭圆C上 .22（ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 .7 (2018 年全国高考卷理科第19题)(本小题满分x2212 分) 设椭圆 C：y 1 的右焦点为 F ，2过 F 的直线 l 与

5、 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为2，0 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB 2012-2018 全国卷圆锥曲线解答题( 参考答案 )1 (2012 年全国高考新课标卷理科第20 题）设抛物线 C : x22 py( p0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点（）若BFD 90 ， ABD 的面积为 4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方程（）若 A , B , F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到

6、m , n 距离的比值【解析】 ( ) 由对称性知BFD 是等腰直角三角形，斜边 | BD | 2 p ，点 A 到准线 l 的距离 d|FA| |FB|2 p ，由 S ABD 1 | BD | d4 2 得 p2 2圆 F 的方程为 x2 ( y 1)2 8 （）由对称性设x02pA( x0, 2 p) ( x00)，则 F(0, )2由点 A, B关于点 F 对称得 B(因此 A(3 p, 3 p ) ，直线 m : y2x02x02p22x0 , p) ，从而 p2 p2，所以 x03 p2 p3ppp ，即 x3 p22 x3 y0 3 p22又 x22 pyy1x2 ，求导得 y

7、x1，即 xp ，从而切点 P(p, p ) 2pp3336又直线 n : yp1( xp ) ，即 x3yp0 633233 p故坐标原点到直线 m, n 距离的比值为23 p23【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力2(2013 全国高考新课标卷理科第 20 题）已知圆 M : ( x 1)2y21，圆 N : ( x 1)2y29 ，动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ()求 C的方程；( )l 是与圆 P , 圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A

8、, B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 | AB |【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M ( 1,0) ，半径 r11 ，圆 N 的圆心为 N (1,0)，半径 r2 3设动圆 P 的圆心为 P(x, y) ，半径为 R ( ) 因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，所以|PM | PN | ( R r1 ) (r2R) r1 r24，且 4 |MN |由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M , N 为左，右焦点，长半轴长为 2 ，短半轴长为3 的椭圆 ( 左顶点除外 ) ，其方程为 x2y21 ( x2) 43( ) 对于曲线 C 上任意一点 P( x, y) ，由于 | PM |PN

9、|2R 22，所以 R2 当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0) 时， R2 当圆 P 的半径最长时，其方程为 ( x2) 2y24当 l 的倾斜角为90时， l 与 y 轴重合，可得 | AB | 23 当 l 的倾斜角不为 90时，由 r1R 知 l 不平行 x 轴设 l 与 x 轴的交点为 Q ，则 |QP|R ，可求得 Q(4,0)，|QM |r1设 l : yk ( x 4) ，由 l 与圆 M 相切得| 3k |1，解得 k21k24当 k2 时，将 y2 x2代入 x2y 21 ( x2)4443整理得7x28x80 (*)设 A( x1 , y1) , B(x2 , y2 ) ，

10、则 x1 , x2 是(*)方程的两根所以 x1 x28 ， x1 x28 77| AB | 1 k 2 | x1x2 | 1 k2(x1x2 )24x1 x218 7当 k2时，由对称性知 | AB | 18 47综上， | AB| 23 或| AB|18 7【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想223(2014 年全国高考新课标卷理科第20 题）已知点 A(0,2) ，椭圆 E ：x2y21(a b 0)ab的离心率为3 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 23 ， O 为坐标原点23()求 E的方程；（）设过点 A 的直线 l

11、 与 E 相交于P, Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程【解析】()设Fc,0 ，由条件知 223 ，得 c3 c3又 c3 ，所以 a2 ， b2a2c21 ，故 E 的方程 x2y21a24（）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，方程为 y kx2，联立直线与椭圆方程：x2y21，化简得：(12) x216kx12 044 kykx216(4 k 23)0 ， k 23 4设 P( x1, y1 ), Q( x2, y2 ) ，则 x1x216k, x1 x2122 ，14k214k PQ = 1 k2x1x2 = 1 k244k 23，1+4 k2且坐

12、标原点 O 到直线 l 的距离为 d2k21因此S OPQ11k244k 23244k 23，21+4k2k211+4k 2令 t4k23 (t0) ，则 S OPQ4t4,t0t 24t4t t44，即 t2时，等号成立， S OPQ1 4 ，当且仅当 ttt故当 t2 ，即 4k 232， k7 时 OPQ 的面积最大2此时，直线 l 的方程为 y7 x 2 2【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想4 (2015 年全国高考新课标卷理科第20 题）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C : yx2与直线4y kx a(a

13、 0) 交于 M , N 两点( )当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；( )y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 OPMOPN ？说明理由【解析】（）由题设可得 M (2a, a) , N ( 2 a, a) 或 M ( 2 a , a) , N (2a, a) 又 y = x ，故 yx2在 x 2a 处的导数值为a 24在点 (2a ,a) 处的切线方程为 y aa( x2 a) ，即 axy a0 2xy在 x2 a 处的导数值为a 在点( 2a , a) 处的切线方程为y aa (x2a ) ，即 ax y a 0 故所求切线方程为ax y a0

14、和 axya0 ( ) 存在符合题意的点 P 证明如下：设 P(0, b) 为符合题意的点， M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，直线 PM , PN 的斜率分别为 k1, k2 将 ykxa 代入 C 的方程，消去 y 整理得 x24kx4a0，则 x1, x2 是该方程的两根故 x1 x24k, x1 x24a.从而 k1k2y1 by2b2kx1x2 ( ab)( x1x2 )k( ab) x1x2x1 x2a当 ba 时，有 k1k20 ，则直线 PM的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故 OPMOPN 所以点 P(0,a) 符合题意【考点分析】本小题主要考查直

15、线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想y5 (2016 年全国高考新课标卷理科第20 题 ) ( 本小题满分 12 分)CAOBxED设圆 x2y22 x150 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(0,1) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C, D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E (I) 证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M , N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围【解析】 (I

16、)因为 ADAC ， EBAC，故EBDACDADC 所以 EBED ，故 EAEBEAEDAD又圆 A 标准方程为x2y 216 ，从而 AD4 ，所以 EAEB4 1由题设得 A1,0 ,B 1,0 , AB2 ，由椭圆的定义可得点 E 的轨迹方程为 x2y21， ( y0 ) ；43(II)（法一）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l : ykx 1 k0， M x1, y1 , N x2 , y2yk x1y由 x2y21得 4k 23 x28k 2 x 4k 2 12 0P438k24k212AN则x1x2，g2x2x1 x2O4k34k3BQM所以 MN1k 2x1x212 k 21

17、4k23过点 B 1,0 且与 l 垂直的直线 m : y1x1 ， A 到 m 的距离为22 ，k1 k224k23 所以PQ 24214k2k 21故四边形 MPNQ 的面积为 S1 MNPQ12 11324k2当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 的面积的取值范围为12,83当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1， MN3， PQ8四边形MPNQ 的面积12综上，四边形MPNQ 的面积的取值范围为12,83（法二） C1: x2y 21；设 l : xmy1，43因为 PQ l ，设 PQ : ym x1，联立 l 与椭圆 C1xmy1x2y2得 3m24 y 26my90 ；

18、431则 | MN | 1 m2 | yMyN |1 m236m236 3m2412 m213m243m2；4圆心 A 到 PQ 距离 d|m1 1| 2m |，1m21m2所以|PQ| 2 |AQ|2d 22 164m24 3m24 ，1m21m2S11 12 m214 3m24|MN| |PQ|3m2m2MPNQ 224124 m21112,8 3 3m2241431m2【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想已知椭圆： x2y 2（），四点1），2（），33）， 4（ 1，3 ）中恰有C22 =1a

19、b0P（1,1P0,1P（，Pab122三点在椭圆C上 .（ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 .【考点】：圆锥曲线。【思路】：（ 1）根据椭圆的对称性可以排除 P1（ 1,1 ）。（ 2）联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种，假设直线 AB 的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2 B。【解析】：（ 1）根据椭圆对称性可得，1（ 1,1 ） 4（ 1，3 ）不可能同时在椭圆上，3（ 1，3）， 4（ 1，3 ）PP2P2P2一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P（0,1）

20、，P（ 1，3），P （1，3），代入椭圆方程可得：23242b1, 1231a 2，故而可得椭圆的标准方程为：x2y21 。a44（ 2）由题意可得直线P2A与直线 P2B的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A为：ykx1, P2B为：y 1 k x.1ykx1联立x24k21 x28kx0，假设 Ax1 , y1 ， Bx2 , y2此时可得：y214228k, 14k8 1 k14 1kA, B，此时可求得直线的斜率为：2,24k 21 4k214 1 k1 4 1 k11 4 121 4k2ky2y14 1 k 214k211kABx18 1k8k，化简可得 kAB2kx214 1214

21、k21k11 当 k时， AB两点重合，不合题意。22 ，此时满足 k1 。221时，直线方程为： y18k14k24k 24k1x 当 k12x214k2，即 y12k2，当22k4k1x2 时， y1 ，因此直线恒过定点2, 1。19.答案：（1）y2；（）略( x 2)2.2解答：（1）如图所示，将 x1 代入椭圆方程得 1y21，得 y2 ， A(1,2 ) ， kAM2 ，2222直线 AM 的方程为： y2 (x 2) .2（2）证明：当 l 斜率不存在时，由（ 1）可知，结论成立；当 l 斜率存在时，设其方程为 yk( x1) ，yk (x1)A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，联立椭圆方程有x2y2, 即(2k21)x24k2x2k22 0， 12x14k 2，x1 x22k 22，x2212k212kkAMkBMy1y2k(2 x1x23( x1x2 )4k ( 4k 2412k 214)，x12 x2 2(x12)( x22)2k 212k 20(x12)( x2 2)kAMkBM ，OMAOMB .